一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由存在量詞命題的否定全稱量詞命題，得到命題的否定.
【詳解】命題“，”的否定是“，”.
故選：A
2. 已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的所有取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合交集結(jié)果得到，從而分類討論的取值即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>而， ，
當(dāng)時，集合，滿足；
當(dāng)時，集合，
由，得或，解得或，
綜上，實(shí)數(shù)的取值集合為.
故選：C.
3. 若的展開式中共有個有理項(xiàng)，則的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)即可得解.
【詳解】的展開式通項(xiàng)為，，
當(dāng)時，為有理項(xiàng)，故.
故選：C.
4. 底面半徑是1的圓錐，側(cè)面積是，則圓錐的體積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合扇形的面積公式可求得圓錐的母線長，進(jìn)而求得圓錐的高，進(jìn)而根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，則，解得，
所以圓錐的高為，
則圓錐的體積為.
故選：D.
5. 柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法國數(shù)學(xué)家柯西與德國數(shù)學(xué)家施瓦茨分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)給出一個二維柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.根據(jù)柯西不等式可以得知函數(shù)的最大值為（ ）
A. B. C. 12D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】運(yùn)用柯西不等式直接求解即可.
【詳解】由，解得，
所以函數(shù)定義域?yàn)椋?br>由柯西不等式得，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的最大值為.
故選：A.
6. 設(shè)曲線在處的切線為，若的傾斜角小于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線傾斜角范圍建立不等式，再求解不等式即得.
【詳解】令，求導(dǎo)得，則切線的斜率為，
由的傾斜角小于，得切線的斜率或，
即或，
解得，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B
7. 已知角，且，，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩角差的正弦、余弦、正切公式化簡求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
則，
又，則，
則，
所以.
故選：C.
8. 如圖，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，點(diǎn)在上底面（包括邊界）上運(yùn)動，則三棱錐外接球表面積的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由條件確定球心位置，引入變量表示球的半徑，由此確定球的表面積及其最大值.
【詳解】因?yàn)闉榈妊苯侨切?，?br>所以的外接圓的圓心為的中點(diǎn)，且，
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，則平面，
設(shè)三棱錐外接球的球心為，由球的性質(zhì)可得在上，
設(shè)，，外接球的半徑為，
因?yàn)?，所以?br>即，又，則，
因?yàn)?，所?br>所以三棱錐外接球表面積的最大值為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見幾何體的外接球半徑求法：
（1）棱長為的正方體的外接球半徑為；
（2）長方體的長，寬，高分別為，則其外接球的半徑為；
（3）直棱柱的高為，底面多邊形的外接圓半徑為，則其外接球的半徑為.
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9. 已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的周期是
B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C. 的單調(diào)遞增區(qū)間為
D. 要得到的圖象，只需把的圖象向右平移的單位
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及平移變換判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】由
，
對于A，的周期為，故A正確；
對于B，當(dāng)時，，
所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯誤；
對于C，令，，
解得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；
對于D，的圖象向右平移的單位后，解析式為，故D錯誤.
故選：AC.
10. 已知直線：和圓：，下列結(jié)論成立的是（ ）
A. 直線：過定點(diǎn)
B. 當(dāng)直線與圓相交時，直線：被圓所截的弦長最大值為4
C. 當(dāng)直線與圓相切時，則實(shí)數(shù)
D. 當(dāng)實(shí)數(shù)的值為3時，直線與圓相交，且所得弦長為
【答案】AD
【解析】
【分析】求出直線過的定點(diǎn)判斷A；由直線是否過圓心判斷B；利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算判斷C；利用圓的弦長公式計(jì)算判斷D.
【詳解】圓：的圓心，半徑
對于A，對于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時，恒有，即直線過定點(diǎn)，A正確；
對于B，顯然圓心的坐標(biāo)不滿足直線的方程，即直線不過圓心，
因此，當(dāng)直線與圓相交時，直線被圓所截的弦長小于4，B錯誤；
對于C，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離，解得，C錯誤；
對于D，當(dāng)時，由選項(xiàng)C知，，直線與圓相交，
所得弦長為，D正確.
故選：AD
11. 設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足，且，，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.
B. 數(shù)列為等差數(shù)列
C. 當(dāng)時，有最大值
D. 設(shè)，則當(dāng)或時，數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)和的關(guān)系可得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得即可判斷A，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得，進(jìn)而得到，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷B；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C；分析可得時，，，，時，，再結(jié)合，即可判斷D.
【詳解】由，，且，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，
則，
即，
即，
因?yàn)?，所以?br>則數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，
所以，故A正確；
而，則，
當(dāng)時，，
所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故B正確；
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時，取得最大值，故C錯誤；
令，得，
令，得，
則當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
又，，
所以當(dāng)或時，數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值，故D正確.
故選：ABD.
12. 點(diǎn)是的外心，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若且，則
C. 若，則為的垂心
D. 若，，則的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由平面向量數(shù)量積的定義，即可判斷A，由平面向量基本定理，代入計(jì)算，即可判斷BC，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，故A正確；
由可知，三點(diǎn)共線，
又可知，點(diǎn)在的角平分線上，
所以為的角平分線，與不一定相等，故B錯誤；
若，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，又點(diǎn)是的外心，
所以，即為直角頂點(diǎn)，所以為垂心，故C正確；
因?yàn)?，所以，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，，其中，
因?yàn)?，所以?br>得，
，，
則，則，
所以，故D正確；
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了平面向量運(yùn)算，以及平面向量基本定理的應(yīng)用，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于應(yīng)用好平面向量基本定理，以及轉(zhuǎn)化為平面向量坐標(biāo)運(yùn)算.
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知函數(shù)（且）為偶函數(shù)，則________.
【答案】9
【解析】
【分析】求出函數(shù)的定義域，利用偶函數(shù)的定義，列式求解即得.
【詳解】函數(shù)中，由，得，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由是偶函數(shù)得，對， 恒成立，
即，則，整理得，
因此對恒成立，
所以.
故答案為：9
14. 1889年7月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國際在巴黎舉行代表大會，會議上宣布將五月一日定為國際勞動節(jié).五一勞動節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是________.
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.
【詳解】記“甲在五一假期期間值班2天”為事件，“甲連續(xù)值班”為事件，
則種，種，
所以，
所以已知甲在五一假期期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率為.
故答案為：.
15. 已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，且，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，則橢圓的離心率為________.
【答案】##
【解析】
【分析】首先根據(jù)幾何性質(zhì)表示焦半徑，再結(jié)合余弦定理求焦半徑的長度，即可求解.
【詳解】如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，，
所以，即為的中點(diǎn)，
連接，由，得，
設(shè)，則，，，，
則，
在中，由余弦定理得，，
即，整理得，
則，
則，即，
所以.
故答案為：.
16. 若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)整理可得，設(shè)，，結(jié)合討論函數(shù)的取值正負(fù)，進(jìn)而判斷函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合極值的定義求解即可.
【詳解】由，，
則，且，
設(shè)，，
當(dāng)，即時，
，則時，，時，，
此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，不符合題意；
當(dāng)，即或時，
若，因?yàn)?，且，函?shù)的對稱軸為，
則方程的兩根為，且，，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，符合題意，即.
若，因?yàn)?，且，函?shù)的對稱軸為，
所以，則時，，時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，不符合題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于對函數(shù)求導(dǎo)后，結(jié)合二次函數(shù)的判別式討論方程的根的情況，以此確定的取值正負(fù)，從而確定的正負(fù)，進(jìn)而求解.
四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知的三個內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，若.
（1）求角；
（2）若點(diǎn)在邊上，，，請?jiān)谙铝腥齻€條件中任選一個，求邊長.
①為的一條中線；②為的一條角平分線；③為的一條高線.
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角公式得到，即可得到答案.
（2）若選①，根據(jù)，平方得到，再利用余弦定理求解即可；若選②，根據(jù)得到，再利用余弦定理求解即可；若選③，根據(jù)得到，再利用余弦定理求解即可.
【小問1詳解】
，
因?yàn)橹?，?br>所以，
所以，
所以.
因?yàn)橹?，，所以?br>因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
若選①，如圖所示：
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，即，
化簡得，解得或（舍去）.
所以.
若選②，如圖所示：
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，解得.
所以.
若選③，如圖所示：
設(shè)，，解得.
所以，即，解得或（舍）.
所以.
18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系，分和兩種情況討論求解即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【小問1詳解】
由題意，當(dāng)時，，且，
若，則，即，
當(dāng)時，，
兩式相減得，，
整理得，即，
所以.
綜上所述，.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
，
此時時適合上式，
所以
19. 已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，且，.

（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，由題意易得平面，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量求解即可；
（2）求出平面和平面的一個法向量，進(jìn)而結(jié)合空間向量求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的正方形，
所以，又，，且平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
又平面平面，且，
取的中點(diǎn)為，連接，則，平面
所以平面，
以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
令，則，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
【小問2詳解】
由（1）易知，平面的一個法向量為，
且，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
令，則，
設(shè)二面角為，
則,
所以，
即二面角的正弦值為.
20. 一個袋子里有大小相同的黑球和白球共10個，其中白球有個，每次隨機(jī)摸出1個球，摸出的球再放回.設(shè)事件為“從袋子中摸出4個球，其中恰有兩個球是白球”.
（1）當(dāng)取時，事件發(fā)生的概率最大，求的值；
（2）以（1）中確定的作為的值，甲有放回地從袋子中摸球，如果摸到黑球則繼續(xù)摸球，摸到白球則停止摸球，摸球的次數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望.
參考：（1）若，則；（2）.
【答案】（1）5 （2）2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式表示出，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解即可；
（2）根據(jù)題意可知，進(jìn)而結(jié)合錯位相減法求出，再根據(jù)求解即可.
【小問1詳解】
每次隨機(jī)摸出1個球，摸到白球的概率為，摸到黑球的概率為，
所以，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
則，
所以當(dāng)時，事件發(fā)生的概率最大.
【小問2詳解】
由（1）知，每次隨機(jī)摸出1個球，摸到白球的概率為，摸到黑球的概率為，
則，，
，，
則，
，
則，
兩式相減得，，
所以，
所以.
21. 已知點(diǎn)在拋物線：上，、為拋物線上兩個動點(diǎn)，不垂直于軸，為焦點(diǎn)，且.
（1）求的值，并證明的垂直平分線過定點(diǎn)；
（2）設(shè)（1）中的定點(diǎn)為，求面積的最大值.
【答案】21. ，證明見解析；
22.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，把點(diǎn)代入拋物線方程，即可求出，聯(lián)立直線與拋物線方程，消掉，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求出的中點(diǎn)，寫出的垂直平分線方程，根據(jù)方程判斷直線過定點(diǎn)；
（2）根據(jù)弦長公式求出，點(diǎn)到直線的距離，利用面積公式求出面積，然后換元，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，即可求得結(jié)果．
【小問1詳解】
由點(diǎn)在拋物線上，得，解得，
所以拋物線的方程為，
設(shè)直線的方程為，，，，
由，得，
，
，，
因?yàn)?，所以，?br>所以，①
設(shè)的中點(diǎn)為，所以，，
所以的垂直平分線方程為，②
聯(lián)立①②，可得，
所以的垂直平分線過定點(diǎn)．
【小問2詳解】
，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以
，
，
令，則，，
，解得：（舍去），，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取最大值為，
所以面積最大值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
解答直線與拋物線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．強(qiáng)化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
22. 設(shè)函數(shù)，.
（1）求曲線平行于直線的切線；
（2）討論的單調(diào)性.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，對函數(shù)求導(dǎo)，可得，進(jìn)而結(jié)合正、余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋瑒t，
設(shè)平行于直線的切線與曲線相切與點(diǎn)，
則，即，即切點(diǎn)為
所以所求切線方程為，即.
【小問2詳解】
設(shè)，則，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，
由，
則，
而，，
令，則或，
即或或，；
令，則，
綜上所述，函數(shù)，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，提取結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及正、余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

相關(guān)試卷

2024屆山東省青島市青島二中高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2024屆山東省青島市青島二中高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案，共21頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

山東省青島市青島第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（2份打包，原卷版+含解析）：

這是一份山東省青島市青島第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（2份打包，原卷版+含解析），共23頁。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

【期中真題】山東省青島市青島第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題.zip：

這是一份【期中真題】山東省青島市青島第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題.zip，文件包含期中真題山東省青島市青島第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題原卷版docx、期中真題山東省青島市青島第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共28頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2021-2022學(xué)年山東省青島市青島第二中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年山東省青島市青島第二中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）
2022-2023學(xué)年山東省青島市青島第二中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年山東省青島市青島第二中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）
2023屆山東省青島市青島第二中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析

2023屆山東省青島市青島第二中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析
山東省青島市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 （原卷版＋解析版）

山東省青島市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 （原卷版＋解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部