一、選擇題
1、雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為( )
A.B.C.D.
2、已知數(shù)列滿足,且,則( )
A.3B.C.-2D.
3、已知點在拋物線上,F是拋物線的焦點,點P為直線上的動點,則的最小值為( )
A.8B.C.D.
4、兩個正數(shù)a、b的等差中項是,等比中項是,且,則橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
5、已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列,且滿足,,則其通項公式為( )
A.B.C.D.
6、如圖,,是雙曲線與橢圓的公共焦點,點A是,在第一象限內的交點,若,則( )
A.雙曲線的漸近線為B.的離心率為
C.的方程為D.的面積為
7、記為等比數(shù)列的前n項和,若,,則( )
A.120B.85C.-85D.-120
8、設拋物線的焦點為F,準線為l,點M為C上一動點,為定點,則下列結論錯誤的是( )
A.準線l的方程是B.的最大值為2
C.的最小化為5D.以線段MF為直徑的圓與y軸相切
二、多項選擇題
9、已知數(shù)列滿足,數(shù)列滿足,記數(shù)列的前n項和為,則下列結論正確的是( )
A.數(shù)列是等差數(shù)列B.
C.D.
10、已知拋物線的焦點為F,過F且傾斜角為的直線l交拋物線于A,B兩點,以下結論中正確的有( )
A.直線l的方程為
B.原點到直線l的距離為
C.
D.以AB為直徑的圓過原點
11、“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列,該數(shù)列由正整數(shù)構成,后一項是前一項的“外觀描述”.例如：取第一項為1,將其外觀描述為“1個1”,則第二項為11;將11描述為“2個1”,則第三項為21;將21描述為“1個2,1個1”,則第四項為1211;將1211描述為“1個1,1個2,2個1”,則第五項為111221,…,這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描述,給定首項即可依次推出數(shù)列后面的項.對于外觀數(shù)列,下列說法正確的是( )
A.若,則B.若,則
C.若,則的最后一個數(shù)字為6D.若,則從開始出現(xiàn)數(shù)字4
12、已知橢圓的左、右焦點分別為,拋物線,（,）與橢圓C在第一象限的交點為P,若,則橢圓C的離心率為( )
A.B.C.D.
三、填空題
13、已知圓M與圓和圓均外切,則點M的軌跡方程為______________.
14、如圖所示,為完成一項探月工程,某月球探測器飛行到月球附近時,首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行,然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行,最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行,設圓形軌道Ⅰ的半徑為R,圓形軌道Ⅲ的半徑為r,則橢圓軌道Ⅱ的離心率為____________.（用R、r表示）
15、正項數(shù)列中,為數(shù)列的前n項和,且對任意滿足.若k,,且,則的最大值為___________.
四、解答題
16、已知數(shù)列滿足,若,則____________;若,,,,則當時,滿足條件的的所有項組成的集合為__________.
17、設數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和.
18、已知拋物線的焦點為F,過點的直線l交拋物線于M,N兩點,點A到C的準線的距離為3.
（1）求拋物線C的方程;
（2）若的面積為,求直線l的方程.
19、某市為改善市民出行,大力發(fā)展軌道交通建設,規(guī)劃中的軌道交通s號線線路示意圖如圖所示,已知M、N是東西方向主干道邊兩個景點,P、Q是南北方向主干道邊兩個景點,四個景點距離城市中心O均為,線路AB段上的任意一點N到景點M的距離比到景點的距離都多6km,線路BC段上任意一點到O的距離都相等,線路CD段上的任意一點到景點Q的距離比到景點P的距離都多6km,以O為原點建立平面直角坐標系xOy.
（1）求軌道交通s號線線路示意圖所在曲線的方程;
（2）規(guī)劃中的線路AB段上需建一站點G到景點Q的距離最近,問如何設置站點G位置？
20、記為等比數(shù)列的前n項和,.
(1)若,求的值;
(2)若,求證：.
21、已知數(shù)列：,,…,.如果數(shù)列：,,滿足,,其中,3,···,n則稱為的“衍生數(shù)列”.
(1)若數(shù)列：,,,的“衍生數(shù)列”是：5,-2,7,2,求;
(2)若n為偶數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,證明：的“衍生數(shù)列”是;
(3)若n為奇數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,的“衍生數(shù)列”是,…依次將數(shù)列,,,…第（,2,···,n）項取出,構成數(shù)列：,,….求證：是等差數(shù)列.
22、己知橢圓經(jīng)過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點的直線l交該橢圓于C,D兩點（點C在點D的上方）,橢圓的上、下頂點分別為A,B,直線AD與直線BC交于點Q.證明：點Q在定直線上.
參考答案
1、答案：B
解析：,,,
漸近線方程為,漸近線方程為.
故選：B.
2、答案：B
解析：由題意數(shù)列滿足,則,
故由,得,,,.
由此可知數(shù)列的周期為4,
故,
故選：B.
3、答案：D
解析：由拋物線,可得焦點為,準線方程為,
如圖所示,設點關于的對稱點為,則,
可得,當且僅當點P為直線與的交點時,取得最小值,
則,
即的最小值為.
故選：D.
4、答案：C
解析：因為兩個正數(shù)a、b的等差中項是,等比中項是,且,
則,解得,所以,故.
故選：C.
5、答案：B
解析：由數(shù)列為遞增等差數(shù)列,則,且,
又因為,所以,,
所以數(shù)列的公差,,
所以數(shù)列的通項公式為,故B項正確.
故選：B.
6、答案：D
解析：設雙曲線的方程為,橢圓的方程為,
則,,
所以,,,,
所以公共焦點為,,,
所以,
因為點A是,在第一象限內的交點,所以,
根據(jù)雙曲線的定義可得,,
所以,
根據(jù)橢圓的定義可得,,
所以,,
所以橢圓的方程為,
橢圓的離心率為,故BC項錯誤;
對于A項,雙曲線的漸近線方程為,故A項錯誤;
對于D項,由余弦定理得,
又,所以,
所以,故D項正確.
故選：D.
7、答案：C
解析：方法一：設等比數(shù)列的公比為q,首項為,
若,則,與題意不符,所以;
若,則,與題意不符,所以;
由,可得,,①,
由①可得,,解得：,
所以.
故選：C.
方法二：設等比數(shù)列的公比為q,
因為,,所以,否則,
從而,,,,成等比數(shù)列,
所以有,,解得：或,
當時,,,,
即為-1,-4,-16,,
易知,,即;
當時,,
與矛盾,舍去.
故選：C.
8、答案：B
解析：對于選項A,可知,所以焦點,準線方程為,故A正確;
對于選項B,,
當點M在射線EF上時等號成立,即的最大值為,故B錯誤;
對于選項C,過點M,E分別作準線的垂線,垂足分別為A,B,
則,
當點M在線段EB上時等號成立,
所以的最小值為5,故C正確;
對于選項D,設,線段MF的中點為D,則,
所以線段MF為直徑的圓與y軸相切,故D正確.
故選：B.
9、答案：ABC
解析：因為,所以,
所以,且,
所以數(shù)列是等差數(shù)列,且該數(shù)列的首項為1,公差為-2,
所以,所以選項AB正確;
因為,所以,
所以,
所以
,所以選項C正確,D錯誤.
故選：ABC.
10、答案：ABC
解析：如圖所示：
對選項A,拋物線的焦點為,所以直線l的方程為,故A正確;
對選項B,,故B正確.
對選項C,聯(lián)立,
設,,則,,
所以,故C正確.
對選項D,
,故D錯誤.
故選：ABC.
11、答案：AC
解析：對于A項,,即“2個2”,,即“2個2”,
以此類推,該數(shù)列的各項均為22,則,故A項正確;
對于B項,,即“1個1,1個3”,,即“3個1,1個3”,
故,即“1個3,2個1,1個3”,故,故B項錯誤;
對于C項,,即“1個6”,,即“1個1,1個6”,
,即“3個1,1個6”,故,即“1個3,2個1,1個6”,
以此類推可知,的最后一個數(shù)字均為6,故C項正確;
對于D項,因為,則,,,,
若數(shù)列中,中為第一次出現(xiàn)數(shù)字4,
則中必出現(xiàn)了4個連續(xù)的相同數(shù)字,
如,則在的描述中必包含“1個1,1個1”,
即,顯然的描述應該是“2個1”,矛盾,不合乎題意,
若或,同理可知均不合乎題意,
故不包含數(shù)字4,故D項錯誤.
故選：AC.
12、答案：CD
解析：由題意可知拋物線的焦點為,準線方程為,準線過點,
作PE垂直于拋物線的準線l于點E,則,
因為軸,所以,
所以,
設,則,
所以,
在中,由余弦定理得,
所以,整理得,
解得或,
當時,橢圓的離心率為,
當時,橢圓的離心率為,
綜上,橢圓離心率為或,
故選：CD.
13、答案：
解析：當圓M與圓,均外切時,,
所以,
則點M的軌跡為雙曲線D的上支,設軌跡方程為,
則,
則,
所以軌跡方程為.
故答案為：.
14、答案：
解析：由F為橢圓軌道Ⅱ的焦點,若,分別為長軸長、焦距,則,
故,
所以橢圓軌道Ⅱ的離心率為.
故答案為：.
15、答案：18
解析：由題意可知正項數(shù)列中,為數(shù)列的前n項和,且對任意滿足,①,
當時,,解得,
當時,,②,
得:,整理得,
由于數(shù)列為正項數(shù)列,故,
所以以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,
即,
所以,
又k,,且,即,
整理可得,
,
當時,,;
當時,,;
當時,,;
當時,,;
當時,,,
當時,,;
所以,;,時,或,時,最大,
所以的最大值為18,
故答案為：18.
16、答案：;
解析：因為,
,
當時,,所以,,
又因為,所以,,,
所以,,即,
因為,所以,滿足條件的的取值集合為.
故答案為：;.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）當時,,
因為①,
當時,②,
①②得,,
所以,
當時,,滿足上式,
故數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）知,,記的前項和為,
則,
所以
④③得,,
所以數(shù)列的前n項和為.
18、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由拋物線,得其準線方程為,
因為點到準線的距離為3.所以,解得,
所以拋物線方程為.
（2）由（1）得,
設直線l的方程為,
聯(lián)立消去y得,
設,
由韋達定理知,
所以,
因為,所以F到直線l的距離,
所以的面積,
所以,解得,
所以直線l的方程為.
19、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）線路AB段上的任意一點到N景點的距離比到景點M的距離都多6,
線路AB段所在的的曲線是以定點M,N為左右焦點的雙曲線的左支,
則其方程為;
線路BC段上任意一點到O的距離都相等,
線路BC段所在的曲線是以O為圓心,以OB為半徑的圓,
則其方程為;
線路CD段上的任意一點到景點Q的距離比到景點P的距離都多6,
線路CD段所在的曲線是以定點Q,P為上下焦點的雙曲線的下支,
則其方程為.
故軌道交通s號線線路示意圖所在曲線的方程為;
（2）設,由,則,
由（1）得,,即.
則.
當時,.
則站點為時,站點G到景點Q的距離最近.
20、答案：(1)60;
(2)證明見解析.
解析：（1）設等比數(shù)列的公比為q,
因為,所以,
,所以,
故,,成等比數(shù)列,且公比為,
所以,
整理得,
因為,故,
解得,
所以.
（2）因為,所以,由（1）知,,
因為數(shù)列,,,···,是以為首項,為公比的等比數(shù)列,
所以
又,
則
所以
21、答案：(1)2,1,4,5
(2)證明見解析
(3)證明見解析
解析：（1）由題意知,,
,,
解得,,,.
所以,1,4,5;
（2）由,得,
所以,,
由于n為偶數(shù),將上式n個等式中的第2,4,6,···,n,這個式子都乘以-1,
相加得,
即,所以,
又,,
根據(jù)“衍生數(shù)列”的定義知,數(shù)列是的“衍生數(shù)列”;
（3）設數(shù)列,,中后者是前者的“衍生數(shù)列”.
欲證數(shù)列成等差數(shù)列,只需證明,,成等差數(shù)列,
即只要證明即可.
由（2）知,
,
所以,即,,成等差數(shù)列,
所以成等差數(shù)列.
22、答案：(1)
(2)證明見解析
解析：（1）橢圓過點M, ,
, ,
橢圓的標準方程為.
（2）方法一：設直線l的方程為,,,,
,,
直線方程為：,直線BC方程：.
聯(lián)立AD,BC方程可得
, .
點Q在定直線上運動.
方法二：和差轉化
由方法一可得,
,
.
方法三：點代平方差
D在橢圓上, ,
,
.

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