1. 設(shè)的實(shí)部與虛部相等，其中為實(shí)數(shù)，則
A. ?3B. ?2C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：，由已知，得，解得，選A.
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算
【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀題的形式出現(xiàn),屬得分題.高考中考查頻率較高的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算.這類問題一般難度不大,但容易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤,特別是中的負(fù)號易忽略,所以做復(fù)數(shù)題時要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.
2. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 底面是正三角形的三棱錐是正三棱錐
B. 所有幾何體的表面都能展開成平面圖形
C. 棱錐側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是正六棱錐
D. 一個直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉曲面所圍成的圖形叫做圓錐
【答案】D
【解析】
【分析】對于選項(xiàng)ABC舉出反例或者找出矛盾即可判斷是錯誤的，由圓錐定義即可得D正確.
【詳解】對于A，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可知，底面是正三角形，且頂點(diǎn)投影必須在底面正三角形的中心，
只是底面是正三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，故A錯誤；
對于B，球體的表面不能展開成平面圖形，所以B錯誤；
對于C，由正六邊形性質(zhì)可知，其中心到頂點(diǎn)的距離與邊長相等，
因此由勾股定理可知正六棱錐的側(cè)棱長必然大于其底面邊長，即C錯誤；
對于D，根據(jù)圓錐定義即可判斷D正確.
故選：D
3. 某學(xué)校共有980名學(xué)生，其中高一的學(xué)生有400名，高二的學(xué)生有300名，其余都是高三的學(xué)生，為了解該校學(xué)生的體育鍛煉時間，按照高一?高二?高三三個級段進(jìn)行分層抽樣，如果樣本容量為196，那么應(yīng)在高三的學(xué)生中抽取（ ）
A. 48名B. 52名C. 56名D. 60名
【答案】C
【解析】
【分析】由分層抽樣的抽樣比即可求解.
【詳解】由題意可知高三學(xué)生有名，所以由分層抽樣的抽樣比可知應(yīng)在高三學(xué)生中抽取名，
故選：C
4. 《九章算術(shù)》是我國數(shù)學(xué)史上堪與歐幾里得《幾何原本》相媲美的數(shù)學(xué)名著．其第五卷《商功》中有如下問題：“今有圓堡，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？”這里所說的圓堡就是圓柱體，其底面周長是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少?若取3，估算該圓堡的體積為（1丈=10尺）
A. 1998立方尺B. 2012立方尺
C. 2112立方尺D. 2324立方尺
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：由底面半徑為，則，又，所以，所以該圓堡的體積為立方尺，故選A．
考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)學(xué)文化；2．旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積．
5. m，n為空間中兩條不重合直線，為空間中一平面，則下列說法正確是（ ）
A. 若， ，則B. 若，，則
C. 若， ，則D. 若， ，則
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)空間中的線線平行、線面平行、線面垂直的定義以及性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷.
【詳解】A．因?yàn)?，，所以?dāng)時，不滿足，故錯誤；
B．根據(jù)“垂直于同一平面的不同直線互相平行”可知B正確；
C．因?yàn)椋?，所以可能是異面直線，故錯誤；
D．因?yàn)?，，所以時也滿足，故錯誤，
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過分析已知的平行垂直關(guān)系，找尋不符合條件描述的反例，由此排除選項(xiàng).
6. 如圖，在正方體中，M為中點(diǎn)，過且與平行的平面交平面于直線l，則直線l與AB所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，由正方體的性質(zhì)可得平面，延長與相交于點(diǎn)，連接，則即為直線，再利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值；
【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，在正方體中，，平面，平面，所以平面，延長與相交于點(diǎn)，連接，則即為直線，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，所以，，設(shè)與所成角為，則
故選：D
7. 奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到，再結(jié)合“奔馳定理”即可求解結(jié)論．
【詳解】解：為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，
，
．
，
故選：D．
8. 在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則的最大值是（ ）
A. B.
C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題中的邊角關(guān)系式化簡等式，將轉(zhuǎn)化為某一角的某一三角函數(shù)的形式，再運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)求解其最大值.
【詳解】根據(jù)題意，，
所以，
由正弦定理可得： ，即，
所以，因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)?，所以，所以?br>則的最大值是.選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)ABD錯誤故選：C.
二?多選題（本大題共4小題，共20分）
9. 下列情況不適合抽樣調(diào)查的有（ ）
A. 調(diào)查一個縣各村的糧食播種面積
B. 了解一批炮彈的殺傷直徑
C. 了解高一（1）班40名學(xué)生在校一周內(nèi)的消費(fèi)
D. 調(diào)查一批魚苗的生長情況
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查、全面調(diào)查的定義判斷即可.
【詳解】對于A：調(diào)查一個縣各村的糧食播種面積采用全面調(diào)查，故A錯誤；
對于B：了解一批炮彈的殺傷直徑采用抽樣調(diào)查，故B正確；
對于C：了解高一（1）班40名學(xué)生在校一周內(nèi)的消費(fèi)采用全面調(diào)查，故C錯誤；
對于D：調(diào)查一批魚苗的生長情況采用抽樣調(diào)查，故D正確；
故選：AC
10. 要考查某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取種子，先將850顆種子按001，002，…，850進(jìn)行編號，如果從隨機(jī)數(shù)表第2行第2列的數(shù)開始并向右讀，下列選項(xiàng)中屬于最先檢驗(yàn)的4顆種子中一個的是________.(下面抽取了隨機(jī)數(shù)表第1行至第3行)（ ）
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
A. 774B. 946C. 428D. 572
【答案】ACD
【解析】
【分析】依據(jù)題意結(jié)合隨機(jī)數(shù)表法直接讀數(shù)并滿足號碼不大于850即可.
【詳解】依據(jù)題意可知：向右讀數(shù)依次為：774，946，774，428，114，572，042，533，…
所以最先檢驗(yàn)的4顆種子符合條件的為：774，428，114，572
故選：ACD
【點(diǎn)睛】本題考查簡單隨機(jī)抽樣中的隨機(jī)數(shù)表法，掌握讀數(shù)的方法，屬基礎(chǔ)題.
11. 在中，角，，的對邊分別為，，，則下列各組條件中使得有唯一解的是（ ）
A.
B.
C.
D. ，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)所給條件，結(jié)合正弦定理、余弦定理，求得其余的邊長或角，判斷三角形是否唯一即可.
【詳解】對于A，因?yàn)椋?，結(jié)合，唯一確定；
對于B，由正弦定理得，.因?yàn)?，所以，所以此時B只有一個解，唯一確定；
對于C，由正弦定理得，.因?yàn)?，所以，且，所以此時B在中有兩個解，不唯一；
對于D，由余弦定理知，，代入得，
解得或（舍），唯一確定；
故選：ABD
12. 已知正四棱臺的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，為內(nèi)部（含邊界）的動點(diǎn)，則（ ）
A. ∥平面
B. 球的表面積為
C. 的最小值為
D. 若與平面所成角的正弦值為，則點(diǎn)軌跡長度為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，由條件先證線線平行，進(jìn)而證得線面平行；
對于B，先假設(shè)球心的位置，利用勾股定理與半徑相等建立方程組進(jìn)而確定的位置，可求得球的表面積；
對于C，先判斷落在上，再進(jìn)一步判斷與重合時，取得最小值；
對于D，利用面面垂直的性質(zhì)作出面，故為與平面所成角，再利用得出長，繼而判斷點(diǎn)軌跡為圓弧.
【詳解】對于A，如圖1，設(shè)底面對角線交于點(diǎn)
由棱臺的結(jié)構(gòu)特征易知與的延長線必交于一點(diǎn)，故共面，
又面面，而面面，
面面，故，即；
由平面幾何易得，即；
所以四邊形是平行四邊形，故，
而面，面，所以平面，故A正確；
.
對于B，如圖2，設(shè)為的中點(diǎn)，為正四棱臺外接球的球心，則，
等腰梯形中，易得，即，
為方便計(jì)算，不妨設(shè)，則由，
即，即，
又，解得，即與重合，故，
故球的表面積為，故B正確；
.
對于C，由圖2易得，，，面，故面，
不妨設(shè)落在圖3處，過作，則面，故，
故中，（直角邊小于斜邊）；同理，，
所以，故動點(diǎn)只有落在上，才有可能取得最小值；
再看圖4，由可知，
故，故C錯誤；
.
對于D，由選項(xiàng)C可知，面，面，故面面，
在面內(nèi)過作交于，如圖5，
則面，面面，故面，故為與平面所成角，
在中，，，，故為正三角形，即，故，
在中，，即E點(diǎn)在以F為圓心，為半徑的圓與所交的圓弧，
而,故圓弧所對圓心角為（如圖6所示平面圖），所以軌跡長為，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于確定的位置，先假設(shè)在外（記為），由勾股邊小于斜邊推得，進(jìn)而得到只有落在上，再利用為定值及基本不等式，推得與重合時，取得最小值；對于動點(diǎn)，我們一般要考慮特殊位置，可提高我們做題速度.
二?填空題（木大題共4小題，共20分.其中第16題第一個空2分，第二個空3分）
13. 已知總體劃分為3層，通過分層抽樣，得到各層的平均數(shù)分別為45，48，50，各層的樣本容量分別為30，50，20,則估計(jì)總體平均數(shù)為__________.
【答案】##47.5
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義即可求解.
【詳解】總體平均數(shù)為,
故答案：47.5
14. 向量，向量與的夾角為，則cs＝________．
【答案】
【解析】
【分析】依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，最后根據(jù)計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即，即，所以，所?br>所以
故答案為：
15. 水平放置的的斜二側(cè)直觀圖如圖所示，若，的面積為，則的長為________.
【答案】.
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出BC、的長，再用余弦定理求出的長．
【詳解】如圖所示，
，
的面積為，
，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了斜二測畫法的應(yīng)用問題和三角形邊長與面積的計(jì)算問題，屬于中檔題．
16. 如圖在三棱錐中，，且，分別是和的中點(diǎn)．則異面直線與所成的角的余弦值為______，直線與面所成角大小為_________.

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求線線角與線面角.
【詳解】因?yàn)椋砸許為坐標(biāo)原點(diǎn)，SA,SB,SC為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則
因?yàn)?，所以異面直線與所成的角的余弦值為，
面一個法向量為則由得即直線與面所成角大小為.
【點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 在復(fù)平面內(nèi)有一個矩形，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，求另外兩個頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù).
【答案】頂點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，頂點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.
【詳解】點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是,則,設(shè)，則，
,,
則，因此,
頂點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是,
由于,所以,
頂點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)是

18. 平面內(nèi)給定三個向量.
（1）求；
（2）求滿足的實(shí)數(shù)m和n；
（3）若，求實(shí)數(shù)k.
【答案】（1）6；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再求模長即可；
（2）先寫的坐標(biāo)，再根據(jù)使對應(yīng)橫縱坐標(biāo)相等列方程組，解方程組即得結(jié)果；
（3）利用向量垂直則數(shù)量積為零，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列關(guān)系求出參數(shù)即可.
【詳解】解：（1）由，得
，；
（2）， ，
，，
故，解得；
（3），，
，，
，，即，
解得.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：
若 ，則等價(jià)于；等價(jià)于.
19. 如圖，是直角三角形斜邊上一點(diǎn)，.
（1）若，求角的大?。?br>（2）若，且，求的長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理求出，結(jié)合得到，從而得到；（2）求出，進(jìn)而得到角C的余弦值，再使用余弦定理求出的長.
【小問1詳解】
在中，由正弦定理得 ，
所以，
又
所以，.
【小問2詳解】
由，且知：
所以，直角三角形中，
在中，由余弦定理得

所以，.
20. 如圖，在三棱柱中，，，，．
（1）證明：平面⊥平面．
（2）若為的中點(diǎn)，求到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可求出，利用勾股定理可證，，從而可證結(jié)論；
（2）由題知，然后利用等體積法可求.
【詳解】（1）證明：如圖，連接，在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以．
同理．
又因?yàn)椋?br>所以平面．
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面．
（2）解：過作于，連接，．
由（1）知平面，所以平面．
因?yàn)?，，所，?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，所以?br>在中，因?yàn)?，，?br>所以．
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，．
在中，因?yàn)?，，?br>所以，
所以，于是的面積為．
因?yàn)椋?br>所以三棱錐的體積為．
設(shè)到平面的距離為．
因?yàn)槿忮F的體積與三棱錐的體積相同，
所以，解得，
即到平面的距離為．
21. 如圖，在四棱錐中，，，，，為銳角，平面平面.
（1）證明：平面；
（2）若與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）在平面內(nèi)過作于，得平面，，過分別作于，取中點(diǎn)為，得 ，所以平面，得，再由線面垂直的判定定理可得答案.
（2）二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)，由（1）可得為二面角的平面角，在中，為與平面所成的角，由正弦值為，得，，可得答案.
【詳解】（1）證明：在平面內(nèi)過作于，
因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面?br>所以平面，平面，所以，
過分別作于，
取中點(diǎn)為，則，且，
所以四邊形是平行四邊形，，
所以，
所以， ，
，且平面，所以平面，平面
所以，因?yàn)?，，平?
（2）二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)，
由（1）可得，平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>所以為二面角的平面角，連接，
在中，為與平面所成的角，由其正弦值為，，
可得，因?yàn)椋?，所以?br>所以二面角的余弦值為.
22. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為正三角形，點(diǎn)，分別在線段和上，且．設(shè)二面角為，且．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）連接，交于，由相似三角形可得平行關(guān)系，再由線面平行的判定定理即可證明；
（2）取中點(diǎn)，連接、，可證為到平面的距離，也是到平面的距離，即可求解；
（3）先利用線面平行的判定定理證明平面，得到的長也是點(diǎn)到平面的距離，再利用三棱錐的體積公式即可求解.
【詳解】解：（1）證明：如圖所示：連接，交于，
，，
，，
，
∽，
，
，
平面，平面，
平面；
（2）如圖所示：取中點(diǎn)，連接、，
為正三角形，
，
，
四邊形為直角梯形，，，，
四邊形為矩形，
即，
，
平面，
又平面，
平面平面，
，
平面，
，，
即，
設(shè)，由余弦定理得：，
于是，
整理得，
解得：或（舍去），
取中點(diǎn)，連接，
，
，
又平面平面，
平面，
即直線與平面所成角為，
而，
直線與平面所成角的正弦值為；
（3），平面，平面，
平面，
即的長也是點(diǎn)到平面的距離，
∵ ，
∴．

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河南省開封市5縣2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月聯(lián)考試題（Word版附答案）

河南省開封市5縣2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月聯(lián)考試題（Word版附答案）
2022-2023學(xué)年河南省開封市五縣高一上學(xué)期第一次月考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

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