素養(yǎng)培優(yōu)課(一)　帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 考點(diǎn)1　帶電粒子在直線邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 1．單平面邊界的磁場(chǎng)問題 從單平面邊界垂直磁場(chǎng)射入的正、負(fù)粒子重新回到邊界時(shí)的速度大小、速度方向和邊界的夾角與射入磁場(chǎng)時(shí)相同。 2．雙平行平面邊界的磁場(chǎng)問題 帶電粒子由邊界上P點(diǎn)以如圖所示方向進(jìn)入磁場(chǎng)。 (1)當(dāng)磁場(chǎng)寬度d與軌跡圓半徑r滿足r≤d 時(shí)(如圖中的r1)，粒子在磁場(chǎng)中做半圓周運(yùn)動(dòng)后從進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的邊界上的Q1點(diǎn)飛出磁場(chǎng)。 (2)當(dāng)磁場(chǎng)寬度d 與軌跡圓半徑r 滿足r>d 時(shí)(如圖中的r2)，粒子將從另一邊界上的Q2點(diǎn)飛出磁場(chǎng)。 【典例1】　如圖所示，直線MN上方存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)量為m、電荷量為－q(q＞0)的粒子1在紙面內(nèi)以速度v1＝v0從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，其方向與MN的夾角α＝30°；質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子2在紙面內(nèi)以速度v2＝3v0也從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，其方向與MN的夾角β＝60°。已知粒子1、2同時(shí)到達(dá)磁場(chǎng)邊界的A、B兩點(diǎn)(圖中未畫出)，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用。求： (1)兩粒子在磁場(chǎng)邊界上的穿出點(diǎn)A、B之間的距離d； (2)兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔Δt。 思路點(diǎn)撥：(1)根據(jù)速度方向和粒子的電性畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，利用幾何關(guān)系求出軌道半徑。 (2)粒子的運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性，即進(jìn)、出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向和邊界的夾角相等。 [解析]　(1)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有 qvB＝mv2r，則r＝mvqB 故d＝OA＋OB＝2r1sin 30°＋2r2sin 60°＝4mv0qB。 (2)粒子1做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角θ1＝5π3 粒子2圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角θ2＝4π3 粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝2πrv＝2πmqB 粒子1在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝θ12πT 粒子2在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2＝θ22πT 所以Δt＝t1－t2＝πm3qB。 [答案]　(1)4mv0qB　(2)πm3qB (1)要按照“畫軌跡，找圓心，求半徑(利用幾何關(guān)系)”的基本思路進(jìn)行。 (2)解題過程中注意對(duì)稱性的應(yīng)用。 [跟進(jìn)訓(xùn)練] 1．如圖所示，在某電子設(shè)備中有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。AC、AD兩塊擋板垂直紙面放置，夾角為90°。一束電荷量為＋q、質(zhì)量為m的相同粒子，從AD板上距A點(diǎn)為L(zhǎng)的小孔P處以不同速率沿垂直于磁場(chǎng)方向射入，速度方向與AD板的夾角為60°，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用。求： (1)直接打在AD板上Q點(diǎn)的粒子距離A點(diǎn)15L，該粒子運(yùn)動(dòng)過程中距離AD最遠(yuǎn)距離為多少？ (2)直接垂直打在AC板上的粒子，其運(yùn)動(dòng)速率是多大？ [解析]　(1)如圖所示，根據(jù)已知條件畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子打在AD板上的Q點(diǎn)，圓心為O1，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R 由幾何關(guān)系可知 2R cos 30°＝45L 解得R＝4315L 該粒子運(yùn)動(dòng)過程中距離AD最遠(yuǎn)距離為 smax＝R－R sin 30°＝2315L。 (2)粒子垂直打到AC板，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，圓心為O2，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系可得r cos 30°＝L 解得r＝233L 根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得qvB＝mv2r 解得v＝23qBL3m。 [答案]　(1)2 315L　(2)23qBL3m 考點(diǎn)2　帶電粒子在圓形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 1．在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，沿徑向?qū)?zhǔn)磁場(chǎng)圓心射入的粒子一定沿徑向射出。 如圖所示，磁場(chǎng)圓半徑為R，粒子軌跡圓半徑為r，帶電粒子從P點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)磁場(chǎng)圓心O射入，由幾何知識(shí)容易證明粒子從Q點(diǎn)飛出的速度方向的反向延長(zhǎng)線必過磁場(chǎng)圓心O點(diǎn)。 2．帶電粒子入射方向偏離圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)圓心射入的問題。處理這類問題時(shí)一定要分清磁場(chǎng)圓和軌跡圓，并要注意區(qū)分軌跡圓的圓心和圓形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的圓心。 甲　　　　　　　　乙 (1)當(dāng)粒子沿圖甲所示軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)、速度偏轉(zhuǎn)角最大。 (2)由圖甲看出，在軌跡圓半徑和速度偏轉(zhuǎn)角一定的情況下，可實(shí)現(xiàn)此偏轉(zhuǎn)的最小磁場(chǎng)圓是以PQ為直徑的圓。 (3)如圖乙所示，由幾何知識(shí)很容易證明：當(dāng)r＝mvqB＝R時(shí)，相同帶電粒子從P點(diǎn)沿紙面內(nèi)不同方向射入磁場(chǎng)，它們離開磁場(chǎng)時(shí)的方向卻是平行的。 【典例2】　在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所示。一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場(chǎng)邊界與x軸的交點(diǎn)A處以速度v沿x軸負(fù)方向射入磁場(chǎng)，它恰好從磁場(chǎng)邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿y軸正方向飛出。 (1)請(qǐng)判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷qm； (2)若磁場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場(chǎng)，但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了60°角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′多大？此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t是多少？ 思路點(diǎn)撥：(1)粒子沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)后，仍會(huì)沿著半徑方向射出磁場(chǎng)。 (2)畫出運(yùn)動(dòng)軌跡并求出軌道半徑是解答本題的關(guān)鍵。 [解析]　(1)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由左手定則可知，該粒子帶負(fù)電荷。 粒子由A點(diǎn)射入，由C點(diǎn)飛出，其速度方向改變了90°角，則粒子軌跡半徑R＝r， 又qvB＝mv2R，則粒子的比荷qm＝vBr。 (2)設(shè)粒子從D點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，速度方向改變了60°角，故AD弧所對(duì)圓心角為60°， 由幾何關(guān)系可知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R′＝rtan30°＝3r， 又R′＝mvqB'，所以B′＝ 33B， 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間 t＝16T＝16×2πmqB'＝3πr3v。 [答案]　(1)負(fù)電荷　vBr　(2)33B　3πr3v [跟進(jìn)訓(xùn)練] 2．如圖所示，半徑為R的圓形空間內(nèi)，存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)帶負(fù)電的粒子(不計(jì)重力)，從A點(diǎn)以速度v0沿半徑方向射入磁場(chǎng)，并從B點(diǎn)射出，∠AOB＝120°，則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(　　) A．πRv0 B．23πR3v0 C．πR3v0 D． 3πR3v0 D　[畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，如圖所示。 由圖根據(jù)幾何知識(shí)可知，粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為α＝60°＝π3，軌跡半徑為r＝R tan 60°＝3R，粒子運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為l＝60°360°×2πr＝ 33πR，則粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t＝lv0＝ 3πR3v0，故D正確。] 考點(diǎn)3　帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的臨界問題 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶電粒子速度大小的變化，引起帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑發(fā)生變化?；蛘唠S著帶電粒子速度方向的變化使帶電粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在某一時(shí)刻發(fā)生變化。找到臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的條件是解決此類問題的突破口。解決此類問題應(yīng)注意以下結(jié)論： (1)剛好穿出或剛好不能穿出磁場(chǎng)的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。 (2)當(dāng)以一定的速率垂直射入磁場(chǎng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)、圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。 (3)當(dāng)比荷相同，速率v變化時(shí)，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角越大的帶電粒子，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。 【典例3】　如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)寬度L＝4 3 cm，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B＝0.1 T，方向垂直紙面向里，有一質(zhì)量m＝8×10-25 kg、電荷量q＝5×10-18 C的正離子(不計(jì)重力)，以方向垂直磁場(chǎng)的初速度v0從小孔C射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，轉(zhuǎn)過圓心角θ＝60°后從磁場(chǎng)右邊界A點(diǎn)射出。(取π≈3)求： (1)離子的初速度v0； (2)離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間； (3)只改變正離子的速度大小，使之無法從右邊界射出，求離子速度的最大值。 [解析]　(1)由幾何關(guān)系得r＝Lsinθ＝0.08 m 由洛倫茲力提供向心力得qv0B＝mv02r 解得v0＝5×104 m/s。 (2)離子運(yùn)動(dòng)周期為T＝2πrv0＝9.6×10-6 s 離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝θ2πT＝1.6×10-6 s。 (3)若離子剛好不從右邊界射出，則離子軌跡剛好和右邊界相切，由幾何關(guān)系得離子軌跡半徑為R＝L 由洛倫茲力提供向心力得qvmB＝mvm2R 解得vm≈4.3×104 m/s。 [答案]　(1)5×104 m/s　(2)1.6×10-6 s (3)4.3×104 m/s (1)帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題往往對(duì)應(yīng)著一些特殊的詞語，如“恰好”“剛好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解題時(shí)應(yīng)予以特別關(guān)注。 (2)畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡并根據(jù)幾何知識(shí)求得此時(shí)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑往往是求解此類問題的關(guān)鍵。 [跟進(jìn)訓(xùn)練] 3．如圖所示，在邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域內(nèi)存在著方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為＋q的帶電粒子(重力不計(jì))從AB邊的中點(diǎn)O以某一速度v進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向垂直于磁場(chǎng)且與AB邊的夾角為60°。若粒子能從AB邊穿出磁場(chǎng)，且粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程中，到AB邊有最大距離，則v的大小為(　　) A． 3Bqa4m B．3Bqa4m C．3 Bqa8m D．3Bqa8m C　[從AB邊以v射出的粒子符合題意的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。由圖知：2R＝OB·cos 30°，OB＝a2，又有Bqv＝mv2R得v＝ 3Bqa8m，故C正確。] 素養(yǎng)培優(yōu)練(一)　帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 一、選擇題 1．如圖所示，一半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一質(zhì)量為m、電荷量為q的正電荷(重力忽略不計(jì))以速度v沿正對(duì)著圓心O的方向射入磁場(chǎng)，從磁場(chǎng)中射出時(shí)速度方向改變了θ角。磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為(　　) A．mvqRtan θ2 B．mvtan θ2qR C．mvqRsin θ2 D．mvqRcos θ2 B　[以速度v正對(duì)著圓心射入磁場(chǎng)，將背離圓心射出，軌跡圓弧的圓心角為θ，如圖所示，由幾何關(guān)系知軌跡圓半徑r＝Rtan θ2，由半徑r＝mvqB解得B＝mvtan θ2qR，B正確。] 2．(多選)如圖所示，在x軸上方存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量大小為q(不計(jì)重力)的帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向垂直于磁場(chǎng)且與x軸正方向成120°角，若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)到x軸的最大距離為a，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B和該粒子所帶電荷的正、負(fù)可能是(　　) A．3mv2aq，正電荷 B．mv2aq，正電荷 C．3mv2aq，負(fù)電荷 D．mv2aq，負(fù)電荷 BC　[如圖所示，若粒子帶正電，則a＝r(1－sin 30°)＝mv2qB，則B＝mv2qa，B正確；若粒子帶負(fù)電，則a＝r(1＋sin 30°)＝3mv2qB，則B＝3mv2qa，C正確。] 3．如圖所示，在x軸上方存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。在xOy平面內(nèi)，從原點(diǎn)O處沿與x軸正方向成θ角(0

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