注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內容：人教A版必修第一冊、第二冊，選擇性必修第一冊、第二冊至4.3.1．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集的運算求解即可.
【詳解】因為，所以．
故選：A
2. 復數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的乘、除法運算即可求解.
【詳解】由題意知，．
故選：D
3. 已知為拋物線：（）上一點，點到的焦點的距離為9，到軸的距離為6，則（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的定義結合題意可求得結果.
【詳解】因為點到的焦點的距離為9，到軸的距離為6，
所以，則．
故選：C
4. 若直線：與直線：平行，則（ ）
A. B. 2C. 或2D. 1或
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩直線平行的必要條件（系數(shù)交叉相乘積相等）求得的值，再檢驗，排除重合的情況即可.
【詳解】因為，所以，解得或．
當時，與重合，不符合題意．
當時，，符合題意．
故選：B.
5. 有編號互不相同的五個砝碼，其中3克、1克的砝碼各兩個，2克的砝碼一個，從中隨機選取兩個砝碼，則這兩個砝碼的總重量超過4克的概率為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用列舉法列舉出樣本空間，結合古典概型概率計算公式即可求解.
【詳解】記3克的砝碼為，，1克的砝碼為，，2克的砝碼為，從中隨機選取兩個砝碼，
樣本空間，
共有10個樣本點，其中事件“這兩個砝碼的總重量超過4克”包含3個樣本點，故所求的概率為．
故選：A.
6. 已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圖象得出，，進而求得，再代入點坐標，可得，進而求出.
【詳解】由函數(shù)的圖像可知，
，則，．
由，解得，
則，
故，.
故選：B
7. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則當取得最大值時，（ ）
A. 37B. 36C. 18D. 19
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質與前項和公式推得，，從而得解.
【詳解】因為，
，
所以，，從而當時，取得最大值．
故選：C.
8. 已知是雙曲線的左焦點，為坐標原點，過點且斜率為的直線與的右支交于點，，，則的離心率為（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中點為，連接，,根據(jù)題意得到，求得，結合，得到，結合雙曲線的定義，得到，即可求解.
【詳解】如圖所示，雙曲線的右焦點為，的中點為，連接，,
因為，為的中點，所以，則，可得，
又因為，所以，
則，，可得，
所以的離心率為．
故選：B.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 甲同學通過數(shù)列3，5，9，17，33，…的前5項，得到該數(shù)列的一個通項公式為，根據(jù)甲同學得到的通項公式，下列結論正確的是（ ）
A. B.
C. 該數(shù)列為遞增數(shù)列D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)首項可得，再逐個選項判斷即可.
【詳解】對AB，由，得，故，故A正確，B錯誤；
對C，得該數(shù)列為遞增數(shù)列，故C正確；
對D，，則，故D正確.
故選：ACD
10. 某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（單位：厘米）的平均值為170，身高的方差為24，女生身高的平均值為160，身高的方差為19，則（ ）
A. 該班全體學生身高的平均值為165B. 該班全體學生身高的平均值為166
C. 該班全體學生身高的方差為46D. 該班全體學生身高的方差為44
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差公式求解即可.
【詳解】由題可知，該班全體學生身高的平均值為，
該班全體學生身高的方差為．
故選：BC
11. 已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，，且它們的離心率互為倒數(shù)，是與的一個公共點，則（ ）
A. B.
C. 為直角三角形D. 上存在一點，使得
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意和雙曲線標準方程可推出橢圓的值，根據(jù)橢圓與雙曲線定義即可判斷AB；聯(lián)立關系式求出的值，根據(jù)三邊關系即可判斷C；若，則點在以為直徑的圓上，聯(lián)立方程求解即可判斷D.
【詳解】設，，雙曲線的半實軸為，半虛軸為，
橢圓的離心率為與雙曲線的離心率為，
由雙曲線的方程可知：，，則，，
則，橢圓的離心率為，
則，解得.
對于選項A：由雙曲線定義可知：，故A錯誤；
對于選項B：由橢圓定義可知：，故B正確；
對于選項C：根據(jù)對稱性，不妨設在第一象限，
則，解得
即，可知，
所以為直角三角形，故C正確；
對于選項D：若，則點在以為直徑的圓上，
聯(lián)立方程，方程組無解，
所以上不存在一點，使得，故D錯誤；
故選：BC.
12. 數(shù)學探究課上，小王從世界名畫《記憶的永恒》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1所示的《垂直時光》.已知《垂直時光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個標準的圓形鐘沿著直徑折成了直二面角（其中對應鐘上數(shù)字對應鐘上數(shù)字9）.設的中點為，若長度為2的時針指向了鐘上數(shù)字8，長度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12.現(xiàn)在小王準備安裝長度為3的秒針（安裝完秒針后，不考慮時針與分針可能產(chǎn)生的偏移，不考慮三根指針的粗細），則下列說法正確的是（ ）
A. 若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則
B. 若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則平面
C. 若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則與所成角的余弦值為
D. 若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則四面體的外接球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】分別用立體幾何中空間向量法判斷A，B，C，求出四面體的外接球的表面積，判斷D.
【詳解】
如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則.
若秒針指向了鐘上數(shù)字5，則，
則，，所以，A正確.
，故是平面的一個法向量.
因，所以，
所以與不垂直，從而與平面不平行，B不正確.
若秒針指向了鐘上數(shù)字4，則，
，
，C正確.
由，得.
因為，所以外接圓的半徑，
則四面體的外接球的半徑，則，
故四面體的外接球的表面積為，D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，，若，則______．
【答案】2或
【解析】
【分析】根據(jù)向量的垂直的坐標運算可得答案.
【詳解】因為，所以，解得或．
故答案為：2或.
14. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)R上的奇函數(shù)特征易得和，代入即得.
【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，，則．
故答案為：.
15. 某公司2015年全年生產(chǎn)某種商品10000件，在后續(xù)的幾年中，后一年該商品的產(chǎn)量都是前一年的120%，則該商品年產(chǎn)量超過20000件時，至少需要經(jīng)過______年．
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質即得.
【詳解】設經(jīng)過年后，該商品年產(chǎn)量超過20000件，則，即．
因為，，所以至少需要經(jīng)過4年．
故答案為：4
16. 若，是平面內不同的兩定點，動點滿足（且），則點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知點，，，動點滿足，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓定義可確定，利用三角形三邊關系可知當，，三點共線時，，即為所求最大值.
【詳解】設，則，整理得，
則是圓：上一點，
由，得,如圖所示
故，
當且僅當，，三點共線，且在之間時取得最大值．
又因為,
所以的最大值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 在正項等比數(shù)列中，，．
（1）求的通項公式；
（2）若，證明是等差數(shù)列，并求的前項和．
【答案】（1）
（2）證明見解析，
【解析】
【分析】（1）設的公比為（），然后根據(jù)題意列方程可求出，從而可求出；
（2）由（1）可得，從而可證得是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，進而可求出.
【小問1詳解】
設的公比為（），由，得，
解得或（舍去），
因為，所以．
【小問2詳解】
由（1）可知，，則．
因為，所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
故．
18. 已知圓與圓關于直線對稱．
（1）求的標準方程；
（2）記與的公共點為，求四邊形的面積．
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】（1）找到圓的圓心，半徑，利用圓與圓關于對稱，求出圓心和半徑即可;
（2）求出圓心距與到直線的距離，結合對稱性即可求解.
【小問1詳解】
將的方程轉化為，可得的圓心為，半徑為3．
設的圓心為，半徑為，因為與關于直線：對稱，
所以解得
故的標準方程為．
【小問2詳解】
，
根據(jù)對稱性可知到直線的距離，
則，
則四邊形的面積．
19. 的內角，，所對的邊分別為，，．已知，，成等差數(shù)列．
（1）若，求；
（2）若，當取得最小值時，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理結合正弦的差角公式，結合等差中項計算即可；
（2）根據(jù)余弦定理及基本不等式先求取最小值時的邊長，再利用三角形面積公式計算即可.
小問1詳解】
因為，
所以，
即，
即，
于是有
所以或，解得或（舍去）．
因為，，成等差數(shù)列，
所以．
由，得，
所以，即，
所以．
【小問2詳解】
由，得，
則，
當且僅當時，等號成立，
此時，
所以的面積．
20. 已知正項數(shù)列的前項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)與的關系，結合等差數(shù)列的定義進行求解即可；
（2）運用裂項相消法進行求解即可.
【小問1詳解】
當時，，解得．
當時，由，得，
則，則．
因為，所以，所以是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，
則．
【小問2詳解】
由（1）可知，
則
．
21. 如圖，在四棱錐中，，，與均為正三角形.
（1）證明：平面.
（2）證明：平面.
（3）設平面平面，平面平面，若直線與確定的平面為平面，線段的中點為，求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由已知得出，即可根據(jù)線面平行的判定證明；
（2）取的中點，連接，過作平面，垂足為，連接，，，，通過已知得，通過線面垂直的判定與性質得出，通過中位線得出，即可得出，再通過勾股定理得出，即可證明；
（3）以為坐標原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，得出各點坐標，通過點到平面距離的向量求法即可求出.
【小問1詳解】
因為，
所以，，
所以，
因為平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
取的中點，連接，則四邊形為正方形.
過作平面，垂足為.
連接，，，.
由和均為正三角形，得，
所以，即點為正方形對角線的交點，
則.
因為平面，且平面，
所以，
又，且平面,平面,
所以平面，
因為平面，
所以.
因為是的中點，是的中點，
所以，
因此.
因，
所以，
又，平面，平面，
所以平面.
【小問3詳解】
設，連接，則直線為直線，
因為，平面，平面，
所以平面，
因為平面，且平面平面，
所以.
由（1）知，，，兩兩垂直，以為坐標原點，的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
，，
設平面的法向量為，則，
所以，
取，得.
又，
所以點到平面的距離.
22. 已知雙曲線的焦距為，點在上．
（1）求的方程；
（2），分別為的左、右焦點，過外一點作的兩條切線，切點分別為，，若直線、互相垂直，求周長的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，即可求出、，從而得解；
（2）依題意、的斜率均存在，設，過點且與相切的直線為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由得到，再由，得到，又直線、互相垂直，即可得到，再表示出，求出的最大值，即可得解.
【小問1詳解】
依題意可得，解得，
所以雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
依題意、的斜率均存在，設，過點且與相切的直線為，
由，整理得，
則，整理得，
將代入得，則，
所以，
因為直線、互相垂直，
所以，即，
則，，
所以，所以，當且僅當時取等號，
因為，所以周長的最大值為.
【點睛】方法點睛：
解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：
（1）幾何轉化代數(shù)法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質來解決；

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