考生注意：
1.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
3.本卷命題范圍：人教版必修第一冊?第二冊，選擇性必修第一冊2.2結(jié)束.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知是虛數(shù)單位，，則（）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)相等列出方程組，求得的值，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求解.
【詳解】由，可得，解得，則.
故選：D.
2. 已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線的方向向量得到直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.
【詳解】因為直線的一個方向向量為，
所以直線的斜率，
又因為，所以，
故選：C.
3. 在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】應(yīng)用向量加法法則得到，再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模.
【詳解】由題設(shè)，易知是邊長為的正三角形，
所以
.
故選：A
4. 已知直線與軸交于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后與軸交于點，要使直線平移后經(jīng)過點，則應(yīng)將直線（）
A. 向左平移個單位長度B. 向右平移個單位長度
C. 向左平移個單位長度D. 向右平移個單位長度
【答案】D
【解析】
【分析】求得旋轉(zhuǎn)后直線的斜率、方程以及點的坐標(biāo)，再根據(jù)直線平移即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，
旋轉(zhuǎn)后的直線斜率為，
又點坐標(biāo)為，所以旋轉(zhuǎn)后的直線方程為，
因為直線過點，所以把直線向右平移個單位長度后經(jīng)過點，
故選：D.
5. 已知向量，若共面，則在上的投影向量的模為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用共面的條件求出，再利用投影向量及模的定義計算即得.
【詳解】因為共面，則存在實數(shù)，使得，即，
于是，
所以在上的投影向量的模為.
故選：B
6. 光線通過點，在直線上反射，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線方程為（）
AB.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出關(guān)于直線的對稱點，從而得到反射光線所在直線經(jīng)過點和對稱點，從而得到反射光線所在直線方程.
【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，
解得，故.
由于反射光線所在直線經(jīng)過點和，
所以反射光線所在直線的方程為，即.
故選：C.
7. 已知向量，集合，其中，則（）
A.
B.
C. 若，則為鈍角
D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，令，求得，得到，可判定A、B錯誤；由，得到為銳角，可判定C錯誤；求得，可判定D正確.
【詳解】由向量，
可得，
令，可得，解得，
此時，所以，所以A、B錯誤；
又由，可得，所以為銳角，所以C錯誤；
由向量，可得，所以D正確.
故選：D.
8. 已知，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】采用放縮法和中間值比較大小，得到.
【詳解】因為，
，故，
，
所以.
故選：A.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 定義域為的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，則（）
A.
B.
C. 為偶函數(shù)
D. 不等式的解集為
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，可得判定A正確，B錯誤；結(jié)合函數(shù)的圖象變換，可判定C錯誤；結(jié)合題意，分和，兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得不等式的解集，可判定D正確.
【詳解】對于A中，由，且在上單調(diào)遞減，可得，所以A正確；
對于B中，由函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
可函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱可知在上單調(diào)遞減，且，
則，所以，所以B錯誤；
對于C中，函數(shù)向左平移2個單位，可得為非奇非偶函數(shù)，所以C錯誤；
對于D中，由函數(shù)是的奇函數(shù)，滿足，且在上單調(diào)遞減，可得，且在上單調(diào)遞減，
又由不等式，可得當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得，
所以不等式的解集為，所以D正確.
故選：AD.
10. 如圖，兩兩垂直，且，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則（）
A. 點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為
B. 點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為
C. 夾角的余弦值為
D. 平面的一個法向量的坐標(biāo)為
【答案】AD
【解析】
【分析】對A：由以及對稱點構(gòu)成正方形，即可求得對稱點坐標(biāo)；對B：由中點坐標(biāo)公式，即可判斷；對C：利用余弦定理求得，即可判斷；對D：寫出平面中兩個不共線的向量坐標(biāo)，求平面法向量即可.
【詳解】對A：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，
則四邊形為正方形，所以坐標(biāo)為，A正確；
對B：設(shè)點關(guān)于點的對稱點為，則中點為，
由得，B錯誤；
對C：由，
得，
所以夾角的余弦值為，C錯誤；
對D，因為，
設(shè)平面的一個法向量的坐標(biāo)為,，則，
取得平面的一個法向量的坐標(biāo)為，D正確；
故選：AD.
11. 已知，點及直線，則（）
A. 直線恒過的定點在直線上
B. 若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則
C. 若直線過第二、四象限，則
D. 若直線及與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則
【答案】CD
【解析】
【分析】A選項，考慮直線斜率不存在和斜率存在兩種情況，得到所過定點，得到答案；B選項，分析出直線過原點或直線不過原點且斜率為-1兩種情況，求出的值；C選項，根據(jù)直線的斜率小于0，得到；D選項，根據(jù)題意得到只有時滿足題意，求出.
【詳解】對于，直線斜率不存在時，，得，直線方程為，
直線斜率存在時，其方程為，得其過定點，
綜上，直線過點，其不在直線上，錯誤；
對于，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線過原點或直線不過原點且斜率為-1，
當(dāng)直線過原點時，解得，
直線不過原點且斜率為-1時，解得，錯誤；
對于，直線過第二、四象限，則直線斜率，解得，正確；
對于D，若直線及與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則該四邊形對角互補(bǔ)，
又直線過定點，經(jīng)分析知只有時滿足題意，
此時直線的斜率為，D正確.
故選：CD.
12. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 都是周期函數(shù)，且有相同的最小正周期
B. 若在上有2個不同實根，則的取值范圍是
C. 若方程在上有6個不同實根，則的值可以是
D. 若方程在上有5個不同實根，則的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出周期可判斷A；利用在上的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)都是最小正周期為2的周期函數(shù)，結(jié)合圖象可判斷C；結(jié)合圖象可判斷D.
【詳解】對于A，周期為，的周期為，
所以都是周期函數(shù)，且最小正周期都是2，A正確；
對于B，時，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，且，所以，
因為時，所以，所以的取值范圍是，
B正確；
對于C，都是最小正周期為2的周期函數(shù)，
，
，在上兩函數(shù)圖象有1個交點，
，在每個周期上兩函數(shù)圖象有2個交點，
所以方程在上有5個實根，C錯誤；
對于D，方程在上有5不同實根，
，所以的取值范圍是，D正確.
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是結(jié)合函數(shù)的圖象得到答案.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知是隨機(jī)事件，則“”是“與互斥而不對立”的__________條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義即可結(jié)合必要不充分條件求解.
【詳解】由不能得到與互斥而不對立，
若與互斥而不對立，則，
所以“”是“與互斥而不對立”的必要不充分條件，
故答案為：必要不充分
14. 已知平面的一個法向量，點，且，則__________.
【答案】##5.25
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，從而得到，即可得到答案.
【詳解】因為，所以，因為，所以，
所以，所以.
故答案為：
15. 已知點分別在直線上移動，若為原點，，則直線斜率的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)斜率公式，求得斜率，結(jié)合的范圍，即可求得結(jié)果.
【詳解】因為點分別在直線上移動，
所以0，
兩式相減得，
所以直線的斜率，
因為，所以，
所以，
即直線斜率的取值范圍是.
故答案為：.
16. 截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為6的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為2的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)截角四面體的定義，還原為正四面體，然后利用正四面體的相關(guān)性質(zhì)即可求解.
【詳解】因為棱長為的正四面體的高為，所以截角四面體上下底面距離為，
設(shè)其外接球的半徑為，等邊三角形的中心為，正六邊形的中心為，易知外接球球心在線段上，且垂直于平面與平面，則，
所以，解得，
所以該截角四面體的外接球的表面積為.
故答案為：.
四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和解題步驟.
17. 已知直線.
（1）若，求的值；
（2）若，求過原點與點的直線的方程.
【答案】（1）3或-1
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線平行得到關(guān)于a的方程，求出a，檢驗后得到答案；
（2）根據(jù)直線垂直得到關(guān)于a的方程，求出，進(jìn)而得到直線的方程.
小問1詳解】
因為，所以，
化簡得，解得或，
當(dāng)或時，與均不重合，
所以的值為3或-1.
【小問2詳解】
因為，所以，解得，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為3的菱形，.
（1）利用空間向量證明；
（2）求的長.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）以為基底，表達(dá)出，計算出，證明出結(jié)論；
（2）在（1）基礎(chǔ)上，表達(dá)出，平方后得到，開方后得到答案.
【小問1詳解】
證明：設(shè)，則構(gòu)成空間的一個基底，
，
，
所以
，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，
所以
.
所以.
19. 2023年初ChatGPT引發(fā)人工智能熱潮，中國的數(shù)字人技術(shù)廠商積極推動數(shù)字人技術(shù)的廣泛應(yīng)用和持續(xù)創(chuàng)新，下表為2023年中國AI數(shù)字人企業(yè)實力榜前8名：
（1）求這8家企業(yè)綜合得分的極差及數(shù)字人豐富度的第45百分位數(shù)；
（2）求這8家企業(yè)數(shù)字人應(yīng)用潛力的平均數(shù)與方差（精確到0.1）；
（3）把這8家企業(yè)的數(shù)字人傳播聲量按照從大到小排列，從前5個數(shù)據(jù)中任選2個數(shù)據(jù)，記事件“兩數(shù)之和大于171.0”，事件“兩數(shù)之差的絕對值”，判斷事件A與事件是否相互獨立.
【答案】（1）4.4，77.2
（2）平均數(shù)82.3，方差4.6
（3）事件A與事件相互獨立.
【解析】
【分析】（1）利用極差的定義和百分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行計算；
（2）先計算出平均數(shù)，進(jìn)而求出方差；
（3）列舉法求古典概型的概率，得到事件，事件和事件的概率，進(jìn)而得到事件A與事件相互獨立.
【小問1詳解】
這8家企業(yè)綜合得分的極差為，
因為，所以把數(shù)字人豐富度的8個數(shù)據(jù)按照從小到大排列，
則第45百分位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)77.2.
【小問2詳解】
，
，
【小問3詳解】
把這8家企業(yè)的數(shù)字人傳播聲量按照從大到小排列，前5個數(shù)據(jù)依次為：
，從中任取2個不同數(shù)據(jù)，結(jié)果有：
，共有10種，
，
，
，
，
，
，
，即事件A與事件相互獨立.
20. 已知為坐標(biāo)原點，，過點且斜率為的直線與軸負(fù)半軸及軸正半軸分別交于點.
（1）求的最小值；
（2）若的面積為，且對于每一個的值滿足條件的值只有2個，求的取值范圍.
【答案】（1）4（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)的傾斜角為，根據(jù)題意求得，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）設(shè)的方程為，求得，得到，轉(zhuǎn)化為方程有2個不同的正根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
解：因為過點且斜率為的直線與軸負(fù)半軸及軸正半軸分別交于點，
如圖所示，可得斜率，設(shè)直線的傾斜角為，
則，所以，
可得，
所以當(dāng)時，即時，取得最小值.
【小問2詳解】
接：根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，即，
可得，所以，
整理得，
因為對于每一個的值滿足條件的值只有2個，所以該方程有2個不同的正根，
則滿足，解得，所以的取值范圍是.
21. 已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.
（1）若的平分線與邊交于點，求的值；
（2）若，點分別在邊上，的周長為5，求的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立所給等量可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可求解，根據(jù)角平分線結(jié)合三角形面積公式可得，結(jié)合即可求解，
（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式即可求解.
【小問1詳解】
可得，
解得，
設(shè)，則，
由余弦定理得，
所以.
因為為的平分線，
所以，
又，則.
【小問2詳解】
因為，由（1）得，
設(shè)，
由余弦定理得，
所以，
因為，
所以，當(dāng)時取等號，
所以，
所以，當(dāng)時取等號，
所以的最小值為.
22. 如圖，在四棱柱中，四棱錐是正四棱錐，.
（1）求與平面所成角的正弦值；
（2）若四棱柱的體積為16，點在棱上，且，求點到平面的距離.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解線面角大小，
（2）求解法向量，根據(jù)點面距離的向量法即可求解.
【小問1詳解】
因為四棱錐正四棱錐，連接交于點，則，
連接，則平面，所以兩兩垂直.
如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，因為，,則，
設(shè)與交于點，則為的中點，
所以，
，
所以，,
設(shè)平面的一個法向量為，則有，得，
取，得，
直線的一個方向向量為，
設(shè)與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【小問2詳解】
因為四棱柱的體積為，所以，
由（1）知，，
.
因為，則，
所以，
，
設(shè)平面的一個法向量為，則有，得，
取，得，
所以點到平面的距離為.
企業(yè)
數(shù)字人豐富度
數(shù)字人傳播聲量
數(shù)字人應(yīng)用潛力
綜合得分
百度
780
89.0
85.0
84.1
科大訊飛
78.4
84.3
84.9
82.8
360集團(tuán)
82.3
82.2
83.1
82.6
小冰公式
85.0
81.9
81.3
82.6
華為
77.0
90.0
79.1
81.7
阿里巴巴
77.0
78.8
84.1
80.4
抖音集團(tuán)
77.0
80.9
80.9
79.8
嘩哩嘩哩
77.2
81.8
80.0
79.7

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