1. 已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)可得，再由復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求出，由共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.
【詳解】，
所以.
所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.
故選:C.
2. 圓錐的底面直徑和母線長都等于球的直徑，則圓錐與球的表面積之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由球的表面積公式得出其表面積，再由圓錐的展開圖求出圓錐的表面積，即可得出答案.
【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的表面積為
圓錐的底面圓的周長為，母線長為
則圓錐的表面積為
即圓錐與球的表面積之比為
故選：C
3. 如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為，腰和上底長均為的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照斜二測畫法的規(guī)則畫出原圖，計(jì)算原圖的面積即可求解.
【詳解】由題意知：，，
所以，
將直觀圖還原成平面圖形如圖所示，
在平面直角坐標(biāo)系中，在軸上截取，
在軸上截取，過點(diǎn)作軸的平行線，截取，
順次連接各點(diǎn)可得：
平面圖形是上底長為2，下底長為，高為的直角梯形，
所以其面積為.
故選：C.
4. 下列命題中正確的是（ ）
A. 若、都是單位向量，則 ＝
B. 若=， 則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形
C. 若∥，且∥，則∥
D. 與是兩平行向量
【答案】D
【解析】
【分析】按照向量的概念及共線向量依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】選項(xiàng)A中單位向量方向可以不同，故不一定成立；選項(xiàng)B中A、B、C、D四點(diǎn)可能共線，不能組成四邊形；
選項(xiàng)C中當(dāng)時(shí)，、為任意向量；選項(xiàng)D正確，相反向量一對(duì)平行向量.
故選：D.
5. 為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對(duì)部分企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個(gè)結(jié)論：
①樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.45；
②如果規(guī)定年收入在500萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策，估計(jì)有55%的當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策；
③樣本的中位數(shù)為480萬元.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)直方圖求出，求出的頻率，可判斷①；求出的頻率，可判斷②；根據(jù)中位數(shù)是從左到右頻率為的分界點(diǎn)，先確定在哪個(gè)區(qū)間，再求出占該區(qū)間的比例，求出中位數(shù)，判斷③.
【詳解】由，，
的頻率為，①正確；
的頻率為，②正確；
的頻率為，的頻率為，
中位數(shù)在且占該組的，
故中位數(shù)為，③正確.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)全直方圖，由直方圖求頻率和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題
6. 若正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點(diǎn)，則直線AD與平面所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法即得.
【詳解】取AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)三棱柱的棱長為2，則，，
所以,，，
設(shè)為平面的法向量，由，得，
令，得，
設(shè)直線AD與平面所成角為，則
，
所以直線AD與平面所成角的正弦值為．
故選：D.
7. 設(shè)向量，且，則向量與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再根據(jù)數(shù)量積求解.
【詳解】，，，，
設(shè)向量與的夾角為，，
則=，；
故選：D.
8. 已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形包括邊界內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段的長度范圍是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先過點(diǎn)畫出與平面平行的平面，然后得出點(diǎn)的軌跡，最后計(jì)算的長度取值范圍即可.
【詳解】如圖，分別作的中點(diǎn)，連接，如圖，

易得，又平面，平面，故平面，
在正方體中，易得，
所以四邊形是平行四邊形，則，
又平面，平面，故平面，
又，平面，所以平面平面，
因?yàn)槊?，平面，所以平面?br>又平面，平面平面，
所以動(dòng)點(diǎn)在正方形的軌跡為線段，
在三角形中，，，
所以點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，
最小距離為等腰三角形在邊上高為，
所以線段的長度范圍為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是過作出面的平行面，從而求得的運(yùn)動(dòng)軌跡，由此得解.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．
9. 年上半年，中國養(yǎng)豬企業(yè)受豬價(jià)高位的利好影響，大多收獲史上最佳半年報(bào)業(yè)績，部分企業(yè)半年報(bào)營業(yè)收入同比增長超過倍．某養(yǎng)豬場抓住機(jī)遇，加大了生豬養(yǎng)殖規(guī)模，為了檢測生豬的養(yǎng)殖情況，該養(yǎng)豬場對(duì)頭生豬的體重（單位：）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（ ）
A. 這頭生豬體重的眾數(shù)為
B. 這頭生豬中體重不低于的有頭
C. 這頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)
D. 這頭生豬體重的平均數(shù)為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用最高矩形底邊的中點(diǎn)值作為眾數(shù)可判斷A選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出生豬中體重不低于所占的頻率，乘以可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】由頻率分布直方圖可知，這一組的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的小長方形最高，所以這頭生豬的體重的眾數(shù)為，A錯(cuò)誤；
這頭生豬中體重不低于的有（頭），B正確；
因?yàn)樯i的體重在內(nèi)的頻率為，
在內(nèi)的頻率為，且，
所以這頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，C正確；
這頭生豬體重的平均數(shù)為，
D正確．
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：從頻率分布直方圖中得出相關(guān)數(shù)據(jù)的方法
（1）頻率：頻率分布直方圖中橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，頻率=組距，即每個(gè)小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．
（2）眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高的小長方形底邊中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)．
（3）中位數(shù)：平分頻率分布直方圖中小長方形的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（4）平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積與對(duì)應(yīng)小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和．
10. 如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B. 平面ABCD
C. 三棱錐的體積為定值D. 的面積與的面積相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】證明平面，可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用面面平行的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用錐體的體積公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；判斷到線段的距離與到線段的距離的關(guān)系，即可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接、，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，
平面，平面，，
平面，，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，因此，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫?br>所以平面，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)槊娣e為，
點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接、，
由A選項(xiàng)可知，平面，即平面，
平面，則，
因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形?br>則且，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，故且，
所以四邊形為平行四邊形，
平面，平面，所以，
故四邊形為矩形，所以，
平面，所以平面，
平面，，，
所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=4，sinA=，tanC=7，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. △ABC中的面積為
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A，由tanC=7可求出，，再結(jié)合sinA=，可得角為銳角，從而可求出的值，對(duì)于B，利用兩角和的余弦公式可求得的值，從而可求出角，對(duì)于C，利用正弦定理求解即可，對(duì)于D，利用三角形的面積公式直接求解即可
【詳解】對(duì)于A，由題意得，所以，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，
，
因?yàn)?，所以，所以B正確，
對(duì)于C，由正弦定理，得，所以C正確，
對(duì)于D，，所以D錯(cuò)誤，
故選：BC
12. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 點(diǎn)的坐標(biāo)為B.
C. 的最大值為D. 的最小值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷A選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可判斷CD選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，D錯(cuò).
故選：ABC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 若復(fù)數(shù)滿足，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算即可求得答案.
【詳解】由復(fù)數(shù)滿足可得，
所以,
故答案為：.
14. 從某項(xiàng)綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為_________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，求解即可
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
，所以.
故答案為：
15. 已知，，，，，，則________．
【答案】##
【解析】
【分析】依題意得到，從而利用向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得解．
【詳解】因?yàn)椋?，則，
又，，，
所以，即，故.
故答案為：．
16. 正方體中，M是的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為______．

【答案】##
【解析】
【分析】在正方體右側(cè)作出一個(gè)全等的正方體，從而得到與所成角，再利用余弦定理即可得解.
【詳解】在正方體右側(cè)作出一個(gè)全等的正方體，連接，如圖，

易知，所以四邊形是平行四邊形，則，
所以是與所成角的平面角或補(bǔ)角，
不妨設(shè)正方體的棱長為，
則在正方體中，，
在中，，
在中，，
所以在中，，
所以與所成角的余弦值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是找到與所成角的平面角，解決方法是在正方體右側(cè)作出一個(gè)全等的正方體，由此得解.
四、解答題：本題共6題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知在中，點(diǎn)在線段上，且，延長到，使.設(shè)，.
（1）用、表示向量、；
（2）若向量與共線，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知為的中點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、的表達(dá)式，結(jié)合平面向量的減法可得出關(guān)于、的表達(dá)式；
（2）分析可知，存在，使得，根據(jù)平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【小問1詳解】
解：因?yàn)?，結(jié)合圖形可知為的中點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)?，則，
所以，.
【小問2詳解】
解：因?yàn)椋?br>因?yàn)橄蛄颗c共線，則存在，使得，
即，所以，，解得
18. 某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．
(1)求直方圖中x的值；
(2)如果上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，若該學(xué)校有600名新生，請(qǐng)估計(jì)新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；
(3)由頻率分布直方圖估計(jì)該校新生上學(xué)所需時(shí)間的平均值．
【答案】(1) (2) 72名(3) 33.6分鐘.
【解析】
【分析】（1）利用概率和為列方程即可得解．
（2）計(jì)算出新生上學(xué)時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為，問題得解．
（3）直接利用均值計(jì)算公式求解即可．
【詳解】解：（1）由直方圖可得：，解得.
（2）新生上學(xué)時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為，
因?yàn)?，所?00名新生中有72名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.
（3）由題可知 分鐘.
故該校新生上學(xué)所需時(shí)間的平均值為33.6分鐘.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的知識(shí)，考查了概率的應(yīng)用，還考查了平均值的計(jì)算公式，屬于中檔題．
19. 如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，是正三角形，是的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）求三棱錐的體積．
【答案】(1)見證明(2)
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求得的長，利用勾股定理證得，結(jié)合，證得平面，由此證得.(2) 連接，利用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即，根據(jù)（1）得到是三棱錐的高，由此計(jì)算出幾何體的體積.
【詳解】（1）證明：∵，∴，
∵，∴，
由余弦定理得：，
∴，∴，
∵，∴平面，
∴；
（2）
連接，由（1）得平面，，
∵是的中點(diǎn)，，
∴
．
【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查余弦定理解三角形，考查等體積法求幾何體的體積，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.
20. 在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且asin B＝－bsin.
(1)求A；
(2)若△ABC的面積S＝c2，求sin C的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化簡已知等式即得A=.(2)先根據(jù)△ABC的面積S＝c2得到b＝c，
再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sin C的值．
【詳解】(1)因?yàn)閍sin B＝－bsin，所以由正弦定理得sin A＝－sin，
即sin A＝－sin A－cs A，化簡得tan A＝－，
因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝.
(2)因?yàn)锳＝，所以sin A＝，由S＝c2＝bcsin A＝bc，得b＝c，
所以a2＝b2＋c2－2bccs A＝7c2，則a＝c，由正弦定理得sin C＝.
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.
21.
某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
（Ⅱ）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．
【答案】見詳解.
【解析】
【詳解】（I）設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則
=
=，
故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
即小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最?。?br>
（II）設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則
，
故，
，，
即，解得，
又時(shí)，，
故時(shí)，t取最小值，且最小值等于，
此時(shí)，在中，有，故可設(shè)計(jì)方案如下：
航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.
22. 如圖，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E為AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置，且PE⊥EB，M為PB的中點(diǎn)，N是BC上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B，C不重合).
（1）求證：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在點(diǎn)N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，確定N點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，N為BC的中點(diǎn).
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，先證明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，證明結(jié)論；
（2）以E為原點(diǎn)，EB，ED，EP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PE=EB=2，設(shè)N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夾角公式求出m，得到結(jié)論.
【詳解】解：（1）證明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC?平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM?平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，
EM?平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.
以E為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PE=EB=2，設(shè)N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，
，，，
設(shè)平面EMN的法向量為，
由，令，得，
平面BEN的一個(gè)法向量為，
故，
解得：m=1，
故存在N為BC的中點(diǎn).
【點(diǎn)睛】立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：
(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；
(2)第二問是計(jì)算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通?？梢越⒖臻g直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算．分?jǐn)?shù)
5
4
3
2
1
人數(shù)
20
10
30
30
10

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河南省開封市五校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份河南省開封市五校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共19頁。試卷主要包含了本卷主要考查內(nèi)容， 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為等內(nèi)容，歡迎下載使用。

河南省開封市5縣聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份河南省開封市5縣聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共22頁。試卷主要包含了 下列結(jié)論正確的是， 奔馳定理， 下列情況不適合抽樣調(diào)查的有等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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