1. 平面的法向量為，平面的法向量為，，則（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，由兩個平面的法向量平行列式得解.
【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋矫娴姆ㄏ蛄繛?，且?br>所以，解得.
故選：C
2. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式求解即可.
【詳解】數(shù)列等差數(shù)列，且，
所以，
故選：D
3. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)與直線平行的直線l的方程為，再把點(diǎn)代入即可解得即可求出結(jié)果．
【詳解】設(shè)與直線平行的直線l的方程為，
把點(diǎn)代入可得，解得．
因此直線l的方程為
故選：A．
4. 在等比數(shù)列中，若，則（ ）
A. 6B. 9C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)直接求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以（?fù)值舍去），
所以.
故選：A
5. 數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（ ）
A. 1011B. 1013C. 2022D. 2023
【答案】B
【解析】
【分析】利用數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列的周期性求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
所以數(shù)列是以3為周期周期數(shù)列，
且列，
所以，
故選:B.
6. 《周髀算經(jīng)》記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），夏至?小暑?大暑?立秋?處暑?白露?秋分?寒露?霜降?立冬?小雪?大雪是連續(xù)十二個節(jié)氣，其日影子長依次成等差數(shù)列.經(jīng)記錄測算，夏至?處暑?霜降三個節(jié)氣日影子長之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的所有日影子長之和為84尺，則大雪的日影子長為（ ）
A. 1尺B. 1.5尺C. 11.5尺D. 12.5尺
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)夏至的日影長為，公差為，根據(jù)題意，列出方程組，求得，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.
【詳解】夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二節(jié)氣，其日影之長依次成等差數(shù)列，
設(shè)夏至的日影長為，公差為，
經(jīng)記錄測算，夏至、處暑、霜降三個節(jié)氣日影子長之和為尺，
這十二節(jié)氣的所有日影子長之和為84尺，
所以，解得，
所以大雪的日影子長為（尺）.
故選：D.
7. 如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件即求.
【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：
設(shè)拋物線方程為，
由題意知：在拋物線上，
即，
解得：，
，
當(dāng)水位下降1米后，即將代入，
即，解得：，
∴水面寬為米.
故選：D.
8. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的點(diǎn)，，，則C的離心率為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)題意求出；再根據(jù)及橢圓的定義建立等式得出，即可得出答案.
【詳解】如圖所示，

由題意得：.
因?yàn)?，把代入橢圓方程可得，解得.
取.
則在中，.
因?yàn)椋?br>所以，
由橢圓定義可得：，整理得：，
所以，即.
則橢圓的離心率 ．
故選：A．
二、多選題
9. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，則（ ）
A. B. C. D. 的最小值為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得當(dāng)時，；當(dāng)時，；對選項(xiàng)逐一判斷.
【詳解】由，所以，即，
所以當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；
所以，故A錯；，故B對；，故C錯；的最小值為，故D對.
故選：BD
10. 過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的傾斜角可以是( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出斜率，即可得解．
【詳解】設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為，則由直線與圓相切知＝1，解得k＝0或k＝.故直線l的傾斜角為0°或60°.
故選：AD．
11. 下列關(guān)于雙曲線的結(jié)論中，正確的是（ ）
A. 離心率為B. 焦距為
C. 兩條漸近線互相垂直D. 焦點(diǎn)到漸近線的距離為1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的基本知識對選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.
【詳解】雙曲線，可得，，，
則雙曲線的離線率為，故A正確；
焦距，故B錯誤；
漸近線為與，且斜率之積為-1，即兩條漸近線互相垂直，故C正確；
焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故D正確；
故選：ACD.
12. 已知曲線C的方程為，則下列說法正確的是（ ）
A. 存在實(shí)數(shù)，使得曲線為圓
B. 若曲線C為橢圓，則
C. 若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則
D. 當(dāng)曲線C是橢圓時，曲線C的焦距為定值
【答案】AC
【解析】
【分析】按圓和圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】A正確：曲線C圓即 ；
B錯誤：C為橢圓
C正確：C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，
D錯誤：C是橢圓，此時焦距，不是定值.
故選：AC
三、填空題
13. 方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而可列不等式，求解即可.
【詳解】將圓的方程化為，
所以，解得或.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
14. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________．
【答案】
【解析】
【分析】代入，得出.根據(jù)求出的表達(dá)式，代入檢驗(yàn)，即可得出答案.
【詳解】當(dāng)時，.
當(dāng)時，.
因?yàn)椋?br>所以，.
故答案：.
15. 已知橢圓，直線，則橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值為__________，最大值為__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】設(shè)橢圓上一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式計算出點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合輔助角公式以及正弦函數(shù)的有界性可求得的最小值和最大值.
【詳解】設(shè)橢圓上一點(diǎn)，
所以，點(diǎn)到直線的距離為
，
當(dāng)時，取最小值，即；
當(dāng)時，取最大值，即.
故答案為：；.
16. 已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出，再由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式，再由錯位相減法求即可得解.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>所以，
因?yàn)椋裕?br>兩式相減可得，，即，
又，可得，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故，
令，
，
，
兩式相減得：
.
故答案為：
四、解答題
17. 已知在等差數(shù)列中，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，列出和的方程組，進(jìn)而求出和，即可求出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知，根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，可得
解得，
所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得;
（2） 由（1）可得，
所以.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，以及裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
18. 如圖所示，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，上的動點(diǎn)，且，其中，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
（1）求證：；
（2）若，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的坐標(biāo)，計算得出，即可得出證明；
（2）求出的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可得出答案.
【小問1詳解】
由已知可得，，
所以，，，，
則，，
，
，即.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，，，
則，，
所以
.
故：.
19. 已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列定義求解；(2)利用錯位相減法求和即可證明.
小問1詳解】
因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，
又因?yàn)閿?shù)列的公比為2，所以，
即，解得，所以．
【小問2詳解】
由（1）知，則，
所以， ①
， ②
①②得
．
所以．
又因?yàn)椋?br>所以是遞增數(shù)列，所以，所以．
20. 已知拋物線.當(dāng)過焦點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)時，.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)時，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系以及弦長公式列方程，求得，進(jìn)而求得的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)列方程，化簡求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.
【小問1詳解】
拋物線的焦點(diǎn)為，
直線的方程為，
由消去并化簡得，
設(shè)，則，
所以，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
依題意可知直線的斜率存在且不為，
設(shè)直線的方程為，
由消去并化簡得，
由，
解得，
設(shè)，則，
則
，
由于，所以，
解得，所以直線的方程為.
21. 將長方體沿截面截去一個三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】(1)作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到線線平行，得到線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，從而得到線面角的正弦值.
【小問1詳解】
連接，如圖所示，

∵長方形中，，分別是，的中點(diǎn)，
∴且，
∴四邊形為平行四邊形，
∴且，
又∵長方體中且，
∴且，
∴四邊形為平行四邊形，得.
又∵平面，平面，
∴平面
【小問2詳解】
以點(diǎn)為原點(diǎn)，，所在直線為軸，軸，以點(diǎn)為垂足，
垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，
則，，，，
∴，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則有，
令，則，，即，
設(shè)為直線與平面所成角，，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
22. 已知橢圓，焦距為2，離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓的左焦點(diǎn)為，橢圓上A點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的長軸長、短軸長及的面積.
【答案】（1）
（2）長軸長為，短軸長為，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)焦距和離心率得到，進(jìn)而求出，得到橢圓方程；
（2）由（1）得到長軸和短軸長，并求出A點(diǎn)坐標(biāo)，得到面積.
【小問1詳解】
由題意得，解得，
故，
故橢圓方程為；
【小問2詳解】
由題意得，
橢圓的長軸長為，短軸長為，

將代入中得，，
不妨設(shè)，
顯然⊥軸，故.

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