1.過點(2,?1)且與直線2x?3y+9=0平行的直線的方程是( )
A. 2x?3y?7=0B. 2x+3y?1=0C. 3x+2y?4=0D. 2x?3y+7=0
2.數(shù)列?4，7，?10，13，?的一個通項公式為
( )
A. an=(?1)n(3n+4)B. an=(?1)n+1(3n+4)
C. an=(?1)n(3n+1)D. an=(?1)n+1(3n+1)
3.若曲線x2t?2+y24?t=1表示橢圓，則實數(shù)t的取值范圍是
( )
A. (2,4)B. (2,3)∪(3,4)
C. (?∞,2)∪(4,+∞)D. (4,+∞)
4.已知拋物線C:y2=2px(p>0)，過點P(3,0)且垂直于x軸的直線l交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積為9，則p=( )
A. 32B. 2C. 52D. 3
5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=?13n2+43，則數(shù)列{an}的通項公式為
( )
A. an=?23n+13B. an=23n+13
C. an=1,n=1,?23n+13,n?2D. an=1,n=1,23n+13,n≥2
6.已知點P是雙曲線C:y29?x24=1上一點，則點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為
( )
A. 14413B. 3613C. 913D. 413
7.已知正四棱錐P?ABCD的各棱長均相等，點E是PA的中點，點F是PC的中點，則異面直線DE和BF所成角的余弦值是( )
A. 13B. 12C. 53D. 23
8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，PF2的延長線交橢圓C于點Q，且|PF1|=|PQ|，△PF1F2的面積為b2，記△PF1F2與△QF1F2的面積分別為S1，S2，則S1S2=( )
A. 2B. 22+1C. 2+1D. 2
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知a=(1,?1,?1)，b=(?2,2,0)，c=(2,1,?3)，則
( )
A. |a+b|= 3B. (a+b)?(a+c)=?6
C. (a+2b)⊥cD. a//(2c?b)
10.已知⊙C1:(x+2)2+y2=r12，⊙C2:(x?2)2+y2=r22，r1>0，r2>0，則下列說法正確的是
( )
A. 若A，B分別是⊙C1與⊙C2上的點，則|AB|的最大值是r1+r2+4
B. 當r1=2，r2=3時，⊙C1與⊙C2相交弦所在的直線方程為x=58
C. 當r2=2時，若⊙C2上有且只有3個點到直線kx?y?2k+ 2=0的距離為1，則k=1
D. 若⊙C1與⊙C2有3條公切線，則r1r2的最大值為4
11.已知傾斜角為π3的直線l經(jīng)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線C的準線m交于點D，則
( )
A. 以AF為直徑的圓與y軸相切
B. 準線m上存在唯一點Q，使得QA?QB=0
C. |BD||BF|=2
D. |AF||BF|=2
12.“斐波那契螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，也稱為“黃金螺旋曲線”，圖中小正方形的邊長從小到大分別為斐波那契數(shù)列{Fn}，其中F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)3=2，F(xiàn)4=3，?，小正方形的面積從小到大記為數(shù)列{an}，小正方形所對應(yīng)扇形的面積從小到大記為數(shù)列{bn}，則
( )
A. F2021+F2025F2023=2B. F1+F2+?+F2023=F2025?1
C. a1+a2+?+a2023=F2023F2024D. b1+b2+?+b2023=F2023F2024
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=1?1an，則a2024= ．
14.已知過原點O作圓C:(x?4)2+(y?3)2=9的兩條切線，切點分別是A，B，則cs∠AOB= ．
15.已知點P(x0,y0)是拋物線x2=6y上的一個動點，則 13y0+3 132+|3x0+2y0+10|的最小值是 ．
16.已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l:y=ab(x+ a2+b2)與雙曲線E的左、右兩支分別交于P，Q兩點，且|PQ|=|QF2|，若雙曲線E的離心率為e，則e2?5= ．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
在梯形ABCD中，AB/?/CD，AC⊥BD，已知A(1,7)，B(7,5)，C(4,1)．
(1)求點D的坐標;
(2)求梯形ABCD的面積．
18.(本小題12分)
已知圓x2+y2+2x=0的圓心F是拋物線C的焦點．
(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線l交拋物線C于A，B兩點，點P(?2,?1)是AB的中點，求直線l的方程．
19.(本小題12分)
在菱形ABCD中，∠BAD=π3，AB=2，將菱形ABCD沿著BD翻折，得到三棱錐A?BCD，如圖所示，此時AC= 6．
(1)求證：平面ABD⊥平面BCD;
(2)若點E是CD的中點，求直線BE與平面ABC所成角的正弦值．
20.(本小題12分)
已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別是A1，A2，上、下頂點分別是B1，B2，四邊形A1B1A2B2的面積為24，四邊形F1B1F2B2的面積為6 7．
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l:y=kx+m與圓O:x2+y2=4相切，與橢圓C交于M，N兩點，若△MON的面積為8 53，求由點M，N，B1，B2四點圍成的四邊形的面積．
21.(本小題12分)
如圖，在空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，BF⊥平面ABCD，CG=1，AE=2，BF=3，且CG//AE//BF．
(1)求證：D，E，F(xiàn)，G四點共面;
(2)在線段FG上是否存在一點M，使得平面FAC與平面MAC所成角的余弦值為7 2233?若存在，求出FMFG的值;若不存在，請說明理由．
22.(本小題12分)
在平面直角坐標系xOy中，已知動點M(2m,m)，N(2n,?n)，點G是線段MN的中點，且點(m,n)在反比例函數(shù)y=1x的圖象上，記動點G的軌跡為曲線E．
(1)求曲線E的方程;
(2)若曲線E與x軸交于A，B兩點，點S是直線x=1上的動點，直線AS，BS分別與曲線E交于點P，Q(異于A，B).求證：直線PQ過定點．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本題給出經(jīng)過定點且與已知直線平行的直線，求直線的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．
設(shè)所求直線為l，求出直線斜率，然后由點斜式方程即可求解．
【解答】
解：設(shè)所求直線為l，∵直線l平行于直線2x?3y+9=0，
∴直線l的斜率與直線y=23x+3的斜率相等，即k=23，又∵直線l經(jīng)過點(2,?1)，
∴直線l的點斜式方程為y+1=23x?2，化為一般式得2x?3y?7=0，
故選A．
2.【答案】C
【解析】【分析】本題考查數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．
先求得數(shù)列4，7，10，13，…的通項，再利用(?1)n來控制數(shù)列各項的符號，進而得解．
【解答】解：數(shù)列4，7，10，13，…的通項可用3n+1表示，
又因為數(shù)列所有的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，
故可用(?1)n來控制各項的符號，
故數(shù)列的一個通項公式為an=(?1)n(3n+1)．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查橢圓的標準方程，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意，由橢圓標準方程的形式可得t?2>04?t>04?t≠t?2，解可得t的取值范圍，即可得答案．
【解答】
解：根據(jù)題意，若曲線x2t?2+y24?t=1表示橢圓，
則t?2>04?t>04?t≠t?2，解可得20)，根據(jù)圓心坐標求出p，即可得拋物線方程;
(2)利用點差法即可求解．
19.【答案】(1)證明：因為四邊形ABCD是菱形，∠BAD=π3，
所以△BAD與△BCD均為正三角形．
取BD的中點O，連結(jié)OA，OC，則OA⊥BD．
因為AB=2，所以O(shè)A=OC= 3，
因為OA2+OC2=6=AC2，所以O(shè)A⊥OC．
又BD∩OC=O，BD，OC?平面BCD，
所以O(shè)A⊥平面BCD．
因為OA?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD．
(2)解：由(1)可知，OA，OB，OC兩兩垂直，以O(shè)為坐標原點，OB，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0,0, 3)，B(1,0,0)，C(0, 3,0)，D(?1,0,0)．
因為E是CD的中點，所以E(?12, 32,0)，
所以BA=(?1,0, 3)，BC=(?1, 3,0)，BE=(?32, 32,0)．
設(shè)m=(x,y,z)為平面ABC的一個法向量，
則BA?m=?x+ 3z=0,BC?m=?x+ 3y=0,
令y=1，得x= 3，z=1，所以m=( 3,1,1)．
csBE,m=BE·mBEm
=?3 32+ 32 3× 5=? 55，
設(shè)直線BE與平面ABC所成角為θ，
則sinθ=csBE,m= 55，
所以直線BE與平面ABC所成角的正弦值為 55．
【解析】本題考查面面垂直的判斷，考查直線與平面所成的角，屬于中檔題．
(1)取BD的中點O，可證明OA⊥平面BCD，根據(jù)面面垂直判定定理即可證明；
(2)以O(shè)為坐標原點，OB，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，根據(jù)夾角公式即可求解．
20.【答案】解：(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，
根據(jù)題意，得12×2a×2b=2412×2c×2b=6 7a2=b2+c2,
解得a=4，b=3，c= 7，
所以橢圓C的方程是x216+y29=1；
(2)設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，
因為直線l與圓O:x2+y2=4相切，
所以|m| k2+1=2，
所以m2=4(k2+1)，
聯(lián)立9x2+16y2=144y=kx+m，得(9+16k2)x2+32kmx+16m2?144=0，
因為圓O在橢圓C的內(nèi)部，
所以△>0恒成立，
所以x1+x2=?32km9+16k2，x1x2=16m2?1449+16k2，
所以|MN|= 1+k2|x1?x2|= 1+k2 (x1+x2)2?4x1x2
= 1+k2 (?32km9+16k2)2?4×16m2?1449+16k2
=24 1+k2 12k2+59+16k2，
則△MON的面積S=12×2×24 1+k2 12k2+59+16k2=8 53，
即44k4+9k2=0，解得k=0，此時直線l⊥y軸，
所以MN⊥B1B2，
所以四邊形MB1NB2的面積為12×|MN|×|B1B2|=12×8 53×6=8 5．
【解析】本題考查橢圓的標準方程、橢圓中三角形(四邊形)的面積、橢圓的弦長、直線與圓的位置關(guān)系的判斷及求參、點到直線的距離，屬于較難題．
(1)根據(jù)題意，得出12×2a×2b=2412×2c×2b=6 7a2=b2+c2，求出a，b的值，即可求出結(jié)果；
(2)由直線l與圓相切，得出m2=4(k2+1)，直線l與橢圓方程聯(lián)立，得出x1+x2，x1x2，利用弦長公式求出|MN|，代入三角形面積公式，求出k=0，即可求出結(jié)果．
21.【答案】解：(1)證明：因為BF⊥平面ABCD，AB，BC?平面ABCD，
所以BF⊥AB，BF⊥BC，
因為四邊形ABCD是正方形，
所以AB⊥BC，
所以BA，BC，BF兩兩垂直，
則以點B為坐標原點，以BA，BC，BF所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
根據(jù)題意，得D(2,2,0)，E(2,0,2)，F(xiàn)(0,0,3)，G(0,2,1)，
所以DE=(0,?2,2)，DF=(?2,?2,3)，DG=(?2,0,1)，
因為DE+DG=(?2,?2,3)=DF，
所以DE，DF，DG共面，
又DE，DF，DG有公共點D，
所以D，E，F(xiàn)，G四點共面；
(2)因為A(2,0,0)，C(0,2,0)，
則AC=(?2,2,0)，AF=(?2,0,3)，
設(shè)m=(x1,y1,z1)為平面FAC的法向量，
則m?AC=0m?AF=0，即?2x1+2y1=0?2x1+3z1=0,
令z1=2，得平面FAC的一個法向量為m=(3,3,2)，
假設(shè)線段FG上存在點M，使得平面FAC與平面MAC所成角的余弦值為7 2233，
令FM=λFG=(0,2λ,?2λ)(0≤λ≤1)，
則AM=AF+FM=(?2,2λ,3?2λ)，
設(shè)n=(x2,y2,z2)為平面MAC的法向量，
則n?AC=0n?AM=0，即?2x2+2y2=0?2x2+2λy2+(3?2λ)z2=0,
令x2=1，得平面MAC的一個法向量為n=(1,1,1?13?2λ)，
設(shè)平面FAC與平面MAC所成角為θ，
則csθ=|m?n||m||n|=|8?23?2λ| 22× 2+(1?13?2λ)2=7 2233，
化簡整理，得(6λ+11)(2λ?1)=0，
因為0≤λ≤1，
所以λ=12，
所以在線段FG上存在一點M，使得平面FAC與平面MAC所成角的余弦值為7 2233，
此時FMFG=12．
【解析】本題考查空間中的共面問題、平面與平面所成角的向量求法、線面垂直的性質(zhì)、空間向量共面定理，屬于較難題．
(1)以點B為坐標原點，以BA，BC，BF所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，求出DE+DG=(?2,?2,3)=DF，即可證出結(jié)果；
(2)求出平面FAC的法向量m，假設(shè)線段FG上存在點M，使得平面FAC與平面MAC所成角的余弦值為7 2233，令FM=λFG=(0,2λ,?2λ)(0≤λ≤1)，則AM=AF+FM=(?2,2λ,3?2λ)，求出平面MAC的法向量n，由csθ=|m?n||m||n|=|8?23?2λ| 22× 2+(1?13?2λ)2=7 2233，求出λ的值，即可求出結(jié)果．
22.【答案】(1)解：因為點(m,n)在反比例函數(shù)y=1x的圖象上，所以mn=1，
設(shè)點G(x,y)，因為點G是線段MN的中點，所以x=2m+2n2,y=m?n2,則x=m+n,2y=m?n.
所以x2?(2y)2=(m+n)2?(m?n)2=4mn=4，整理得x24?y2=1．
所以曲線E的方程為x24?y2=1．
(2)證明：不妨設(shè)點A在點B的左側(cè)，則由題意得A(?2,0)，B(2,0)，設(shè)S(1,t)，P(xp,yp)，Q(xQ,yQ)，
則直線AS的方程為y=t3(x+2)，直線BS的方程為y=?t(x?2)，
聯(lián)立y=t3(x+2),x2?4y2=4,得(9?4t2)x2?16t2x?16t2?36=0(t≠±32)，
由韋達定理，得?2xp=?16t2?369?4t2，解得xP=8t2+189?4t2，yp=12t9?4t2(t≠±32)，
同理得xQ=8t2+24t2?1，yQ=?4t4t2?1(t≠±12)，
當PQ的斜率存在時，即t≠± 32時，kPQ=yb?yQxP?xQ=2t(4t2+3)(4t2+3)(4t2?3)=2t4t2?3，
直線PQ的方程為y+4t4t2?1=2t4t2?3(x?8t2+24t2?1)，即y=2t4t2?3(x?4)，此時PQ恒過點(4,0);
當t= 32時，P(4, 3)，Q(4,? 3)，此時直線PQ的方程為x=4，過點(4,0);
當t=? 32時，P(4,? 3)，Q(4, 3)，此時直線PQ的方程為x=4，過點(4,0);
綜上，直線PQ過定點(4,0)．
【解析】本題考查了雙曲線的標準方程，雙曲線中的定點問題，是難題．
(1)先求得mn=1，設(shè)點G(x,y)，因為點G是線段MN的中點，利用轉(zhuǎn)化代入可化簡得曲線E的方程;
(2)妨設(shè)點A在點B的左側(cè)，則由題意得A(?2,0)，B(2,0)，設(shè)S(1,t)，P(xp,yp)，Q(xQ,yQ)，則直線AS的方程為y=t3(x+2)，直線BS的方程為y=?t(x?2)，與曲線E的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理可求得P(xp,yp)，Q(xQ,yQ)，故可得直線PQ的方程，得證．

相關(guān)試卷

安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共21頁。試卷主要包含了單項選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題：

這是一份安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題，共10頁。

安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題：

這是一份安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題，共10頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024安徽省縣中聯(lián)盟高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2024安徽省縣中聯(lián)盟高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析
安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題
安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)

安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)
安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（月考）

安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（月考）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部