1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)第一章至第五章5.3.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 滿(mǎn)足的集合M的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)子集的概念可得集合的個(gè)數(shù).
【詳解】因?yàn)?，所以集合可能為：，，，?種情況.
故選：C
2. 命題“，”否定是（ ）
A. 不存在，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定，直接得出結(jié)果.
【詳解】由題意知，命題“”的否定為
“”.
故選：C
3. 若，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由得或，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.
【詳解】由，得或，
所以“”是“或”的充分不必要條件，
即“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4. 已知函數(shù)則的值為（ ）
A. 7B. 3C. 9D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由里到外逐步代入即可求解.
【詳解】,
故選：D
5. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零可求得函數(shù)的定義域.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得，
故函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：B.
6. 若，則的大小關(guān)系是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】∵，，，
∴．故選．
點(diǎn)晴：本題考查的是指數(shù)式，對(duì)數(shù)式的大小比較．解決本題的關(guān)鍵是利用指、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，當(dāng)指、對(duì)函數(shù)的底數(shù)大于0小于1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；另外由于指數(shù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（0，1），對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1，0），所以還經(jīng)常借助特殊值0,1比較大小
7. 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可以判定函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可知，使函數(shù)值一正一負(fù)即可．
【詳解】由題意可得，
由于函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為.
故選：D．
8. 已知圓O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，P沿直線l勻速向右、Q沿圓周按逆時(shí)針?lè)较蛞韵嗤乃俾蔬\(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，連接OQ，OP，則陰影部分的面積，的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D. 先，再，最后
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件求出扇形AOQ與 面積，再由面積的關(guān)系即可判斷作答.
【詳解】因圓O與直線l相切，則，于是得面積，
令弧AQ的弧長(zhǎng)為l，扇形AOQ面積，
依題意，即，令扇形AOB面積為，則有，即，
所以陰影部分面積，的大小關(guān)系是.
故選：C
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列圖象表示的函數(shù)中有兩個(gè)零點(diǎn)的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合圖形依次判斷即可.
【詳解】A：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故A符合題意；
B：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故B不符合題意；
C：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故C符合題意；
D：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，故D不符合題意；
故選：AC
10. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 兩個(gè)角的終邊相同，則它們的大小可能不相等
B.
C. 若，則為第一或第四象限角
D. 扇形的圓心角為，周長(zhǎng)為，則扇形面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用終邊相同的角的定義可判斷A選項(xiàng)；利用誘導(dǎo)公式可判斷B選項(xiàng)；利用三角函數(shù)值符號(hào)與角的終邊的位置關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，兩個(gè)角的終邊相同，則它們的大小可能不相等，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若，則為第一或第四象限角或終邊落在軸正半軸上，C錯(cuò)；
對(duì)于D，設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，，聯(lián)立解得，，
所以該扇形的面積為，D對(duì).
故選：ABD.
11. 若、、，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則
B.
C. 若正數(shù)、滿(mǎn)足，則的最小值是
D. 若，則
【答案】BD
【解析】
【分析】取可判斷A選項(xiàng)；利用作差法可判斷B選項(xiàng)；由已知可得出，結(jié)合基本不等式可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)檎龜?shù)、滿(mǎn)足，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，的最小值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
由知，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．
故選：BD.
12. 已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足：①；②當(dāng)時(shí)，．下列說(shuō)法正確的有（ ）
A.
B
C. 當(dāng)時(shí)，
D. 方程有個(gè)實(shí)數(shù)根
【答案】ACD
【解析】
【分析】推導(dǎo)出函數(shù)的周期為，結(jié)合周期性可判斷AB選項(xiàng)；利用周期性和對(duì)稱(chēng)性求出函數(shù)在上的解析式，可判斷C選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)AB，因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù)，故，
因?yàn)椋?，則，
故，故的周期為，故，故A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，
故，則，
當(dāng)時(shí)，，，
故當(dāng)時(shí)，，故C正確；
對(duì)D，，即，如下圖所示：
由圖可知，直線與函數(shù)的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. ______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式可得出所求代數(shù)的值.
【詳解】.
故答案為：.
14. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則_________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用冪函數(shù)定義及圖象特征求解即得.
【詳解】?jī)绾瘮?shù)，得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，其圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，其圖象經(jīng)不過(guò)原點(diǎn)
故答案：
15. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函數(shù)定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則來(lái)確定單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】令，得或.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象即可根據(jù)圖象交點(diǎn)求解.
【詳解】畫(huà)出的大致圖象，如圖所示．關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象可得的取值范圍為．
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 化簡(jiǎn)或求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）由指數(shù)冪的運(yùn)算得到；
（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到.
【小問(wèn)1詳解】
原式
【小問(wèn)2詳解】
原式
18. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）命題P：，命題Q；，若P是Q的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，化簡(jiǎn)集合，即可由交運(yùn)算求解，
（2）根據(jù)集合間的包含關(guān)系即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由可得，
當(dāng)時(shí)，，所以．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)镻是Q的必要條件，所以．
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
19. 已知函數(shù)，其中且.
（1）若的圖象恒過(guò)點(diǎn)，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)函數(shù)，試判斷的奇偶性，并證明.
【答案】（1）
（2）為偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）令，解出，進(jìn)而可得定點(diǎn)；
（2）先確定的定義域，然后通過(guò)證明可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，
令，得，，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
【小問(wèn)2詳解】
為偶函數(shù)，證明如下：
由，得，即的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
因?yàn)椋?br>所以為偶函數(shù).
20. 定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分，以及討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，則，
又是定義在上的奇函數(shù)，，
且，則，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，，
當(dāng)時(shí)，由可得，，
即或，解得或，
又時(shí)，所以解集為；
當(dāng)時(shí)，，，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，由可得，，
即或，解得或，
又，所以解集為；
綜上所述，不等式的解集為.
21. 已知函數(shù)（且）．
（1）若，且，求的定義域；
（2）若，函數(shù)的定義域?yàn)椋嬖?，使得在上的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)且時(shí)，可得出，利用對(duì)數(shù)真數(shù)大于零以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的定義域；
（2）分析可知，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，令，可得出方程有兩個(gè)不同的正根，分、兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布可求得的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)且時(shí)，，
由題知，即，解得，
故當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)椋驗(yàn)閮?nèi)層函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
外層函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，存在，使得在上的值域?yàn)椋?br>故，所以，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，故，即有兩個(gè)不同的解．
令，若，則，，
即方程可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的正數(shù)根，
令，則，
設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，則，不合乎題意；
若，則，，
即方程可轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
得，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布求參數(shù)，一般要分析以下幾個(gè)要素：
（1）二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；
（2）判別式；
（3）對(duì)稱(chēng)軸的位置；
（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào).
結(jié)合圖象得出關(guān)于參數(shù)的不等式組求解.
22. 長(zhǎng)沙市地鐵8號(hào)線項(xiàng)目正在進(jìn)行中，通車(chē)后將給市民帶來(lái)便利．該線路通車(chē)后，列車(chē)的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿(mǎn)足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車(chē)載客量與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)，列車(chē)處于滿(mǎn)載狀態(tài)，載客量為600人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與成正比，且發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為280人，記列車(chē)載客量為．
（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車(chē)的載客量．
（2）若該線路每分鐘的凈收益（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？并求出最大值．
【答案】（1），475人
（2）當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，且最大值為1400元．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意分和兩種情況，求出解析式；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到，分兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和基本不等式求出最大值，比較后得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
顯然當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，即，解得，
故，
故；
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，載客量為475人．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，
由于，故當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，且最大值為1400元．x
1
0
1.19
1.41
1.68
2

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