2023~2024學(xué)年安徽縣中聯(lián)盟高二10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.3.本卷命題范圍：人教版必修第一冊(cè)?第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)2.2結(jié)束.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，，則（    ）A.    B.    C.2    D.2.已知直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則直線(xiàn)的傾斜角（    ）A.    B.    C.    D.3.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（    ）A.    B.    C.    D.4.已知直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與軸交于點(diǎn)，要使直線(xiàn)平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則應(yīng)將直線(xiàn)（    ）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度    B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度    D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度5.已知向量，若共面，則在上的投影向量的模為（    ）A.    B.    C.    D.6.光線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)，在直線(xiàn)上反射，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為（    ）A.    B.C.    D.7.已知向量，集合，其中，則（    ）A.B.C.若，則為鈍角D.若，則8.已知，則（    ）A.    B.C.    D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且在上單調(diào)遞減，則（    ）A.B.C.為偶函數(shù)D.不等式的解集為10.如圖，兩兩垂直，且，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則（    ）A.點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為B.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為C.夾角的余弦值為D.平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為11.已知，點(diǎn)及直線(xiàn)，則（    ）A.直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)在直線(xiàn)上B.若直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則C.若直線(xiàn)過(guò)第二?四象限，則D.若直線(xiàn)及與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.都是周期函數(shù)，且有相同的最小正周期B.若在上有2個(gè)不同實(shí)根，則的取值范圍是C.若方程在上有6個(gè)不同實(shí)根，則的值可以是D.若方程在上有5個(gè)不同實(shí)根，則的取值范圍是三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是隨機(jī)事件，則“”是“與互斥而不對(duì)立”的__________條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）14.已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)，且，則__________.15.已知點(diǎn)分別在直線(xiàn)上移動(dòng)，若為原點(diǎn)，，則直線(xiàn)斜率的取值范圍是__________.16.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長(zhǎng)為6的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為2的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和解題步驟.17.（本小題滿(mǎn)分10分）已知直線(xiàn).（1）若，求的值；（2）若，求過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)的直線(xiàn)的方程.18.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為3的菱形，.（1）利用空間向量證明；（2）求的長(zhǎng).19.（本小題滿(mǎn)分12分）2023年初ChatGPT引發(fā)人工智能熱潮，中國(guó)的數(shù)字人技術(shù)廠(chǎng)商積極推動(dòng)數(shù)字人技術(shù)的廣泛應(yīng)用和持續(xù)創(chuàng)新，下表為2023年中國(guó)AI數(shù)字人企業(yè)實(shí)力榜前8名：企業(yè)數(shù)字人豐富度數(shù)字人傳播聲量數(shù)字人應(yīng)用潛力綜合得分百度78.089.085.084.1科大訊飛78.484.384.982.8360集團(tuán)82.382.283.182.6小冰公式85.081.981.382.6華為77.090.079.181.7阿里巴巴77.078.884.180.4抖音集團(tuán)77.080.980.979.8嘩哩嘩哩77.281.880.079.7（1）求這8家企業(yè)綜合得分的極差及數(shù)字人豐富度的第45百分位數(shù)；（2）求這8家企業(yè)數(shù)字人應(yīng)用潛力的平均數(shù)與方差（精確到0.1）；（3）把這8家企業(yè)的數(shù)字人傳播聲量按照從大到小排列，從前5個(gè)數(shù)據(jù)中任選2個(gè)數(shù)據(jù)，記事件“兩數(shù)之和大于171.0”，事件“兩數(shù)之差的絕對(duì)值”，判斷事件與事件是否相互獨(dú)立.20.（本小題滿(mǎn)分12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與軸負(fù)半軸及軸正半軸分別交于點(diǎn).（1）求的最小值；（2）若的面積為，且對(duì)于每一個(gè)的值滿(mǎn)足條件的值只有2個(gè)，求的取值范圍.21.（本小題滿(mǎn)分12分）已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）若的平分線(xiàn)與邊交于點(diǎn)，求的值；（2）若，點(diǎn)分別在邊上，的周長(zhǎng)為5，求的最小值.22.如圖，在四棱柱中，四棱錐是正四棱錐，.（1）求與平面所成角的正弦值；（2）若四棱柱的體積為16，點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離.2023~2024學(xué)年安徽縣中聯(lián)盟高二10月聯(lián)考?數(shù)學(xué)參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則1.D  由知，則.2.C  因?yàn)橹本€(xiàn)的一個(gè)方向向量為，所以直線(xiàn)的斜率，又因?yàn)?/span>，所以，故選C.3.A  由題可知是邊長(zhǎng)為的正三角形，所以，故選A.4.D  設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，旋轉(zhuǎn)后的直線(xiàn)斜率為，又點(diǎn)坐標(biāo)為，所以旋轉(zhuǎn)后的直線(xiàn)方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以把直線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故選D.5.B  因?yàn)?/span>共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，所以在上的投影向量的模為，故選B.6.C  設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得.由于反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，所以反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，即.故選C.7.D  設(shè)，令得，所以錯(cuò)誤；為銳角，C錯(cuò)誤；，D正確.故選D.8.A  因?yàn)?/span>，所以，故選A.9.AD  由，且在上單調(diào)遞減，知，A正確；由奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可知在上單調(diào)遞減，且，則，B錯(cuò)誤；為非奇非偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；畫(huà)出簡(jiǎn)易圖象知不等式的解集為，D正確.故選AD.10.AD  對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則四邊形為正方形，所以坐標(biāo)為，A正確，對(duì)于，設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則中點(diǎn)為，由得錯(cuò)誤；對(duì)于，由，得，所以夾角的余弦值為錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?/span>，設(shè)平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為，，則，取得平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為，D正確，故選AD.11.CD  對(duì)于，直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，得，直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)斜率存在時(shí)，其方程為，得其過(guò)定點(diǎn)，綜上直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，其不在直線(xiàn)上，錯(cuò)誤；對(duì)于，直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)或直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)且斜率為-1，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)且斜率為-1時(shí)，錯(cuò)誤；對(duì)于，直線(xiàn)過(guò)第二?四象限，則直線(xiàn)斜率，正確；若直線(xiàn)及與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則該四邊形對(duì)角互補(bǔ)，又直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，經(jīng)分析知只有時(shí)滿(mǎn)足題意，此時(shí)直線(xiàn)的斜率為，D正確.故選CD.12.ABD  對(duì)于都是周期函數(shù)，且最小正周期都是2，正確；對(duì)于時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，因?yàn)?/span>時(shí)，所以，所以的取值范圍是，B正確；都是最小正周期為2的周期函數(shù)，在上兩函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，在每個(gè)周期上兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以方程在上有5個(gè)實(shí)根，C錯(cuò)誤；方程在上有5不同實(shí)根，，所以的取值范圍是，D正確.故選ABD.13.必要不充分14.  因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.15.  因?yàn)辄c(diǎn)分別在直線(xiàn)上移動(dòng)，所以0，兩式相減得，所以直線(xiàn)的斜率，因?yàn)?/span>，所以，所以，即直線(xiàn)斜率的取值范圍是.16.  因?yàn)槔忾L(zhǎng)為的正四面體的高為，所以截角四面體上下底面距離為，設(shè)其外接球的半徑為，等邊三角形的中心為，正六邊形的中心為，易知外接球球心在線(xiàn)段上，且垂直于平面與平面，則，所以，解得，所以該截角四面體的外接球的表面積為.17.解：（1）因?yàn)橹本€(xiàn)斜率為，且，所以，直線(xiàn)斜率為，由得，解得或，當(dāng)或時(shí)與均不重合，所以的值為3或-1.（2）因?yàn)橹本€(xiàn)斜率為，且，所以，直線(xiàn)斜率為，由得，所以直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，即.18.（1）證明：設(shè)，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底，，，所以，所以.（2）解：由（1）知，所以.所以.19.解：（1）這8家企業(yè)綜合得分的極差為，因?yàn)?/span>，所以把數(shù)字人豐富度的8個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列，則第45百分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)據(jù)77.2.（2），.（3）把這8家企業(yè)的數(shù)字人傳播聲量按照從大到小排列，前5個(gè)數(shù)據(jù)依次為：，從中任取2個(gè)不同數(shù)據(jù)，結(jié)果有：，，共有10種，，，，，，，，即事件與事件相互獨(dú)立.20.解：（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與軸負(fù)半軸及軸正半軸分別交于點(diǎn).所以，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值4，（2）直線(xiàn)的方程為，即，所以，所以，整理得，因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)的值滿(mǎn)足條件的值只有2個(gè)，所以該方程有2個(gè)不同的正根，所以，解得，所以的取值范圍是.21.解：（1）可得，解得，設(shè)，則，由余弦定理得，所以.因?yàn)?/span>為的平分線(xiàn)，所以，又，則.（2）因?yàn)?/span>，由（1）得，設(shè)，由余弦定理得，所以，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.22.解：（1）因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，連接交于點(diǎn)，則，連接，則平面，所以兩兩垂直.如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)?/span>，則，設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，得，取，得，直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，設(shè)與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.（2）因?yàn)樗睦庵?/span>的體積為，所以，由（1）知，，.因?yàn)?/span>，則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，得，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離為.

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