時限：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量的線性運算進行求解.
【詳解】.
故選：D
2. 平面內(nèi)到兩定點、的距離之差等于10的點的軌跡為（ ）
A. 橢圓B. 雙曲線C. 雙曲線的一支D. 以上選項都不對
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)動點滿足的幾何性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因為、，所以，
而平面內(nèi)到兩定點、的距離之差等于的點的軌跡為一條射線.
故選：D
3. “”是“方程表示圓的方程”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)表示圓得到或，然后判斷充分性和必要性即可.
【詳解】若表示圓，則，解得或，
可以推出表示圓，滿足充分性，
表示圓不能推出，不滿足必要性，
所以是表示圓的充分不必要條件.
故選：A.
4. 已知橢圓的離心率為，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的離心率公式分析運算即可得解.
【詳解】由題意，橢圓，則，且，
由離心率，解得：，
若橢圓的焦點在軸上，則，解得：；
若橢圓的焦點在軸上，則，解得：；
綜上知，或.
故選：C.
5. 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于另一個焦點上．由橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知，，．若透明窗所在的直線與截口所在的橢圓交于一點，且，則的面積為（ ）
A. 2B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由橢圓定義，根據(jù)，結(jié)合勾股定理可得可得的值，則即可求的面積．
【詳解】由，，，得，
則橢圓長軸長，由點在橢圓上，得，又，
則，
因此，所以的面積為.
故選：D
6. 已知圓與圓外切，則的最大值為（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用兩圓外切求出的關(guān)系，再利用基本不等式求解即得.
【詳解】圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，依題意，，
于是，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最大值為3.
故選：D
7. 如圖所示，三棱錐中，平面，，點為棱的中點，分別為直線上的動點，則線段的最小值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量建立的函數(shù)關(guān)系求解即可.
【詳解】三棱錐中，過作平面，由，知，
以為原點，直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由平面，得，則，
令，則，設(shè)，
于是，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以線段的最小值為.
故選：B
8. 已知分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上存在兩點使得梯形的高為（為該橢圓的半焦距），且，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，可得，則，為梯形的兩條底邊，作于點P，所以，則可求得，再結(jié)合，建立的關(guān)系即可得出答案.
【詳解】如圖，由，得，則，為梯形的兩條底邊，
作于點P，則，由梯形的高為c，得，
在中，，則有，，
在中，設(shè)，則，，
即，解得，
在中，，同理，
又，所以，即，所以離心率.
故選：C
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 直線與圓的公共點的個數(shù)可能為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心到直線距離的取值范圍，即可判斷得解.
【詳解】圓的圓心，半徑，
當(dāng)時，點到直線的距離，
因此直線與圓相切或相交，所以直線與圓的公共點個數(shù)為1或2.
故選：BC
10. 下列四個命題中正確的是（ ）
A. 過點，且在軸和軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為
B. 過點且與圓相切的直線方程為或
C. 若直線和以為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為或
D. 若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)所有可能的取值組成的集合為
【答案】BC
【解析】
【分析】利用直線截距式方程判斷A；求出圓的切線方程判斷B；求出直線斜率范圍判斷C；利用三條直線不能構(gòu)成三角形的條件求出a值判斷D.
【詳解】對于A，過點在軸和軸上的截距互為相反數(shù)的直線還有過原點的直線，其方程為，A錯誤；
對于B，圓的圓心，半徑，過點斜率不存在的直線與圓相切，
當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，則，解得，此切線方程為，
所以過點且與圓相切的直線方程為或，B正確；
對于C，直線恒過定點，直線的斜率分別為
，依題意，或，即為或，C正確；
對于D，當(dāng)直線平行時，，當(dāng)直線平行時，，
顯然直線交于點，當(dāng)點在直線時，，
所以三條直線不能構(gòu)成三角形，實數(shù)的取值集合為，D錯誤.
故選：BC
11. 已知橢圓的兩個焦點分別為，點是橢圓上的動點，點是圓上任意一點．若的最小值為，則下列說法中正確的是（ ）
A. B. 的最大值為5
C. 存在點使得D. 的最小值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，即可判斷在橢圓外部，在求出，即可求出，再根據(jù)數(shù)量積的運算律及橢圓的性質(zhì)判斷B、C，根據(jù)橢圓的定義判斷D.
【詳解】橢圓，則，所以，
圓的圓心為，半徑，
所以，所以點在橢圓外部，
又，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線（在之間）時等號成立，
所以，解得，
所以，解得（負(fù)值舍去），故A正確；
，
又，所以，所以，
即的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)在上、下頂點時取最大值，故B正確；
設(shè)為橢圓的上頂點，則，，所以，
所以，所以，則存在點使得，故C正確；
因為
，
當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點共線（且、在之間）時取等號，故D錯誤.
故選：ABC
12. 在棱臺中，底面分別是邊長為4和2的正方形，側(cè)面和側(cè)面均為直角梯形，且平面，點為棱臺表面上的一動點，且滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 二面角的余弦值為
B. 棱臺的體積為26
C. 若點在側(cè)面內(nèi)運動，則四棱錐體積的最小值為
D. 點的軌跡長度為
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，利用空間向量相關(guān)公式求出二面角的余弦值；B選項，利用棱臺體積公式求出答案；C選項，設(shè)出，求出軌跡方程，得到點的軌跡，從而得到點到平面的最短距離為，利用體積公式求出答案；D選項，考慮點在各個面上運算，求出相應(yīng)的軌跡，求出軌跡長度，相加后得到答案.
【詳解】A選項，因為平面，平面，
所以，
又底面分別是邊長為4和2的正方形，
故，
故兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得，令得，，故，
則，
又從圖形可看出二面角為銳角，
故二面角余弦值為，A正確；
B選項，棱臺的體積為，B錯誤；
C選項，若點在側(cè)面內(nèi)運動，，
設(shè)，則，
整理得，
故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在側(cè)面內(nèi)部（含邊界）部分，
如圖所示，圓弧即為所求，
過點作⊥于點，與圓弧交于點，
此時點到平面的距離最短，
由勾股定理得，
因為，，
，
故點到平面的最短距離為，
因為與平行，且⊥平面，
又平面，所以⊥，
故四邊形為直角梯形，故面積為，
則四棱錐體積的最小值為，C正確；
D選項，由C選項可知，當(dāng)點在側(cè)面內(nèi)運動時，軌跡為圓弧，
設(shè)其圓心角為，則，故，
所以圓弧的長度為，
當(dāng)點在面內(nèi)運動時，，
設(shè)，則，
整理得，
點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在側(cè)面內(nèi)部（含邊界）部分，
如圖所示，圓弧即為所求軌跡，其中，故，
則圓弧長度為，
若點面內(nèi)運動時，，
設(shè)，則，
整理得，
點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在側(cè)面內(nèi)部（含邊界）部分，
如圖所示，圓弧即為所求，此時圓心角，
故圓弧長度為，
經(jīng)檢驗，當(dāng)點在其他面上運動時，均不合要求，
綜上，點的軌跡長度為，D正確.
故選：ACD
【點睛】立體幾何中體積最值問題，一般可從三個方面考慮：一是構(gòu)建函數(shù)法，即建立所求體積的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變化過程中兩個互相牽制的變量（兩個變量之間有等量關(guān)系），往往可以使用此種方法；三是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，且直線與直線垂直，則實數(shù)的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出直線的斜率，由兩直線垂直得到斜率之積為，即可求出，再由斜率公式計算可得.
【詳解】因為直線的斜率，
又直線與直線垂直，所以，即，解得.
故答案為：
14. 以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程求出雙曲線的頂點及焦點坐標(biāo)，即可求出雙曲線方程.
【詳解】橢圓的長軸端點為，焦點為，
因此以為頂點，為焦點的雙曲線虛半軸長為，方程為.
故答案為：
15. 橢圓上的點到直線的最遠距離為______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出橢圓上任意一點的坐標(biāo)，再利用點到直線距離公式，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解即得.
【詳解】設(shè)橢圓上的點，則點到直線的距離：
，
顯然當(dāng)時，，
所以橢圓上的點到直線的最遠距離為.
故答案為：
16. 已知點的坐標(biāo)為，點是圓上的兩個動點，且滿足，則面積的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，，的中點，由題意求解的軌跡方程，得到的最大值，寫出三角形的面積，結(jié)合基本不等式求解．
【詳解】設(shè)，，的中點，
點，為圓上的兩動點，且，
，①，
，②，
③
由③得，即④，
把②中兩個等式兩邊平方得：，，
即⑤，
把④代入⑤，可得，即在以為圓心，以為半徑的圓上．
則的最大值為．
所以．
當(dāng)且僅當(dāng)，的坐標(biāo)為時取等號．
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知的頂點，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．
（1）求點的坐標(biāo)；
（2）求直線的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由垂直關(guān)系求出直線的方程，再求出兩直線的交點坐標(biāo)即得.
（2）設(shè)出點的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式求出點坐標(biāo)，再利用兩點式求出直線方程.
【小問1詳解】
由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，
直線方程為，即，
由，解得，
所以點的坐標(biāo)是.
【小問2詳解】
由點在直線上，設(shè)點，于是邊的中點在直線上，
因此，解得，即得點，直線的斜率，
所以直線的方程為，即.
18. 如圖，在三棱柱中底面為正三角形，．
（1）證明：；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算律及定義得到，即可得證；
（2）取中點，連接交于點，連接、，即可得到為異面直線與所成角或其補角，再由余弦定理計算可得.
【小問1詳解】
因為，
所以
，
所以，即.
【小問2詳解】
取的中點，連接交于點，連接、，
則為的中點，所以，所以為異面直線與所成角或其補角，
在等邊三角形中，
在平行四邊形中
，
所以，所以，
因為，，所以，
在矩形中，所以，
在中由余弦定理，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
19. 已知圓的圓心在軸上，其半徑為1，直線被圓所截的弦長為，且點在直線的下方．
（1）求圓的方程；
（2）若為直線上的動點，過作圓的切線，切點分別為，當(dāng)?shù)闹底钚r，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)直線被圓所截的弦長為列方程得到，然后寫圓的方程即可；
（2）根據(jù)等面積的思路得到當(dāng)時，最小，然后根據(jù)直線為以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線求直線方程.
【小問1詳解】
設(shè)圓心到直線的距離為，則，解得或，
因為點在直線的下方，所以，，
所以圓的方程為.
【小問2詳解】
因為，所以最小即最小，
當(dāng)時，最小，所以此時，的直線方程為：，
聯(lián)立得，所以，中點，，
所以以為直徑的圓的方程為：，
直線為以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線，
聯(lián)立得，
所以直線的方程為.
20. 已知分別為橢圓的左、右焦點，離心率，點為橢圓上的一動點，且面積的最大值為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為橢圓的左頂點，點在橢圓上，線段的垂直平分線與軸交于點，且為等邊三角形，求點的橫坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積、離心率以及列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則橢圓的方程可求；
（2）表示出的垂直平分線方程，由此確定出點坐標(biāo)，再根據(jù)為等邊三角形可得，由此列出關(guān)于的等式并結(jié)合橢圓方程求解出點坐標(biāo).
【小問1詳解】
依題意當(dāng)為橢圓的上、下頂點時面積的取得最大值，
則，解得，
所以橢圓方程為：.
【小問2詳解】
依題意，則，且，
若點為右頂點，則點為上（或下）頂點，則，，
此時不是等邊三角形，不合題意，所以，.
設(shè)線段中點為，所以，
因為，所以，
因為直線的斜率，所以直線的斜率，
又直線的方程為，
令，得到，
因為，所以，
因為為正三角形，
所以，即，
化簡，得到，
解得，（舍）
故點的橫坐標(biāo)為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題第二問關(guān)鍵在于垂直平分線方程的求解以及將的結(jié)構(gòu)特點轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系去求解坐標(biāo)，在計算的過程中要注意利用點坐標(biāo)符合橢圓方程去簡化運算.
21. 如圖，在多面體中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為直角梯形，為的中點，點為線段上一動點，且．
（1）若點為線段的中點，證明：平面；
（2）若平面平面，且，問：線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位線和平行四邊形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明；
（2）建系，然后利用空間向量的方法列方程，解方程即可.
【小問1詳解】
取中點，連接，，
因為分別為中點，
所以，，
因為四邊形為菱形，為中點，
所以，，
所以，，則四邊形為平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，
所以∥平面.
【小問2詳解】
取中點，連接，
因為平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因為平面，平面，
所以，，
因為，四邊形為菱形，
所以三角形為等邊三角形，
因為為中點，
所以，，
所以兩兩垂直，
以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，，，，
設(shè)，則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，
所以，
，
解得或（舍去），
所以線段上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，
此時.
22. 已知橢圓的左、右頂點分別為，右焦點為，過點且斜率為的直線交橢圓于點．
（1）若，求的值；
（2）若圓是以為圓心，1為半徑的圓，連接，線段交圓于點，射線上存在一點，使得為定值，證明：點在定直線上．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出點坐標(biāo)，再由兩點間的距離公式求出；
（2）由點坐標(biāo)可求得斜率，進而得到方程，與圓的方程聯(lián)立可得點坐標(biāo)；設(shè)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運算表示出，可知若為定值，則，知；當(dāng)直線斜率不存在時，驗證可知滿足題意，由此可得定直線方程.
【小問1詳解】
依題意可得，可設(shè)，，
由，消去整理得，
，，
，，
，
所以，解得或（舍去），
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，，
若直線斜率存在，則，直線，
由得，又點線段上，
所以，即，又，
，
設(shè)，則，
；
當(dāng)時，為定值，此時，則，此時在定直線上；
當(dāng)時，不為定值，不合題意；
若直線斜率不存在，由橢圓和圓的對稱性，不妨設(shè)，從而有，，
此時，則直線，
設(shè)，則，，，
則時，，滿足題意；
綜上所述：當(dāng)為定值，點在定直線上.

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