一、選擇題
1．已知在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,則集合中元素的個數(shù)為( )
A.30B.28C.26D.24
3．為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念,A市某高中全體教師于2023年3月12日開展植樹活動,購買柳樹,銀杏,梧桐,樟樹四種樹苗共計600棵,比例如圖所示.青年教師,中年教師,老年教師報名參加植樹活動的人數(shù)之比為,若每種樹苗均按各年齡段報名人數(shù)的比例進行分配,則中年教師應分得梧桐的數(shù)量為( )
A.30棵B.50棵C.72棵D.80棵
4．《九章算術·商功》:“斜解立方,得兩塹堵,斜解塹堵,其一為陽馬,其一為鱉臑”.意思是一個長方體沿對角面斜解(圖1),得到一模一樣的兩個塹堵(圖2),再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解(圖2),得一個四棱錐稱為陽馬(圖3),一個三棱錐稱為鱉臑(圖4).若長方體的體積為V,由該長方體斜解所得到的塹堵,陽馬和鱉臑的體積分別為,,,則下列等式錯誤的是( )
A.B.C.D.
5．黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率,中外比,即把一條線段分成長短不等a,b兩段,使得長線段a與原線段的比等于短線段b與長線段a的比,即,其比值約為0.618339….小王酷愛數(shù)學,他選了其中的6,1,8,3,3,9這六個數(shù)字組成了手機開機密碼,如果兩個3不相鄰,則小王可以設置的不同密碼個數(shù)為( )
A.180B.210C.240D.360
6．已知函數(shù),將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,然后向上平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象,則( )
A.
B.在上單調(diào)遞增
C.的圖象關于點中心對稱
D.在上的值域為
7．已知函數(shù),則的圖象大致是( )
A.B.C.D.
8．在平面直角坐標系中,不等式組(r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為,若x,y滿足上述約束條件,則z＝的最小值為( )
A.B.C.D.
9．已知中,,,,,,則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
10．已知拋物線的焦點F關于直線的對稱點為,O為坐標原點,點M,N在C上且滿足(M,N均不與O重合),則面積的最小值為( )
A.4B.8C.16D.20
11．若關于x的不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
12．已知在中,,若(表示的面積)恒成立,則實數(shù)的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、填空題
13．已知函數(shù)是偶函數(shù),則實數(shù)______.
14．已知,則______.
15．設雙曲線的離心率為,實軸長為2,設直線l與雙曲線C在y軸左,右兩側的交點分別是Q,P,若以線段PQ為直徑的圓恰過坐標原點O,則的最小值為______.
16．在四面體ABCD中,,,,且,,異面直線AB,CD所成的角為,則該四面體外接球的表面積為______.
三、解答題
17．手工刺繡是中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一,指以手工方式,用針和線把人的設計和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術,大致分為繪制白描圖和手工著色,電腦著色,選線,配線和裁布三個環(huán)節(jié),簡記為工序A,工序B,工序C.經(jīng)過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為,,.現(xiàn)某單位推出一項手工刺繡體驗活動,報名費30元,成功通過三道工序最終的獎勵金額是200元,為了更好地激勵參與者的興趣,舉辦方推出了一項工序補救服務,可以在著手前付費聘請技術員,若某一道工序沒有成功,可以由技術員完成本道工序.每位技術員只完成其中一道工序,每聘請一位技術員需另付費100元,制作完成后沒有接受技術員補救服務的退還一半的聘請費用.
（1）若小李聘請一位技術員,求他成功完成三道工序的概率;
（2）若小李聘請兩位技術員,求他最終獲得收益的期望值.
18．已知數(shù)列與的前n項和分別為和,且對任意,恒成立.
（1）若,,求;
（2）若對任意,都有及恒成立,求正整數(shù)的最小值.
19．已知正四棱臺的體積為,其中.
（1）求側棱與底面ABCD所成的角;
（2）在線段上是否存在一點P,使得?若存在請確定點P的位置;若不存在,請說明理由.
20．已知橢圓的左,右焦點分別為,,長軸的長度為4,離心率為.
（1）求橢圓C的方程;
（2）設,過點P作兩條直線,,直線與橢圓C交于A,B兩點,直線與橢圓C交于D,E兩點,AB的中點為M,DE的中點為;若直線與直線的斜率之積為,判斷直線MN是否過定點.若過定點,求出此定點的坐標,若不過定點,請說明理由.
21．已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性;
（2）若有兩個零點,求a的取值范圍.
22．在平面直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,曲線,相交于A,B兩點,曲線經(jīng)過變換后得到曲線.
（1）求曲線的普通方程和線段AB的長度;
（2）設點是曲線上的一個動點,求的面積的最大值.
23．已知函數(shù).
（1）求不等式的解;
（2）若對任意恒成立,求k的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：將整理化簡可得,
所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點坐標為,
由點位于第四象限可得,解得,
所以實數(shù)m的取值范圍是.
故選:A
2．答案：B
解析：,,
因為,
當時,xy為偶數(shù),共有個元素.
當時,xy為奇數(shù),
此時,9,15,21,27,33,39,45,51,57,共有個元素.
當,時,xy為奇數(shù),
此時,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重復數(shù)字15,45,去掉,共有8個元素.
綜上中元素的個數(shù)為個.
故選:B
3．答案：C
解析：由題意,中年教師應分得樹苗的數(shù)量為棵.
所以中年教師應分得梧桐的數(shù)量為棵.
故選:C
4．答案：B
解析：由題設,,,則,A對;
如下圖,連接BD,將陽馬一分為二,又,
所以,,則,故,
所以B錯,C,D對.
故選:B
5．答案：C
解析：先把6,1,8,9排列,然后選兩個空檔插入3,總方法為.
故選:C.
6．答案：D
解析：由題意,平移后函數(shù)為:,故A不正確;
B中,,可知,
先增后減,即在上單調(diào)遞增不正確,故B不正確;
C中,,
函數(shù)不關于對稱,故C不正確;
D中,,則,
,,故D正確.
故選:D.
7．答案：C
解析：由,而恒成立,
對于,則,即在定義域上遞增,
所以時,恒成立,
綜上,上,排除A,B,D.
故選:C
8．答案：D
解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,由題意,知,解得.因為目標函數(shù)表示區(qū)域內(nèi)上的點與點連線的斜率加上1,由圖知當區(qū)域內(nèi)的點與點P的連線與圓相切時斜率最小.設切線方程為,即,則有,解得或(舍),所以,
故選D.
9．答案：D
解析：由,結合向量加法法則知:A到BC的距離為2,
又,則,所以,故為等腰直角三角形,
由,則,所以P,B,C共線,
又,則,,若D,E為BC的兩個四等分點,N為BC中點,如下圖示,
所以P線段DE上運動,且,,,
由圖:若,則,又,此時,
故上述情況,易知,
由圖知:P與E重合時,,
綜上,的取值范圍為.
故選:D
10．答案：C
解析：在中,焦點為,
焦點F關于直線即的對稱點為,
,解得,
拋物線的方程為,
顯然直線MN的斜率不為0,設直線MN的方程為,且,
設,,
聯(lián)立整理可得,
,即,且,,,
又因為,即,,
,
即直線MN的方程為,
直線MN恒過點,
,
當且僅當時,等號成立.
故選:C.
11．答案：A
解析：,,則,
原不等式化為,即,,
設,原不等式即為,
易知是R上的增函數(shù),所以,
,
設,則,
時,,遞減,時,,遞增,
所以,
所以,,綜上,.
故選:A.
12．答案：A
解析：記角所對的邊分別為.因為,
所以由正弦定理可得..
,
令,則,
令,則,
故當時,,當時,,
故,故,
則實數(shù)的取值范圍為.
故選:A
13．答案：2
解析：函數(shù)的定義域為,
又為偶函數(shù),
則,,
解得,
經(jīng)檢驗,,,符合題意.
故答案為:2.
14．答案：
解析：,所以,
則.
故答案為:
15．答案：
解析：由雙曲線離心率為,實軸長為2可得,所以;
即可得雙曲線方程為;
依題意如下圖所示:
由Q,P在y軸左,右兩側,所以OQ,OP的斜率均存在,
可設OP的斜率為k,易知,所以可得OQ的斜率為;
直線OP的方程為,
聯(lián)立直線OP和雙曲線方程,消去y整理可得,易知;
所以,因此;
同理可得;
易知,
所以,
由基本不等式可得,
當且僅當時,即時,等號成立;
所以的最小值為.
故答案為:
16．答案：或
解析：依題意,將四面體ABCD放到長方體中,則D在長方體的后側面所在的平面內(nèi),
因為異面直線AB,CD所成的角為,,
所以可得或,所以D應為圖中或,如下圖所示:
由對稱性可知,當D點在軸負方向時,解法與或位置相同;
可設AC的中點為F,四面體ABCD外接球的球心為O,球的半徑為R,
由題意可知,球心O在過點F且垂直于平面ABC的垂線上,且滿足,
建立如上圖所示的空間直角坐標系,因為,,,
設,又,,,
由,所以,或,
解得或,
所以或,
即可知四面體ABCD外接球的表面積為或.
故答案為:或
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）記事件M為“小李聘請一位技術員成功完成三道工序”,
當技術員完成工序A時,小李成功完成三道工序的概率為:,
當技術員完成工序B時,小李成功完成三道工序的概率為:,
當技術員完成工序C時,小李成功完成三道工序的概率為:,
當技術員沒參與補救時,小李成功完成三道工序的概率為:,
故小李成功完成三道工序的概率為;
（2）設小李最終收益為X,小李聘請兩位技術員參與比賽,
有如下幾種情況:
兩位技術員都參與補救但仍未成功完成三道工序,此時,;
兩位技術員都參與補救并成功完成三道工序,此時,;
只有一位技術員參與補救后成功完成三道工序,此時,;
技術員最終未參與補救仍成功完成三道工序,此時,;
故.
18．答案：（1）;
（2）3
解析：（1）由題設,且,而,
顯然也滿足上式,故,
由,又,
所以是首項,公差均為2的等差數(shù)列.
綜上,.
（2）由,,則,
所以,而,故,即是公比為3的等比數(shù)列.
所以,則,
,而,
所以,
所以對都成立,
所以,故,則正整數(shù)的最小值為3.
19．答案：（1）
（2）不存在,理由見解析
解析：（1）依題意,在正四棱臺中,,
所以上底面積,下底面積,
設正四棱臺的高為,則.
連接AC,,則,,
所以,
設側棱與底面ABCD所成的角為,則,
由于線面角的取值范圍是,所以.
（2）連接BD,,設正四棱臺上下底面的中心分別為,O,
以為原點,OA,OB,分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系,
,,,
設線段上存在一點P,滿足,
,,,
,
則,
,
若,則,
即,
解得,舍去,
所以在線段上不存在一點P,使得.
20．答案：（1）;
（2）l過定點,且定點坐標為.
解析：（1）由題意知,,
所以,所以,由可得,
所以橢圓C的方程為.
（2）由題意知的,斜率必存在,
設的斜率為,的斜率為,,
設的方程為,聯(lián)立消元可得,
恒成立,由韋達定理;,
所以,
同理可得,,
:,即
l過定點,且定點坐標為
21．答案：（1）當時,在R上為減函數(shù),時,在上遞減,在上遞增,
（2）
解析：（1）定義域為R,
由,
得,
當時,,所以在R上為減函數(shù),
當時,令,則,得,
當時,,當時,,
所以在上遞減,在上遞增,
綜上,當時,在上為減函數(shù),時,在上遞減,在上遞增,
（2）由（1）可知,當時,在R上為減函數(shù),則至多有一個零點,
所以,由（1）得在上遞減,在上遞增,
所以當時,取得最小值,
即
,
當時,,所以只有一個零點,不合題意,
當時,則,所以沒有零點,不合題意,
當時,,即,
因為,
所以在上有一個零點,
取正整數(shù),滿足,則
,
因為,
所以在上有一個零點,
所以當時,有兩個零點,
所以a的取值范圍為
22．答案：（1）,;
（2）
解析：（1）由題設,為,
消去參數(shù)t得:為,
由圓心為,半徑為2,則圓心到距離,
所以.
綜上,的普通方程為,線段AB的長度為.
（2）由經(jīng)過變換后得到曲線,
則,
所以的一般方程為,設,
所以到距離,,
所以,
的面積的最大值為.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）當時,等價于,
該不等式恒成立,所以;
當時,等價于,
解得,此時不等式無解;
當時,等價于,解得,所以.
綜上所述,不等式的解為.
（2）由,得,
當時,恒成立,所以;
當時,恒成立,
因為,
當且僅當時取等號,所以.綜上所述,k的取值范圍是.

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