一、單選題
1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)直線方程得到直線的斜率為，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求傾斜角.
【詳解】直線方程可整理為，所以直線的斜率為，傾斜角為.
故選：D.
2．已知是拋物線的焦點，為拋物線上一點．若，則點的橫坐標(biāo)為（ ）
A．B．16C．18D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于，列出方程，即可求解.
【詳解】由拋物線，可得，所以準(zhǔn)線方程為，
如圖所示，設(shè)點其中，且
過點作，垂足為，
由拋物線的定義得，點到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于，即，
所以，解得，即點的橫坐標(biāo)為.
故選：C.
3．為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推進(jìn)科普宣傳教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，不斷提高學(xué)生對科學(xué)?法律?健康等知識的了解，某學(xué)校組織全校班級開展“紅色百年路?科普萬里行”知識競賽.現(xiàn)抽取10個班級的平均成績：，據(jù)此估計該校各個班級平均成績的第40百分位數(shù)為（ ）
A．77B．78C．76D．80
【答案】A
【分析】由第p百分位數(shù)計算公式可得答案.
【詳解】因共10個數(shù)據(jù)，則，故該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為從小到大排列第4個數(shù)據(jù)與第5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.
故選：A
4．如圖，平行六面體中，為中點．設(shè)，，，用基底表示向量，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用幾何圖形的關(guān)系，結(jié)合向量的加法運算，即可求解.
【詳解】.
故選：B
5．已知是空間中三個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】A
【分析】對于A，借助于長方體模型，很容易判斷結(jié)論錯誤；對于B，運用面面平行的傳遞性易得；
對于C，通過平行平面的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)即得；對于D，借助于兩平面的法向量的垂直關(guān)系可得.
【詳解】
對于A，如圖，在長方體中，設(shè)平面為平面，平面為平面，
平面為平面，顯然滿足，但是平面與平面不平行,故A錯誤；
對于B，根據(jù)面面平行的傳遞性，若，則成立，故B正確；
對于C，若，則，又，所以，故C正確；
對于D，設(shè)直線的方向向量分別為，若，
則平面的一個法向量分別為，且，所以，故D正確.
故選A.
6．直線：與：（其中，，），在同一坐標(biāo)系中的圖象是圖中的（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】首先將直線方程化為斜截式，再結(jié)合各選項一一判斷.
【詳解】直線：，即，且與軸交于點，
直線：，即，且與軸交于點，
對于A：直線中，，直線中，，且，
則，所以的傾斜角大于的傾斜角，不符合題意，故A錯誤；
對于B：直線中，，直線中，，且，
則，所以的傾斜角大于的傾斜角，符合題意，故B正確；
對于C：直線中，，直線中，，矛盾，故C錯誤；
對于D：直線中，，直線中，，矛盾，故D錯誤；
故選：B
7．設(shè)曲線上點到直線的距離為，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】借助數(shù)形結(jié)合思想，利用直線與圓的位置關(guān)系可得答案.
【詳解】曲線，其中，，即，，
曲線方程可化為， 其中，，即曲線的軌跡是一個半圓.
因為圓心到直線的距離，
故半圓上一點到直線的最小距離，
半圓上點到直線的距離最大，
則的取值范圍為，
故選：B.
8．已知分別是橢圓的左?右兩個焦點，若該橢圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，分別是橢圓：的左、右兩個焦點，求得m的范圍，當(dāng)點位于短軸端點時，取最大值，要使上存在點滿足，則的最大值大于或等于，從而可得答案.
【詳解】解：由，分別是橢圓：的左、右兩個焦點，
則，當(dāng)點位于短軸端點時，取最大值，
要使上存在點滿足，則的最大值大于或等于，
即點位于短軸端點時，大于或等于，
則，解得．
故選：A.
二、多選題
9．方程表示曲線，給出以下命題是真命題的有（ ）
A．曲線可能為圓
B．若曲線為雙曲線，則或
C．若曲線為橢圓，則
D．若曲線為焦點在軸上的橢圓，則
【答案】AB
【分析】根據(jù)圓，橢圓，雙曲線的的系數(shù)特征列不等式求解判斷.
【詳解】當(dāng)，即時，方程為，為圓，A正確
當(dāng)，即或時，方程為雙曲型，B正確；
當(dāng)，即且時，方程為橢圓，C錯誤；
當(dāng)，即時，方程為焦點在軸上的橢圓，D錯誤；
故選： AB.
10．以下命題中正確的是（ ）
A．若是直線的方向向量，，則是平面的法向量
B．若，則直線平面或平面
C．A，B，C三點不共線，對平面外任意一點，若，則P，A，B，C四點共面
D．若是空間的一個基底，，則也是空間的一個基底
【答案】BCD
【分析】利用特殊值判斷A；根據(jù)空間共面向量定理判斷BC；根據(jù)空間向量基底的定義判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)時，，顯然不是平面的法向量，A錯誤；
對于B，由，得向量共面，即平面，
因此直線平面或平面，B正確；
對于C，由，得，因此四點共面，C正確；
對于D，由是空間的一個基底，得、、不共面，
若、、共面，則存在實數(shù)，使得，即有，
于是、、共面與、、不共面矛盾，因此、、不共面，
所以也是空間的一個基底，D正確.
故選：BCD
11．已知圓：和圓：的交點為，，直線：與圓交于，兩點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．圓上存在兩點和，使得
C．圓上的點到直線的最大距離為
D．若，則
【答案】AC
【分析】利用圓心到直線的距離小于半徑即可判斷A，再利用弦長公式判斷B，求出到的距離，即可判斷C，圓心到直線的距離為，即可得到方程，判斷D.
【詳解】A選項：圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
圓心為,半徑為，因為直線：與圓交于，兩點，
所以圓到直線的距離為，即，解得，
所以的取值范圍是，故A正確；
B選項：圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
圓心，半徑，根據(jù)兩圓的方程有直線方程為，
圓到直線AB的距離為，所以，
圓上任意兩點，，，故B錯誤；
C選項：圓上的點到直線的距離的最大值為，故C正確；
D選項：因為，所以為等邊三角形，
圓到直線的距離為，所以，
故或，故D錯誤.
故選：AC
12．如圖，雙曲線的左右焦點分別為和，點、分別在雙曲線的左、右兩支上，為坐標(biāo)原點，且，則下列說法正確的有（ ）

A．雙曲線的離心率
B．若且，則的漸近線方程為
C．若，則
D．若，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)漸近線夾角范圍得離心率范圍判斷A，利用三角形面積求得的坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可求解漸近線判斷B，在雙曲線上取B關(guān)于原點的對稱點M，連接，先證，再結(jié)合條件得，從而得判斷C，在上取一點使得，先證，再結(jié)合條件得，從而，判斷D.
【詳解】對于A，，兩漸近線夾角小于，，
，A正確；
對于B，時，為等腰直角三角形，，
又點在雙曲線上，代入雙曲線方程得即，，
漸近線方程為，B錯誤；
對于C，在雙曲線上取B關(guān)于原點的對稱點M，連接，，，.
，，又，.
又，為中點，，必有，，三點共線，
為角平分線，，C正確；
對于D，在上取一點使得，，，
，，又，，
，，D正確.

故選：ACD
三、填空題
13．甲、乙兩名運動員進(jìn)入男子羽毛球單打決賽，假設(shè)比賽打滿3局，贏得2局或3局者勝出，用計算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2，3時，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
據(jù)此估計甲獲得冠軍的概率為 ；
【答案】/
【分析】根據(jù)題意找出甲獲勝的情況，然后利用古典概型的概率公式求解.
【詳解】由題意得甲獲勝的情況有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342，
512， 125， 432， 334， 151， 314， 共13種，
所以估計甲獲得冠軍的概率為.
故答案為：
14．同時擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”.
①A與C互斥 ②B與D對立 ③A與D相互獨立 ④B與C相互獨立
則上述說法中正確的為 .
【答案】①④
【分析】列舉出所有可能組合，根據(jù)各事件的描述列出對應(yīng)的組合，結(jié)合互斥、對立、獨立事件的定義或性質(zhì)判斷事件間的關(guān)系即可.
【詳解】若表示(紅,藍(lán))的點數(shù)組合，則所有可能組合有：
，，
，，
，.
事件A的組合有，共4種；
事件B的組合有，，，共18種；
事件C的組合有，共6種；
事件D的組合有，，，，，，共27種；
事件的組合有，故；
事件的組合有故；
綜上，A與C互斥，B與D不對立，，，，，
所以，. A與D不相互獨立、B與C相互獨立.
故答案為：①④
15．已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】兩個向量的夾角為鈍角等價于且與不共線.
【詳解】由；
由.
綜上：且.
故答案為：.
16．已知拋物線C：的焦點為F，，過點M作直線的垂線，垂足為Q，點P是拋物線C上的動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題先求出直線必過的定點，再求出的軌跡方程，再數(shù)形結(jié)合求最值即可.
【詳解】
由得，
所以直線過點．
連接AM，則，由題意知點Q在以AM為直徑的圓上，設(shè)，所以點Q的軌跡方程為（不包含點），
記圓的圓心為，過點Q，P，N分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為B，D，S，連接DQ，則，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，Q，N四點共線且點Q在PN中間時等號同時成立，所以的最小值為．
故答案為;
四、解答題
17．已知直線l經(jīng)過點，且與直線平行．
(1)求直線l的方程；
(2)已知圓C與y軸相切，直線l被圓C截得的弦長為，圓心在直線上，求圓C的方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由兩直線平行可求得斜率為，再利用直線的點斜式方程即可求得結(jié)果；
（2）設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由弦長即圓心位置等即可解出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【詳解】（1）因為直線l與直線平行，所以直線l的斜率為，
則直線l的方程為，
化簡可得．
即直線l的方程為
（2）設(shè)圓C的方程為，則，
因為圓C與y軸相切，所以，
又圓心C到l的距離，所以，
即，
解得，．
故圓C的方程為．
18．2023年上海書展于8月16日至22日在上海展覽中心舉辦.展會上隨機(jī)抽取了50名觀眾，調(diào)查他們每個月用在閱讀上的時長，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)求x的值，并估計這50名觀眾每個月閱讀時長的平均數(shù)；
(2)用分層抽樣的方法從這兩組觀眾中隨機(jī)抽取6名觀眾，再若從這6名觀眾中隨機(jī)抽取2人參加抽獎活動，求所抽取的2人恰好都在這組的概率.
【答案】(1)，平均數(shù)為；
(2).
【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出，再求出閱讀時長的平均數(shù).
（2）求出抽取的6名觀眾中，區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，再利用列舉法求出古典概率即可.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得，
閱讀時長在區(qū)間內(nèi)的頻率分別為，
所以閱讀時長的平均數(shù).
（2）由頻率分布直方圖，得數(shù)據(jù)在兩組內(nèi)的頻率比為，
則在內(nèi)抽取人，記為，在內(nèi)抽取 人，記為，
從這名志愿者中隨機(jī)抽取人的不同結(jié)果如下：
，共15個，
其中抽取的人都在內(nèi)的有，共6個，
所以所抽取2人都在內(nèi)的概率．
19．已知是拋物線的焦點，是上在第一象限的一點，點在軸上，軸，，．
(1)求的方程；
(2)過作斜率為的直線與交于，兩點，的面積為（為坐標(biāo)原點），求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解；
（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，利用弦長公式計算出，再根據(jù)點到直線的距離公式計算出點到直線的距離，根據(jù)面積公式建立等式計算即可求解.
【詳解】（1）由題知，，
由拋物線的定義知，，
，的方程為．
（2）由（1）知，設(shè)，，
直線的方程為，代入，整理得，
由題易知，，，
，
到直線的距離為，
，解得，
直線的方程為或．
20．作為世界乒壇本賽季收官戰(zhàn)，首屆世界乒乓球職業(yè)大聯(lián)盟世界杯總決賽年月日在新加坡結(jié)束男女單打決賽的較量，國乒包攬雙冠成為最大贏家．我市男子乒乓球隊為備戰(zhàn)下屆市運會，在某訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練，甲、乙兩位隊員進(jìn)行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏個球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．
(1)求該局打個球甲贏的概率；
(2)求該局打個球結(jié)束的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先設(shè)甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，然后分析這4個球的發(fā)球者及輸贏者，即可得到所求事件的構(gòu)成，利用相互獨立事件的概率計算公式即可求解；
（2）先將所求事件分成甲贏與乙贏這兩個互斥事件，再分析各事件的構(gòu)成，利用互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式即可求得概率．
【詳解】（1）設(shè)甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，該局打4個球甲贏為事件C，
由題知，，，∴，
∴，
∴該局打4個球甲贏的概率為．
（2）設(shè)該局打5個球結(jié)束時甲贏為事件D，乙贏為事件E，打5個球結(jié)束為事件F，易知D，E為互斥事件，
，，，
∴
，
，
∴，
∴該局打5個球結(jié)束的概率為．
21．如圖，等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置，且．
(1)證明：平面平面；
(2)若為上的一點，點到平面的距離為，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由、可證得平面，由面面垂直的判定可證得結(jié)論；
（2）以中點為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用點到平面距離的向量求法可求得的值，根據(jù)二面角的向量求法可求得結(jié)果.
【詳解】（1）證明：在梯形中，取中點，連接，

，，四邊形為平行四邊形，，
，；
，，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）解：分別取中點，連接，
，為中點，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
分別為中點，，平面，
則以為坐標(biāo)原點，正方向為軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
，，，，，
設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，；
點到平面的距離，解得：，；
平面軸，平面的一個法向量，
，
所以，平面與平面夾角的余弦值為.
22．已知橢圓過點，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知的下頂點為，不過的直線與交于點，線段的中點為，若，試問直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，請求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.
【答案】(1)
(2)過定點，
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，由
，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）依題意，得又，解得
所以橢圓方程為.
（2）
因為，所以，
又為線段的中點，所以，因此.
根據(jù)題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)的方程為，
聯(lián)立消去，
得，
根據(jù)韋達(dá)定理可得，
因為，
所以
，
所以，
整理得，解得或.
又直線不經(jīng)過點，所以舍去，
于是直線的方程為，恒過定點，該點在橢圓內(nèi)，滿足，
所以直線恒過定點，定點坐標(biāo)為.

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