數(shù)學（問卷）
（卷面分值：150分；考試時間：120分鐘）
注意事項：
1．本試卷分為問卷（4頁）和答卷（4頁），答案務必書寫在答卷（或答題卡）的指定位置上．
2．答題前，先將答卷密封線內(nèi)的項目（或答題卡中的相關信息）填寫清楚．
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．
1. 設集合，，若，則（ ）
A. B. C. D.
2. 設復數(shù)z滿足，且z在復平面內(nèi)對應的點為則滿足（ ）
A B. C. D.
3. 已知α、β是空間中兩個不重合平面，m、n是空間中兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，，則D. 若，，，則
4. 已知為等比數(shù)列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則S5等于（ ）
A. B. C. D.
5. 以橢圓的焦點為頂點，以橢圓的頂點為焦點的雙曲線的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨紋樣．八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴張的感覺．八角星紋延續(xù)的時間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點O為圓心，中間部分是正方形且邊長為2，定點A，B所在位置如圖所示，則的值為（ ）
A. 14B. 12C. 10D. 8
8. 若是不等于的實數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)，如的差倒數(shù)是.現(xiàn)已知，的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是，以此類推，則（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分．
9. 已知是所有棱長都相等的直棱柱，則下列命題中正確的是（ ）
A. 當點在棱上，直線與側面所成角最大為；
B. 當點在棱上（端點除外），點在棱上（端點除外），直線與直線可能相交；
C. 當點在側面內(nèi)，點在側面內(nèi)，存在直線垂直側面 ；
D. 當點分別在三個側面上，存在直角三角形.
10. 已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（ ）
A. 在區(qū)間單調(diào)遞減
B. 在區(qū)間有兩個極值點
C. 直線是曲線對稱軸
D. 直線是曲線的切線
11. 已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）
A. B.
C. 是奇函數(shù)D. 是偶函數(shù)
12. 小明有一條長度為A的木棍，小華有一條長度為B的木棍，小明先將自己的木棍分成3段，然后小華也將自己的木棍分成3段，如果可用分成的6段木棍拼成2個三角形，則小華獲勝；否則小明獲勝，如果二人在采用最優(yōu)策略的前提下小明必勝，那么有序數(shù)對可能是下面的（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13. 二項式 的各項系數(shù)之和為，則展開式中常數(shù)項為____.
14. 甲、乙兩名游客慕名來到四川旅游，準備分別從九寨溝、峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山這個景點中隨機選一個．事件甲和乙選擇的景點不同，事件甲和乙恰好有一人選擇九寨溝．則條件概率____；
15. 直線被圓截得的弦的中點為，且，若點關于原點的對稱點恰在圓上，則圓的標準方程為____；
16. 若，設的零點分別為，，…，，則n＝_______________；_______________．（其中為a向上取整，例如：，）
四、解答題：本大題共6小題，17小題10分，18~22每小題12分，共計70分．解答應在答卷的相應各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 設數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
18. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且acsB﹣bcsA＝c．
(1)求證：tanA＝3tanB；
(2)若B＝45°，b＝，求△ABC的面積．
19. 如圖，在正方形中，點為上動點，點為上動點，滿足，將、分別沿、折起，使、兩點重合于點．
（1）證明：；
（2）若，求二面角的平面角的余弦值．
20. 減脂是現(xiàn)在很熱的話題，人體內(nèi)的脂肪會受年齡的影響而不同，為了解脂肪和年齡是否有關系，某興趣小組得到年齡和脂肪觀測值的如下數(shù)據(jù)：
并計算得．
（1）求年齡和脂肪值的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；
（2）已知年齡和脂肪觀測值近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出年齡35歲的脂肪觀測值的估計值．
附：相關系數(shù)．
21. 已知橢圓的右焦點為，直線與橢圓有且僅有一個交點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線交橢圓于、兩點，若，試求直線在軸上的截距的取值范圍.
22. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．
年齡
23
27
39
41
45
50
53
56
脂肪值
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
282
29.6
31.4
兵團二中2023年高三年級第四次月考
數(shù)學（問卷）
（卷面分值：150分；考試時間：120分鐘）
注意事項：
1．本試卷分為問卷（4頁）和答卷（4頁），答案務必書寫在答卷（或答題卡）的指定位置上．
2．答題前，先將答卷密封線內(nèi)的項目（或答題卡中的相關信息）填寫清楚．
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．
1. 設集合，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合關系，確定中一定有元素，分和兩種情況討論，確定值.
【詳解】由已知，若，則，，
此時，，滿足，符合題意；
若，，，集合中有兩個相同元素，
不滿足集合元素的互異性，不符合題意.
綜上有.
故選：D
2. 設復數(shù)z滿足，且z在復平面內(nèi)對應點為則滿足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
設，代入，再由復數(shù)模的計算公式求解.
【詳解】設，
由得：
，
即，
故選：A
【點睛】本題考查復數(shù)模的求法，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題.
3. 已知α、β是空間中兩個不重合的平面，m、n是空間中兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，，則D. 若，，，則
【答案】D
【解析】
【分析】由平面的基本性質，結合線線、線面關系及平面法向量概念判斷各項正誤.
【詳解】A：若，，則或，錯；
B：若，，則與相交或，不一定有，錯；
C：若，，，則平行或相交，錯；
D：若，，則直線的方向向量分別為的法向量，
又，即平面法向量垂直，所以，對.
故選：D
4. 已知為等比數(shù)列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則S5等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差中項的性質得到，結合，利用等比數(shù)列的基本量求得和公比，再由等比數(shù)列的求和公式即可得到.
【詳解】因為與的等差中項為，所以，
設等比數(shù)列的公比為，
又，得：，解得：，
則，
故選：C.
5. 以橢圓的焦點為頂點，以橢圓的頂點為焦點的雙曲線的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，所求雙曲線的焦點在軸，設所求雙曲線的標準方程為，由題意可得出、關于、的關系式，由此可得出雙曲線的標準方程.
【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，
由題意可知，所求雙曲線的焦點在軸，設所求雙曲線的標準方程為，
因為所求雙曲線的頂點為橢圓的焦點，則，
而雙曲線焦點在軸上，且雙曲線的焦點為橢圓的頂點，
則，可得，
因此，所求雙曲線的標準方程為.
故選：C.
6. 下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意對于AC，舉出反例說明其不是偶函數(shù)即可；對于D，舉出反例說明其在區(qū)間上不是增函數(shù)即可；對于B，按偶函數(shù)的定義證明并且由冪函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.
【詳解】對于A，，故不是偶函數(shù)，不符題意；
對于B，因為冪函數(shù)滿足，且其定義域為關于原點對稱，
所以是偶函數(shù)，且，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意；
對于C，，故不是偶函數(shù)，不符題意；
對于D，，所以在區(qū)間上不是增函數(shù)，不符題意.
故選：B.
7. 八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨紋樣．八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴張的感覺．八角星紋延續(xù)的時間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點O為圓心，中間部分是正方形且邊長為2，定點A，B所在位置如圖所示，則的值為（ ）
A. 14B. 12C. 10D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】通過轉化得：，展開，利用向量數(shù)量積的定義計算即可.
【詳解】如圖：連接
因為中間是邊長為2的正方形，且圖中的各個三角形均為等腰直角三角形，
所以，，，.
所以
.
故選：A
8. 若是不等于的實數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)，如的差倒數(shù)是.現(xiàn)已知，的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是，以此類推，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列出遞推公式，依次求數(shù)列的各項，觀察總結規(guī)律.
【詳解】由題意：數(shù)列中，，，故：，，，
可知：，所以.
故選：A
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分．
9. 已知是所有棱長都相等的直棱柱，則下列命題中正確的是（ ）
A. 當點在棱上，直線與側面所成角最大為；
B. 當點在棱上（端點除外），點在棱上（端點除外），直線與直線可能相交；
C. 當點在側面內(nèi)，點在側面內(nèi)，存在直線垂直側面 ；
D. 當點分別在三個側面上，存在是直角三角形.
【答案】BD
【解析】
【分析】對A，取中點連接，易得為與側面所成的角，由圖分析得，當最小時，最大，運算得解；對B，當是中點，是中點時易判斷；對C，利用反證法分析判斷；對D，當D是中點，E是中點，F(xiàn)是靠近點的四等分點時易判斷.
【詳解】對于A，如圖1，取中點連接，因為三棱柱所有棱長相等，所有三棱柱為正三棱柱，
所以，又平面，，可得平面，
連接，則為與側面所成的角，
設三棱柱的棱長為2，則，，
當最小時，最大，顯然當是中點時，最小為2，此時，即，
所以直線與側面所成角的最大值不可能為，故A錯誤；
對于B，當是中點，是中點時，，所以，
此時共面，所以直線與直線相交，故B正確；
對于C，設點，點在底面上的投影分別是點，點，
連接，，則，即四點共面，
假設存在直線垂直側面，則，又，
所以平面，可得，而根據(jù)題意不可能垂直，
所以不存在直線垂直側面.故C錯誤；
對于D，如圖2，當D是中點，E是中點，
F是靠近點的四等分點時，有，
所以是直角三角形.故D正確.
故選：BD.
10. 已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（ ）
A. 在區(qū)間單調(diào)遞減
B. 在區(qū)間有兩個極值點
C. 直線是曲線的對稱軸
D. 直線是曲線的切線
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質逐個判斷各選項，即可解出．
【詳解】由題意得：，所以，，
即，
又，所以時，，故．
對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；
對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；
對C，當時，，，直線不是對稱軸；
對D，由得：，
解得或,
從而得：或,
所以函數(shù)在點處的切線斜率為，
切線方程為：即．
故選：AD．
11. 已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）
A. B.
C. 是奇函數(shù)D. 是偶函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用特殊值法，結合奇偶函數(shù)的定義，可得答案.
【詳解】對于A，在等式，令，則，故A正確；
對于B，在等式，令，則，
再令，則，解得，故B正確；
對于D，在等式，令，則，
所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確，
對C，舉例函數(shù)滿足題意，但其顯然不是奇函數(shù)，故C錯誤；
故選：ABD.
12. 小明有一條長度為A的木棍，小華有一條長度為B的木棍，小明先將自己的木棍分成3段，然后小華也將自己的木棍分成3段，如果可用分成的6段木棍拼成2個三角形，則小華獲勝；否則小明獲勝，如果二人在采用最優(yōu)策略的前提下小明必勝，那么有序數(shù)對可能是下面的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的性質進行分析可得出結論.
【詳解】設，小明把木棍分成三段，則，
所以，即，
由此可知，小華無論怎樣將他持有的木棍分成3段，除外的其他5段木棍中任意兩條的長度之和都小于，
所以無法與長為的木棍組成三角形，故小明勝.
故選：BC
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13. 二項式 的各項系數(shù)之和為，則展開式中常數(shù)項為____.
【答案】
【解析】
【分析】利用二項式的各項系數(shù)和求出的值，寫出二項展開式通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.
【詳解】在二項式中，令，可得二項式 的各項系數(shù)之和為，解得，
所以，的展開式通項為，
令，可得，
因此，展開式中的常數(shù)項為.
故答案為：.
14. 甲、乙兩名游客慕名來到四川旅游，準備分別從九寨溝、峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山這個景點中隨機選一個．事件甲和乙選擇的景點不同，事件甲和乙恰好有一人選擇九寨溝．則條件概率____；
【答案】##
【解析】
【分析】計算出、的值，利用條件概率公式可求得的值.
【詳解】甲、乙兩名游客慕名來到四川旅游，準備分別從九寨溝、峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山這個景點中隨機選一個．
事件甲和乙選擇的景點不同，則，
事件甲和乙恰好有一人選擇九寨溝，
則事件甲和乙中一人選九寨溝，另一人選峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山中的一個景點，
所以，，
由條件概率公式可得.
故答案為：.
15. 直線被圓截得弦的中點為，且，若點關于原點的對稱點恰在圓上，則圓的標準方程為____；
【答案】
【解析】
【分析】先用待定系數(shù)法設出圓的標準方程，根據(jù)圓心所在直線，點在圓上，弦長列方程組，求出待定系數(shù).
【詳解】過點且垂直于直線的直線方程是：，圓心就在這條直線上.
關于原點的對稱點是在所求圓上.
設所求圓的方程為：，有題意得：，
解得：，所求圓的方程為：.
故答案為：
16. 若，設的零點分別為，，…，，則n＝_______________；_______________．（其中為a向上取整，例如：，）
【答案】 ①. 3 ②. 7
【解析】
【分析】先利用對數(shù)恒等式的等價轉化，使得變成的形式，結合的性質，討論，的關系.
【詳解】令，則，利用對數(shù)恒等式，原式等價變?yōu)椋海?br>令，于是，由可知在上遞減，上遞增，在取到極小值，當趨近于時趨近于0，趨近于0且時，趨近于，趨近于0且時，趨近于，
可作出大致圖像如下：
結合圖像，可能有如下情形：
由的單調(diào)性可知，若均在中的一種時，則有.
記，，即在上遞增，由，則，故，使得；
顯然在上遞增，由，故時，，故時，；
又，故，使得，故時；
不可能均滿足，事實上，由，得到，這與矛盾.
于是時，由可以推出：.
設，，由在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，，即，故，使得，且時，，遞減，時，，遞增，故，由，可得，由，根據(jù)基本不等式，（等號取不到），故，又，，故存在，使得；
，顯然，故，即；
，顯然，故，即.
由，故，使得.
注意到，故.
綜上討論，當時原方程有兩個根：，；
雖說，，根據(jù)上述討論，在上無實根.即時，有兩個零點：，.
當時，，而時，，，而在處無定義，不可能有，即時，無零點；
當時，注意到且趨近于1時，趨近于，又，故時，存在零點，即，使得，若，且，不妨設，由于均在上單調(diào)遞增，故，，在上遞減，在遞增，故，于是是唯一實根.
綜上所述，原函數(shù)有，，三個零點，.
故答案為：
【點睛】本題難點在于利用對數(shù)恒等式將方程等價轉化，用同構的觀點利用方程構造出函數(shù)的形式，然后利用的性質解題.
四、解答題：本大題共6小題，17小題10分，18~22每小題12分，共計70分．解答應在答卷的相應各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 設數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比和第二項的值，即可求得數(shù)列的通項公式；
（2）利用分組求和法可求得.
【小問1詳解】
解：因為數(shù)列滿足，，則，
且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且該數(shù)列的第二項為，公比為，
所以，，則.
【小問2詳解】
解：因為，
所以，
.
18. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且acsB﹣bcsA＝c．
(1)求證：tanA＝3tanB；
(2)若B＝45°，b＝，求△ABC的面積．
【答案】(1)證明見解析；(2)3.
【解析】
【分析】(1)題中等式利用正弦定理化簡，利用同角三角函數(shù)間基本關系整理即可得證；
(2)由tanB的值確定出tanA的值，進而求出sinA與csA的值，由sinC＝sin(A＋B)求出sinC，利用正弦定理求出c，利用三角形面積公式即可求出△ABC面積．
【詳解】(1)，
由正弦定理得：
，
整理得：，
，
(2)，A∈(0，π)，，，
由正弦定理得，，
，
19. 如圖，在正方形中，點為上動點，點為上動點，滿足，將、分別沿、折起，使、兩點重合于點．
（1）證明：；
（2）若，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）證明出平面，利用線面垂直的性質可證得結論成立；
（2）設，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的平面角的余弦值.
【小問1詳解】
翻折前，因為四邊形是正方形，則，，
翻折后，則有，，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，故.
【小問2詳解】
設，因為，
則在三棱錐中，，，
由題意可知，，又因為平面，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
易知平面的一個法向量為，則，
由圖可知，二面角的平面角為銳角，
故二面角的平面角的余弦值為.
20. 減脂是現(xiàn)在很熱的話題，人體內(nèi)的脂肪會受年齡的影響而不同，為了解脂肪和年齡是否有關系，某興趣小組得到年齡和脂肪觀測值的如下數(shù)據(jù)：
并計算得．
（1）求年齡和脂肪值的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；
（2）已知年齡和脂肪觀測值近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出年齡35歲的脂肪觀測值的估計值．
附：相關系數(shù)．
【答案】（1）0.96
（2）20
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相關系數(shù)的求解公式，可得答案；
（2）根據(jù)樣本中心，結合題意中的中比，可得答案.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
設年齡35歲的脂肪觀測值的估計值為，又已知年齡和脂肪觀測值近似成正比，可得，解得，所以年齡35歲的脂肪觀測值的估計值為.
21. 已知橢圓的右焦點為，直線與橢圓有且僅有一個交點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線交橢圓于、兩點，若，試求直線在軸上的截距的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得出，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可得出，可得出、的值，由此可得出橢圓的標準方程；
（2）設直線的方程為（其中為直線在軸上的截距），設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可得出，列出韋達定理，結合可得出，結合可解得的取值范圍，即為所求.
【小問1詳解】
解：因為橢圓的右焦點為，則，
又因為直線與橢圓有且僅有一個交點，
聯(lián)立可得，
則方程有且僅有一個解，
所以，，整理可得，
又因為，所以，，，
因此，橢圓的方程為.
【小問2詳解】
解：由題意可知，為橢圓的右焦點，
依題意，設直線的方程為（其中為直線在軸上的截距），
設點、，
聯(lián)立可得，
，即，
由韋達定理可得，，
因為，，
所以，，同理可得，
所以，
，
整理可得，
又因為，所以，，即，所以，，
又因為，則，解得或.
因此，直線在軸上的截距的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；
（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
22. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出導函數(shù)，然后分，，，四種情況分別討論即可求解；
（2）根據(jù)（1）結論分析可得①②③不符合題意，則，根據(jù)函數(shù)零點存在定理可得當時，函數(shù)在區(qū)間、和上各有一個零點.
【小問1詳解】
解：，
①當時，
②當時，
③當時，在R上單調(diào)遞增，
④當時，
綜上可得：
當時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
當時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
當時，在R上為增函數(shù)，
當時，在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
【小問2詳解】
解：由（1）可知①③兩種情況顯然不符合題意，
當時，，不符合題意，
當時，
i）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，
，使得，
ii）在區(qū)間上單調(diào)遞減，，
令，設，
，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，
，即時，
，
使得，
iii）在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，令，
，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立，即，
，
時，，，
此時，
使得．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛：本題（2）問解題的關鍵是當時，利用函數(shù)零點存在定理分別判斷函數(shù)在區(qū)間、和上各有一個零點.
年齡
23
27
39
41
45
50
53
56
脂肪值
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
28.2
29.6
31.4
0
0
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
0
0
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
0
0
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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