湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（Word版附答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考試時間：120分鐘試卷滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）
A．B．C．D．
2．下列說法正確的是（）
A．空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、垂直和異面
B．若空間中兩直線沒有公共點，則這兩直線異面
C．和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線
D．若兩直線分別是正方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面
3．已知均為單位向量，且，則與的夾角的余弦值為（）
A．B．C．D．
4．氈帳是蒙古族牧民居住的一種房子，內(nèi)部木架結(jié)構(gòu)，外部毛氈圍攏，建造和搬遷都很方便，適合牧業(yè)和游牧生活．如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與一個圓柱的組合體，下半部分圓柱的高為2.5米；上半部分圓錐的母線長為米，軸截面（過圓錐軸的截面）是面積為平方米的等腰鈍角三角形，則建造該氈帳（不含底面）需要毛氈（）平方米．
A．B．C．D．
5．設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為為坐標(biāo)原點，且，若把繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，把繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，所得兩向量的終點重合，則（）
A．B．C．D．
6．已知的內(nèi)角的對邊分別為，若有兩解，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
7．如圖，在四邊形中，，點在邊上，且，點為邊（含端點）上一動點，則的最小值為（）
A．36B．39C．45D．48
8．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則（）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．設(shè)是復(fù)數(shù)，則（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則為純虛數(shù)
10．對非零向量，定義運算“（*）”：，其中為與的夾角，則（）
A．若，則
B．若，則
C．若Rt中，，則
D．若中，，則是等腰三角形
11．已知正四棱錐的底面邊長為，高為3，則（）
A．若點為正四棱錐外接球的球心，則四棱錐的體積為4
B．直徑為1的球能夠整體放入正四棱錐內(nèi)
C．若點在底面內(nèi)（包含邊界）運動，為中點，則當(dāng)平面時，點的軌跡長度為
D．若以點為球心，為半徑的球的球面與正四棱錐的棱分別交于點，則四邊形的面積為1
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．如圖，已知是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則的邊上的高為______．
13．如圖，為測量武漢防汛紀(jì)念碑的高度及取景點與之間的距離（在同一水平面上，雕像垂直該水平面于點，且三點共線），華中師大一附中研究性學(xué)習(xí)小組同學(xué)在三點處測得頂點的仰角分別為，若米，則紀(jì)念碑的高度為______米，取景點與之間的距離為______米．
14．已知平面非零向量和單位向量，若與的夾角為與的夾角為，則的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知復(fù)數(shù)滿足和均為實數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．
16．（15分）已知的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，且．
（1）若，求；
（2）若，求．
17．（15分）如圖，在等腰梯形中，，，點為邊上靠近點的六等分點，為中點．
（1）用表示；
（2）設(shè)為中點，是線段（不含端點）上的動點，交于點，若，，求的取值范圍．
18．（17分）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，其中，且，點為棱的中點．
（1）求證：平面；
（2）若為上的動點，則線段上是否存在點，使得平面？若存在，請確定點的位置，若不存在，請說明理由；
（3）若，請在圖中作出四棱錐過點及棱中點的截面，并求出截面周長．
19．（17分）為提升城市景觀面貌，改善市民生活環(huán)境，某市計劃對一公園的一塊四邊形區(qū)域進行改造．如圖，（百米），（百米），，，，，，分別為邊，，的中點，所在區(qū)域為運動健身區(qū)域，其余改造為綠化區(qū)域，并規(guī)劃4條觀景棧道，，，以及兩條主干道，．（單位：百米）
（1）若，求主干道的長；
（2）當(dāng)變化時，
①證明運動健身區(qū)域的面積為定值，并求出該值；
②求4條觀景棧道總長度的取值范圍．