1. 等差數(shù)列中，若，則（ ）
A. 12B. 18C. 6D. 9
2. 若直線，平行，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. 3C. 1或D. 或3
3. 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則（ ）
A. 16B. C. 24D.
4. 已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（ ）
A. B. C. D.
5. 空間中有三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（ ）
A. B. C. D.
7. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若，則（ ）
A B. 12C. D.
8. 數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前80項(xiàng)和為（ ）
A. 1640B. 1680C. 2100D. 2120
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（ ）
A. 數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個(gè)數(shù)列
B. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)
C. 在數(shù)列中,第8個(gè)數(shù)是
D. 數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為
10. 已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為1，為的中點(diǎn)，則（ ）
A. 直線與直線為異面直線
B. 平面
C. 二面角的正弦值為
D. 若棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為
11. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A. 是遞減數(shù)列B. 是等差數(shù)列
C. D.
12. 已知橢圓： 的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A. 離心率的取值范圍為
B. 當(dāng)時(shí)，的最大值為
C. 存在點(diǎn)，使得
D. 的最小值為1
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)將答案填在答題卡中的橫線上.）
13. 若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為，則實(shí)數(shù)的值為_________．
14. 已知為等比數(shù)列，公比，，且成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式_________．
15. 已知數(shù)列滿足．則的通項(xiàng)公式為_________．
16. 已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．
三、解答題（本大題共6小題，共70分. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之和為4
（1）寫出點(diǎn)軌跡的方程；
（2）若直線與軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.
18. （1）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列滿足，，求通項(xiàng)公式．
19. 已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點(diǎn).
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)且被圓截得弦長(zhǎng)為，求直線l的方程.
20. 已知數(shù)列中，，．
（1）證明數(shù)列等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意，都有成立，求的取值范圍．
21. 已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，，平面.
（1）求證：；
（2）若四棱錐的體積為2，求平面與平面夾角的余弦值.
22. 已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率2.
（1）求的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)為雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，若，求.
2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)12月月考數(shù)學(xué)學(xué)科試卷
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 在等差數(shù)列中，若，則（ ）
A. 12B. 18C. 6D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，
所以，所以.
故選：D.
2. 若直線，平行，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. 3C. 1或D. 或3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行列方程，由此求得.
【詳解】由于兩直線平行，所以，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，兩直線平行.
當(dāng)時(shí)，，兩直線平行.
綜上所述，的值為或.
故選：D
3. 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則（ ）
A. 16B. C. 24D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.
【詳解】解：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，
所以，
解得或（舍去）或（舍去），
此時(shí)，
所以，
故選：C
4. 已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)互相垂直兩直線斜率之間的關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，圓心坐標(biāo)為，
由，所以直線的斜率為，
因此直線的垂直垂直平分線的斜率為，
所以直線的垂直垂直平分線方程為：，
故選：A
5. 空間中有三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分別求出，即可得，，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為即可得解.
【詳解】解：，
則，，
則，
所以點(diǎn)到直線的距離為.
故選：A.
6. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷．
【詳解】是等差數(shù)列，∴，又，所以，公差，
因此中，當(dāng)時(shí)遞減，是最小值，從開始，遞增，
又，，
所以使得的最大的為11，
故選：C．
7. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若，則（ ）
A. B. 12C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到所以，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，得到軸，利用勾股定理，即可求解.
【詳解】由拋物線，可得，所以焦點(diǎn)，
因?yàn)?，根?jù)拋物線的定義，可得，
又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，即拋物線的通徑長(zhǎng)為，所以軸，
所以.
故選：C.
8. 數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前80項(xiàng)和為（ ）
A. 1640B. 1680C. 2100D. 2120
【答案】A
【解析】
【分析】利用周期性以及等差數(shù)列進(jìn)行求解.
【詳解】設(shè)，因?yàn)榈闹芷跒椋?br>所以的周期為.
又，，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.
又，所以，，
，于是得到，同理可求出
，…，
設(shè)，則數(shù)列是以6為首項(xiàng)，8為
公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前80項(xiàng)和為數(shù)列的前20項(xiàng)和
.故B，C，D錯(cuò)誤.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（ ）
A. 數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個(gè)數(shù)列
B. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)
C. 在數(shù)列中,第8個(gè)數(shù)是
D. 數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列概念即可得選項(xiàng)A正誤;利用數(shù)列的通項(xiàng)公式等于110,計(jì)算出結(jié)果,即可得選項(xiàng)B的正誤;根據(jù)數(shù)列的規(guī)律,即可得選項(xiàng)C、D的正誤.
【詳解】解:因?yàn)閿?shù)列-2023,0,4的首項(xiàng)是-2023,而數(shù)列4,0,-2023的首項(xiàng)是4,
所以兩個(gè)數(shù)列不是同一個(gè),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
當(dāng)時(shí),解得:或(舍),
即110是該數(shù)列的第10項(xiàng),故選項(xiàng)B正確;
因?yàn)閿?shù)列可寫為:,
所以第8個(gè)數(shù)是,故選項(xiàng)C正確;
因?yàn)?br>所以可以看做數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,故選項(xiàng)D正確.
故選：BCD
10. 已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為1，為的中點(diǎn)，則（ ）
A. 直線與直線為異面直線
B. 平面
C. 二面角的正弦值為
D. 若棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】連接、交于點(diǎn)，連接，即可證明，從而得到平面，即可判斷A、B，建立空間中直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷C，求出外接圓的半徑，即可求出正三棱柱外接球的半徑，即可判斷D.
【詳解】連接、交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，
又為中點(diǎn)，所以，平面，平面，
所以平面，故B正確；
又，平面，所以與不平行且無(wú)公共點(diǎn)，
所以直線與直線為異面直線，故A正確；
取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，則平面，又，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，
又平面的法向量可以為，
設(shè)二面角為，顯然為銳二面角，
則，所以，
即二面角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；
外接圓的半徑，
所以正三棱柱外接球的半徑，
所以該球的表面積，故D正確.
故選：ABD
11. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A. 是遞減數(shù)列B. 是等差數(shù)列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題中的遞推公式，分別可求出，，，從而可對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行求解.
【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?br>所以，所以是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，故D正確；
因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋ㄒ矟M足），
所以，
所以是遞減數(shù)列，故A正確；
因?yàn)?，即，所以C正確.
故選：ACD
12. 已知橢圓： 的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A. 離心率的取值范圍為
B. 當(dāng)時(shí)，的最大值為
C. 存在點(diǎn)，使得
D. 的最小值為1
【答案】ABD
【解析】
【分析】A項(xiàng)中需先解出的范圍，然后利用離心率的定義進(jìn)行判斷；
B項(xiàng)中根據(jù)橢圓定義轉(zhuǎn)化為求的最大值，從而進(jìn)而判斷；
C項(xiàng)中先求出點(diǎn)的軌跡方程，再判斷該軌跡圖形與橢圓是否有交點(diǎn)，從而進(jìn)行判斷；
D項(xiàng)中根據(jù)橢圓定義得，并結(jié)合基本不等式判斷.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，
所以得：，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)：由橢圓定義知，
當(dāng)在軸下方時(shí)，且，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，
由，得，，所以得，
所以最大值，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)：設(shè)，若，即：，
則得，即點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，
又由A項(xiàng)知：，得，
又因?yàn)?，得?br>所以得：，所以該圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)：由橢圓定義得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)將答案填在答題卡中的橫線上.）
13. 若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為，則實(shí)數(shù)的值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)焦距求得，結(jié)合橢圓的方程求得.
【詳解】由于橢圓焦距為，所以，
由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，
所以，
解得.
故答案為：
14. 已知為等比數(shù)列，公比，，且成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式_________．
【答案】
【解析】
分析】由成等差數(shù)列，得，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，代入求出公比即可.
【詳解】由成等差數(shù)列，且，
得，解得或，
又，所以，所以，
故答案為：.
15. 已知數(shù)列滿足．則的通項(xiàng)公式為_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和間的關(guān)系求解.
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，
，
時(shí)，，
兩式相減可得，，
，當(dāng)時(shí)，適合上式，
，
故答案為：
16. 已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】連接，則，設(shè)點(diǎn)，則，分析可得，可得范圍，進(jìn)而可得離心率的范圍.
【詳解】連接，則，
由切線長(zhǎng)定理可得，又，，
所以
所以，
則
設(shè)點(diǎn)，則，且，
所以
所以，
故.
故答案為：.
三、解答題（本大題共6小題，共70分. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之和為4
（1）寫出點(diǎn)軌跡的方程；
（2）若直線與軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用定義法求橢圓方程即可；
（2）利用橢圓與直線位置關(guān)系的判斷方法即可.
【小問(wèn)1詳解】
由橢圓定義可知，軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓，
故，，，其方程為.
【小問(wèn)2詳解】
聯(lián)立得，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以，
解得，所以的取值范圍為.
18. （1）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列滿足，，求通項(xiàng)公式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式列方程求解即可；
（2）利用累乘法求解通項(xiàng)公式.
【詳解】（1）依題意，設(shè)數(shù)列公差為，
因?yàn)?，所以，解得：?br>所以；
（2），
，
．
19. 已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點(diǎn).
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，結(jié)合題意得到，求得圓心，再由，即可求得圓的方程；
（2）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)得到，分的斜率不存在和存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：圓的圓心在直線上且與軸切于點(diǎn)，
可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，.
所以圓心，半徑，
故圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
解：由直線l過(guò)點(diǎn)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，
根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，可得，即，解得，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程為，此時(shí)不滿足條件；
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的斜率為，則方程為，即，
可得，解得或，
所以直線方程為或.
20. 已知數(shù)列中，，．
（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意，都有成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知可推出，又，即可得到，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；
（2）經(jīng)化簡(jiǎn)可得，.令，根據(jù)求出時(shí)，最大，即可得出的取值范圍．
【小問(wèn)1詳解】
證明：由已知可得，，
又，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
所以，所以，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，.
所以，所以.
則由可得，對(duì)任意，都成立.
令，假設(shè)數(shù)列中第項(xiàng)最大，
當(dāng)時(shí)則，有，即，整理可得，
解得，所以.
因?yàn)?，所以?
又，所以數(shù)列中第2項(xiàng)最大，即對(duì)任意，都成立.
所以由對(duì)任意，都成立，可得.
21. 已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，，平面.
（1）求證：；
（2）若四棱錐的體積為2，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)梯形的性質(zhì)求解可證，進(jìn)而根據(jù)線線垂直即可求證，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解平面夾角，或者利用幾何法，結(jié)合線面垂直找到兩平面的夾角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
∵平面，平面，
∴，
過(guò)點(diǎn)作，由為等腰梯形，，
故，
所以，即，即，
平面，
∴平面，平面，
故.
小問(wèn)2詳解】
方法一:，
∵,
，
∴.
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，
,
設(shè)平面法向量為，
則，，
取，得
同理，設(shè)面法向量為，則
，，
取，得，
由題意，.
設(shè)平面與平面夾角為，則，
方法二：，
∵,
，
∴.
∵平面，平面，∴平面平面，
過(guò)作，則平面垂足為，平面，則,
過(guò)作的垂線，垂足為，連，
由于平面,
所以平面,平面，故，
則為所求二面角夾角的平面角.
，所以,
,，，
.
22. 已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為2.
（1）求的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)為雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；
（2）設(shè)，方法一：分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，再根據(jù)求出的關(guān)系，從而可得直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得出答案.
方法二：可設(shè)直線方程為，由可得，再根據(jù)求出，從而可得直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，解得，
所以的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
由題意，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，
方法一：
①若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，
，消去可得，
且，
且，
，
整理可得，
，
化簡(jiǎn)得，
即，
因?yàn)橹本€不過(guò)點(diǎn)，所以，
所以，即，
所以直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，
②若直線斜率不存在，則，
，
解得，所以直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，
綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，
.
方法二：
因?yàn)橹本€不過(guò)點(diǎn)，所以可設(shè)直線方程為，
由可得，
即，
，
得，
等式左右兩邊同時(shí)除以，
得，
，
，解得，
所以直線方程為，
即，恒過(guò)定點(diǎn)，
下同法一.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.

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