一、選擇題
1、平行六面體中,,則( )
A.1B.C.D.
2、圓與圓的交點為A,B,則線段AB的垂直平分線的方程是( )
A.B.C.D.
3、已知直線和圓相交于M,N兩點,當的面積最大時,( )
A.或B.或
C.或D.或
4、如圖,某顆人工智能衛(wèi)星的運行軌道近似可看作以地心為一個焦點且離心率為的橢圓,地球可看作半徑為的球體,近地點離地面的距離為r,則遠地點離地面的距離l為( )
A.B.C.D.
5、雙曲線,點A,B均在E上,若四邊形OACB為平行四邊形,且直線OC,AB的斜率之積為3,則雙曲線E的漸近線的傾斜角為( )
A.B.或C.D.或
6、已知傾斜角為的直線與直線垂直,則( )
A.B.－C.D.－
7、若點P為橢圓上的點,、為其左右焦點,且,則的面積為( )
A.1B.C.D.2
8、在如圖所示的結構對稱的實驗裝置中,底面框架ABCD是邊長為2的正方形,兩等腰三角形框架ADE,BCF的腰長均為,框架ABCD所在的平面,,活動彈子M,N分別在EF,AC上移動,M,N之間用有彈性的細線連接,且始終成立,則當MN的長度取得最小值時,( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9、方程表示的曲線中,可以是( )
A.雙曲線B.橢圓C.圓D.拋物線
10、下列結論中正確的是( )
A.若,分別為直線l,m的方向向量,則
B.若為直線的方向向量,為平面的法向量,則或
C.若,分別為兩個不同平面,的法向量,則
D.若向量是平面的法向量,向量,,則
11、點A,B為圓上的兩點,點P為直線上的一個動點,則下列說法正確的是( )
A.當時,且AB為圓的直徑時,的面積最大值為3
B.從點P向圓M引兩條切線,切點為A,B,線段的最小值為
C.A,B為圓M上的任意兩點,在直線l上存在一點P,使得
D.當,時,的最大值為
12、已知拋物線C的焦點為,點M在C的準線上,過點M作兩條均不垂直于x軸的直線,,使得,與拋物線C均只有一個公共點,分別為P,Q,則( )
A.拋物線C的方程為B.
C.直線PQ經過點FD.的面積為定值
三、填空題
13、已知點,,圓 ()上存在唯一的點,使,則實數a的值是___________.
14、已知直線與垂直,則__________.
15、如圖,在棱長為2的正方體中,E為BC的中點,點P在線段上,點P到直線的距離的最小值為____________.
16、若點P是雙曲線右支上的一點,點A是圓上的一點,點B是圓上的一點,則的最小值為_____________.
四、解答題
17、如圖,在平行六面體中,以頂點A為端點的三條棱長都是1,且它們彼此的夾角都是,M為與的交點.若,,.
(1)求;
(2)求證：直線平面.
18、求適合下列條件的雙曲線標準方程：
(1)經過點和;
(2)已知雙曲線過點,漸近線方程為,求該雙曲線的標準方程.
19、已知直線（a,b均為不等于0的實常數）,直線.
(1)若,求的值;
(2)若當時,l過定點A,O為原點,,求b的值.
20、已知拋物線的焦點為F,F到雙曲線的漸近線的距離為2.
(1)求拋物線C的標準方程;
(2)過動點作拋物線C的切線AB（斜率不為0）,切點為B,求線段AB的中點D的軌跡方程.
21、已知圓.
(1)求圓心C的坐標及半徑的大小;
(2)已知直線l與圓C相切,且在x,y軸上的截距相等且不為0,求直線l的方程;
(3)從圓C外一點向圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且有,求點P的軌跡方程.
22、橢圓的離心率為,過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若直線l與橢圓C相交于A,B兩點,與y軸相交于點,若存在實數m,使得,求m的取值范圍.
參考答案
1、答案：B
解析：由平行六面體可得,
又,
所以,,
則.
故選：B.
2、答案：A
解析：圓的圓心為,
圓的圓心為,
兩圓的相交弦AB的垂直平分線即為直線MN,
其方程為,即;
故選A.
3、答案：C
解析：圓,圓心為,半徑為,
則圓心到直線的距離為,
則弦長為,
則的面積為
令,,則,
則當時,取得最大值,
此時,解得或.
故選：C.
4、答案：A
解析：由題意,不妨以橢圓中心為坐標原點,建立如圖所示坐標系,
則橢圓方程為,
則,且,
解得,,
故該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為
,
又,所以.
故選：A.
5、答案：B
解析：設,顯然線段AB的中點坐標為,
因為四邊形OACB為平行四邊形,
所以線段OC的中點坐標和線段AB的中點坐標相同,即為,
因此C點坐標為,
因為直線OC,AB的斜率之積為3,
所以,
因為點A,B均在E上,
所以,
兩式相減得：,
所以兩條漸近線方程的傾斜角為或,
故選：B.
6、答案：C
解析：直線的斜率為,因此與此直線垂直的直線的斜率,
,
,
把代入得,
原式.
故選：C.
7、答案：B
解析：依題意,,.
根據橢圓的定義有,解得或,
所以,所以是鈍角,
所以,
所以.
故選：B.
8、答案：C
解析：取BC,AD的中點分別為H,G,連接GH,與AC交于點O,
ABCD是邊長為2的正方形,BCF是等腰三角形,
則,連接FH,EG,則,
又,GH,平面EFHG,所以平面EFHG,
又平面ABCD,所以平面平面EFHG.
以O為坐標原點,過O作平行于AD的直線為x軸,
在平面EFHG內過O作垂直于平面ABCD的直線為z軸,OH所在直線為y軸,
建立如圖所示的空間直角坐標系.
設,則,在等腰三角形BCF中,
,易知梯形EFHG為等腰梯形,過F作,
則,則,
則,
所以,
當時,取得最小值.
故選：C.
9、答案：AB
解析：因為,則該曲線不表示圓,故C錯誤;
若,即時,方程表示的曲線是雙曲線,故A正確;
若,即時,方程表示的曲線是橢圓,故B正確;
該方程為二元二次方程,則不可能表示拋物線,故D錯誤;
故選：AB.
10、答案：BD
解析：,,,
直線l與m不垂直,故A錯誤;
,或,故B正確;
,與不共線,不成立,故C錯誤;
由題可知即解得,故D正確.
故選：BD.
11、答案：ABD
解析：對于選項A,當,AB為直徑時,顯然當時,
的面積取得最大值,所以A正確;
對于選項B,設,則,
所以,越大,越小,
顯然當點P在處時,最大,
此時,,即,選項B正確;
對于選項C,由上可知當點P在處時,且PA,PB為切線時,最大,
此時,即,
所以不存在符合的點,故選項C不正確;
對于D選項,設AB的中點D,則,
所以點D在以M為圓心,為半徑的圓上,
易知,
設小圓半徑為,則,則的最大值為,
故D正確.
故選：ABD.
12、答案：ABC
解析：選項A：由題可設拋物線C的方程為,
所以,所以拋物線C的方程為,故A正確.
選項B：易知C的準線方程為,故可設點M的坐標為,
直線的斜率為,則直線的方程為,即,
與拋物線C的方程聯立,消去y并整理得.
因為與拋物線C只有一個公共點P,所以,
所以.設直線的斜率為,同理可得,
所以,是一元二次方程的兩個實數根,
所以,所以,故B正確.
選項C：設,則直線PQ的方程為,
由B可得,,,,,
所以,化簡并整理得,
所以直線PQ經過點,故C正確.
選項D：解法一:因為,所以
當且僅當時取等號,所以D錯誤.
解法二:設直線PQ的方程為,代入拋物線方程,
整理得,設,
則,.
所以,
因為,所以,
則點M到直線PQ的距離,
所以,當且僅當時取等號,故D錯誤.
故選：ABC.
13、答案：或
解析：設,則,
因為,整理得,即,
所以點P的軌跡方程為,
又因為圓C上存在唯一的點P符合題意,所以兩圓內相切,
因為圓,可得圓心,半徑,
圓,可得圓心,半徑,
可得或,解得或,又,
所以實數a的值為或.
故答案為：或.
14、答案：
解析：將化為斜截式方程可得,.
因為,所以,解得.
故答案為：.
15、答案：
解析：點P到直線的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離,
設點P在平面ABCD上的射影為,
顯然點P到直線的距離的最小值為的長度的最小值,
當時,的長度最小,
此時.
16、答案：
解析：雙曲線,則,,所以,設右焦點為,
圓,圓心為,半徑,
圓,圓心為,半徑,
且恰為雙曲線的左焦點,,
又點P是雙曲線C右支上的一點,則,
所以,
當且僅當E、P、三點共線（P在之間）時取等號.
故答案為：.
17、答案：(1)
(2)證明見解析
解析：（1）由題意得,,
所以
,
,
,
所以.
（2）,,,
因為,
,
所以,,
因為,BD,平面,
所以平面.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）設雙曲線的方程為,
點P,Q在雙曲線上,
,解得,.
雙曲線的標準方程為.
（2）由題意,漸近線方程為,令,
又在雙曲線上,
,即.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）由有
解得.
（2）時
按b整理得
令得,故
OA的斜率,故
解得
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）雙曲線的一條漸近線為,
又拋物線的焦點F的坐標為,
由題可得：,解得,故拋物線方程為：.
（2）設過點與拋物線C相切的直線方程為,
聯立拋物線方程可得,
則,又,則,
所以,,
設點D的坐標為,則,
即,代入,
可得,又,故;
則點D的軌跡方程為：.
21、答案：(1)圓心坐標,半徑;
(2)或;
(3)
解析：（1）由圓,得：,
圓心坐標,半徑;
（2）切線在兩坐標軸上的截距相等且不為零,
設直線方程,
圓,
圓心到切線的距離等于圓半徑,
即：
或,
所求切線方程為：或;
（3）切線PM與半徑CM垂直,設
,
由可得
所以點P的軌跡方程為.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）因為該橢圓的離心率為,所以有,
在方程中,令,解得,
因為過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1,
所以有,由(1),(2)可得：,
所以橢圓的方程為;
（2）當直線l不存在斜率時,由題意可知直線與橢圓有兩個交點,與縱軸也有兩個交點不符合題意;
當直線l存在斜率時,設為k,所以直線l的方程設為,
于是有,
因為該直線與橢圓有兩個交點,所以一定有,
化簡,得,
設,于是有,
因為,
所以,
代入中,得,
于是有,
化簡,得,代入中,
得.

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