時限：120分鐘 滿分：150分 命題人：沈宇為 審題人：胡立松
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1. 已知平面向量，，，則實數(shù)（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】因為，，，
所以，解得，
故選：A
2. 若：，：，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】解兩個不等式，分別得到和，根據(jù)真包含關(guān)系，得到是的充分不必要條件.
【詳解】，故，解得，
，解得，
因為是的真子集，
所以是的充分不必要條件.
故選：A
3. 己知是全集的兩個子集，則如圖所示的陰影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由給定的韋恩圖分析出陰影部分所表示的集合中元素滿足的條件，再根據(jù)集合運算的定義即可得解
【詳解】由圖可知，陰影部分所表示的集合中的元素且，
則陰影部分所表示的集合是.
故選：C.
4. 若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因為，，即，
，即，
所以.
故選：C
5. 已知，都是銳角，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】運用兩角和與差的正弦公式展開，化切為弦得，代入即可求解.
【詳解】由題意，又，
所以，即，
所以，所以.
故選：D
6. 已知為的外接圓圓心，，，則的最大值為（ ）
A. 4B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】得到，為等邊三角形，，變形得到，當(dāng)三點共線，即時，取得最大值，最大值為6.
【詳解】因為為的外接圓圓心，，
所以，
因為，所以為等邊三角形，
故，
，
當(dāng)三點共線，即時，取得最大值，
最大值為.

故選：B
7. 某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為測量學(xué)校附近某建筑物的高度，在學(xué)校操場選擇了同一條直線上的，，三點進(jìn)行測量．如圖，（單位：米），點為中點，興趣小組組長小王在，，三點正上方2米處的，，觀察建筑物最高點的仰角分別為，，，其中，，，點為點在地面上的正投影，點為上與，，位于同一高度的點，則建筑物的高度為（ ）米．

A. 20B. 22C. 40D. 42
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，得到，，，并得到，根據(jù)得到，結(jié)合余弦定理得到方程，求出，得到筑物的高度.
【詳解】設(shè)，因為，，，
所以，，，
因為，點為中點，
所以，點為中點，
故，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由于，故，
即，解得，
故建筑物的高度（米）.
故選：B
8. 設(shè)函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，定義域R，得到為奇函數(shù)，即，求導(dǎo)，得到在R上單調(diào)遞增，變形得到，從而，求出解集.
【詳解】令，定義域為R，
，
故為奇函數(shù)，即，
，
故在R上單調(diào)遞增，
，
故，
即，
所以，，
解得或.
故選：B
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 設(shè)函數(shù)，，的導(dǎo)數(shù)為，則（ ）
A.
B. 當(dāng)時，
C. 曲線在點處的切線方程為
D. 當(dāng)時，
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出的導(dǎo)數(shù)f′x即可判斷A、B，表示出y=gx，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，即可判斷C，利用作差法判斷D.
【詳解】對于A：因為，所以，則，故A正確；
對于B：因為，即，解得，故B錯誤；
因為，
則，所以，
則y=gx在點1,4處的切線方程為，即，故C正確；
當(dāng)時gx=x2+3x>0，，
令，因為與均在0,+∞上單調(diào)遞增，
則?x在0,+∞上單調(diào)遞增，且，?2=72>0，
所以存在使得，所以當(dāng)時?x0，
所以，
所以當(dāng)時，
所以，
當(dāng)時，
所以，
綜上可得當(dāng)時，，故D正確.
故選：ACD
10. 某個簡諧運動可以用函數(shù)（，），來表示，部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B. 這個簡諧運動的頻率為，初相為
C. 直線是曲線的一條對稱軸
D. 點是曲線的一個對稱中心
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)圖象可得，選項A，利用的圖象與性質(zhì)可得，即可判斷選項A的正誤；選項B，由頻率和初相的定義，結(jié)合，即可求解；選項C和D，，利用性質(zhì)，求出的對稱軸和對稱中心，即可判斷出選項C和D的正誤.
【詳解】由圖知，由圖象知，又，所以，
又由五點作圖知，第三個點，所以，得到，所以.
對于選項A，設(shè)，由，得到，，
所以，故選項A錯誤，
對于選項B，因為，所以頻率為，由知初相為，所以選項B正確，
對于選項C，因為，由，即，
所以不是曲線的對稱軸，故選項C錯誤，
對于選項D，因為，由，得到，
令，得到，所以點是曲線的一個對稱中心，故選項D正確.
故選：BD.
11 已知實數(shù)，滿足，則（ ）
A. 當(dāng)時，B. 當(dāng)時，
C. 當(dāng)時，D. 當(dāng)時，
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項，，所以，變形為，令，，故，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到；B選項，時，，變形得到，構(gòu)造，，則，求導(dǎo)得到的單調(diào)性，不單調(diào)，故不一定等于，即不一定成立；CD選項，由AB選項知，時，，，令，則有，不妨設(shè)，故，先證明出，從而得到，，故，，CD正確.
【詳解】A選項，由得，因為，所以，
兩邊取對數(shù)得，，
故，
令，，故，
由于在0,+∞上單調(diào)遞增，故，故，A正確；
B選項，時，，故，
故，
令，，則，
其中，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，
因為不單調(diào)，故不一定等于，即不一定成立，B錯誤；
CD選項，由AB選項知，時，，，
令，則有，不妨設(shè)，
故，
下面證明，
先證不等式右邊，，
令，即證，
令，，
則，
故在上單調(diào)遞減，
又，故，所以，
即，，故，C正確；
再證不等式左邊，，即證，
令，即證，
令，，則，
故在1,+∞上單調(diào)遞減，
又，故，故，
即，所以，故，所以，D正確.
故選：ACD
【點睛】方法點睛：對數(shù)平均不等式為，在處理函數(shù)極值點偏移問題上經(jīng)常用到，可先證明，再利用對數(shù)平均不等式解決相關(guān)問題，證明方法是結(jié)合，換元后將二元問題一元化，利用導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行證明
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知向量，為單位向量，且在上的投影向量為，則______．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量得到，先計算出，求出模長.
【詳解】由題意得，故，
，
故.
故答案為：
13. 若實數(shù)，滿足，，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】令，求出、，再根據(jù)不等式的性質(zhì)計算可得.
【詳解】令，
所以，解得，
所以，
又，，
所以，即，
所以的取值范圍為.
故答案為：
14. 設(shè)，是雙曲線：（，）的左、右焦點，點是右支上一點，若的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，且，使得，則的離心率為______．
【答案】2
【解析】
【分析】設(shè)在第一象限，則點也在第一象限，根據(jù)得到，由兩種方法求解的面積，得到方程，求出，結(jié)合，求出，由兩點間距離公式得到，求出，故，代入雙曲線方程，求出，得到離心率.
【詳解】不妨設(shè)在第一象限，則點也在第一象限，
設(shè)，，
因為，所以，
故，
，
又，
故，解得，
由雙曲線定義得，
故，，
又
，
又，故，故，
又，故，，故，
將代入中，得，
解得，所以的離心率為.
故答案為：2
【點睛】方法點睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．
（1）求；
（2）若角的平分線交邊于點，，求面積的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡即可得解；
（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)，求得和，再將轉(zhuǎn)化為與的關(guān)系，利用基本不等式求解即可.
【小問1詳解】
因為，
由正弦定理得，
則，
即，
又，所以，所以，
又，所以，
所以，所以；
【小問2詳解】
如圖，由題意及第（1）問知，，
且，
∴，
∴，化簡得，
∵，，∴由基本不等式得，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
∴，
∴，
故的面積的最小值為.

16. 已知函數(shù)，且恒成立．
（1）求的值；
（2）設(shè)，若，，使得，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換得到，其中，根據(jù)，求出，故，解得；
（2），，使得，則只需，求出，換元得到，分，和，求出，從而得到不等式，求出的取值范圍.
【小問1詳解】
，其中，
由于，，故，
所以，故，
，解得；
【小問2詳解】
由（1）得，不妨取，故，
，，使得，
則只需，
其中時，，故，
則，
令，則，
則，
其中，
因為，所以，，
若，此時在上單調(diào)遞減，
故，故，
若，此時，令，
故，解得，與取交集得，
若，此時在上單調(diào)遞增，
故，
令，解得，與取交集得，
綜上，.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，，，使得，轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行下一步的求解.
17. 已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在上的最小值為，求的值；
（2）若，函數(shù)，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析含參函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)最小值，即可求得參數(shù)值；
（2）求得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其隱零點，從而判斷的單調(diào)性，再結(jié)合隱零點滿足的條件，即可求得函數(shù)的最小值.
【小問1詳解】
因為，，故可得，，
①若，，y=f(x)在單調(diào)遞減，的最小值為，不滿足；
②若，
令>0，解得，故y=f(x)在單調(diào)遞增；
令，解得，故y=f(x)在單調(diào)遞減；
故y=f(x)的最小值為，即，解得，滿足；
③若，，y=f(x)在單調(diào)遞增，的最小值為，解得，不滿足；
綜上所述，.
【小問2詳解】
若，，，
定義域為，，
令，，
故在單調(diào)遞增，又，，
故存在，使得，也即，且，
且當(dāng)，，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)，，>0，在單調(diào)遞增；
故的最小值為；
由上述求解可知，，則，令，
則，故在單調(diào)遞增；
，也即，又，故，即；
又.
故的最小值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題第二問的關(guān)鍵，一是進(jìn)行二次求導(dǎo)，從而確定的單調(diào)性；二是熟練掌握隱零點問題的處理方法；三是能夠根據(jù)，進(jìn)行同構(gòu)處理，進(jìn)一步確定滿足的具體條件；屬綜合困難題.
18. 已知橢圓：的離心率為，點在上，直線與交于不同于A的兩點，．
（1）求的方程；
（2）若，求面積的最大值；
（3）記直線，的斜率分別為，，若，證明：以為直徑的圓過定點，并求出定點坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見詳解，定點
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合離心率列式求，即可得橢圓方程；
（2）可知直線的斜率存在，設(shè)直線：，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，進(jìn)而求面積，結(jié)合單調(diào)性求最值；
（3）可知直線的斜率存在，設(shè)直線：，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，假設(shè)過定點，根據(jù)數(shù)量積運算求解即可.
【小問1詳解】
由題意可知：，解得，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
若，可知直線的斜率存在，

設(shè)直線：，，
聯(lián)立方程，消去y可得，
則，整理可得，
可得，
因為，則，
由，可得，
則，
整理可得，
則，
且，則，可得，
解得，且滿足，
可知直線：過定點，
則面積，
令，則，可得，
因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則，
所以當(dāng)時，面積取到最大值.
【小問3詳解】
若直線的斜率不存在，設(shè)，
可得，可得，
這與相矛盾，不合題意；
可知直線的斜率存在，設(shè)直線：，，

可得，
整理可得，
則，
且，則，可得，解得，
設(shè)以為直徑的圓過定點Px0,y0，
則，
可得，
則，
整理可得，
則，
可得，
注意到上式對任意的均成立，則，解得，
所以以為直徑的圓過定點.
【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；
（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍；
（3）設(shè)，在的圖象上有一點列，直線的斜率為，求證：．
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，理由見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用多次求導(dǎo)的方法來判斷出在上的單調(diào)性.
（2）利用多次求導(dǎo)的方法，結(jié)合恒成立，列不等式來求得的取值范圍.
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，得到，求得的不等關(guān)系式，然后根據(jù)分組求和法以及等比數(shù)列的前項和公式證得不等式成立.
小問1詳解】
在上單調(diào)遞減，理由如下：
當(dāng)時，，
，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，所以，
所以，所以在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
當(dāng)時，fx=sinx+ax3?x>0恒成立①，
當(dāng)時，②，
，設(shè)ux=csx+3ax2?1x>0，
時，
，設(shè)，
當(dāng)時，，
，
要使①恒成立，由于②，則需恒成立，
所以恒成立，所以，.
此時，
在0,+∞上單調(diào)遞增，u′x=?sinx+6ax>0，
ux=csx+3ax2?1x>0在0,+∞上單調(diào)遞增，f′x=csx+3ax2?1>0，
在0,+∞上單調(diào)遞增，
使得fx=sinx+ax3?x>0恒成立.
綜上所述，的取值范圍是.
【小問3詳解】
由（2）可知，當(dāng)，時，fx=sinx+16x3?x>0恒成立，
即時，恒成立，
下證：，
時，
，
由上述分析可知，，即，則，
所以
=2i+1sin12i+11?122i+2>2i+112i+1?16?23i+31?122i+2
=1?16?22i+21?122i+2=1?76×122i+2+16×124i+4>1?76×122i+2，
i=1n?1ki>n?1?76124+126+128+?+122n=n?1?76?1161?14n?11?14=n?1?718×14?14n
，即得證.
【點睛】思路點睛：
用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性：首先對函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)，通過分析導(dǎo)數(shù)符號來判斷函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性，這一步為后續(xù)的不等式恒成立條件的推導(dǎo)奠定了基礎(chǔ).
結(jié)合不等式求參數(shù)范圍：通過設(shè)定不等式恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，逐步推導(dǎo)出參數(shù) 的取值范圍.
利用等比數(shù)列和斜率關(guān)系進(jìn)行證明：在小問3中，通過對等比數(shù)列的求和以及利用斜率條件，成功證明了所需的不等式.

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2023屆湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023屆湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）
湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）
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