一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求解集合，再根據(jù)交集的定義，即可求解.
【詳解】由題意可知，，，
所以.
故選：D
2. 不等式的解集是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法，可得答案.
【詳解】由不等式，則，解得.
故選：B.
3. 已知，則下列正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間值“1”分析判斷.
【詳解】因為在上單調(diào)遞減，且，
可得，即，
又因為在上單調(diào)遞增，且，
可得，
所以.
故選：A.
4. 已知函數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】由，即“”“”，
由，可知當時，可得，解得；
當時，可得，可得，
即“”“”；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式 的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)為偶函數(shù)，可得在上的單調(diào)性，將所求整理為或，根據(jù)的性質(zhì)，即可求得答案.
【詳解】因為在R上的偶函數(shù)，且上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，且，
則等價于或，
根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，解得或，
故選：A
6. 若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可由分段函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】在上是增函數(shù),則需滿足，
解得，
故選：D
7. 若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的代換求不等式左側(cè)的最小值，根據(jù)不等式有解得，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】因為正實數(shù)x，y滿足，
所以，
當且僅當，時，取得最小值4，
由有解，則，解得或．
故實數(shù)m的取值范圍是或.
故選：D
8. 已知函數(shù)，且，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，則，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性可求.
【詳解】解：令，則，
因為，，
∴為奇函數(shù)，
又因為，由復合函數(shù)單調(diào)性知為的增函數(shù)，
∵，則，
∴，
，
∴，解得或，故
故選：D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用同一函數(shù)的定義，逐項判斷即可.
【詳解】對于A，函數(shù)的定義域均為R，且，A是；
對于B，函數(shù)的定義域為，而的定義域為R，B不是；
對于C，函數(shù)的定義域均為，而，C是；
對于D，函數(shù)的定義域均為R，而當時，，當時，，
因此，D是.
故選：ACD
10. 下列說法正確的是( )
A. 命題“，”的否定是“，使得”
B. 若集合中只有一個元素，則
C. 關于的不等式的解集，則不等式的解集為
D. 若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)命題的否定即可求解A，根據(jù)即可求解B，根據(jù)一元二次方程與不等式的關系即可求解C，根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求解即可判斷D.
【詳解】對于A，命題“，”的否定是“，使得”，故A錯誤；
對于B，當時，集合也只有一個元素，故B錯誤；
對于C，不等式的解集，則是的兩個根，
所以，故，則可化為，即，故，所以不等式的解為，C正確；
對于D，的定義域是，則函數(shù)滿足，解得，所以函數(shù)的定義域是，D正確，
故選：CD
11. 下列命題中正確的是（ ）
A. 的最小值為2
B. 函數(shù)的值域為
C. 已知為定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則時，
D. 若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式即可判斷A，根據(jù)指數(shù)復合型函數(shù)的單調(diào)性即可求解B，根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求解C，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.
【詳解】對于A，由于，所以，當且僅當，即時等號成立，但無實根，故等號取不到，故A錯誤，
對于B,由于，所以，又，
故函數(shù)的值域為，B錯誤，
對于C，當時，則，，由于，故時，，C正確，
對于D，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則，解得，故D正確，
故選：CD
12. 若函數(shù)同時滿足：對于定義域上的任意，恒有；對于定義域上的任意，當時，恒，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”，下列四個函數(shù)中能被稱為“理想函數(shù)”的是( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性的定義逐項分析判斷.
【詳解】對于①②可知：“理想函數(shù)”在定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減.
對于選項A：定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故A正確；
對于選項B：定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故B正確；
對于選項C：因為定義域內(nèi)均為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，
所以定義域內(nèi)奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故C錯誤；
對于選項D：因為,故為上的奇函數(shù).
而定義域內(nèi)均為單調(diào)遞減，
所以定義域內(nèi)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故D正確；
故選：ABD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. = ________.
【答案】16
【解析】
【分析】利用指數(shù)運算法則和分數(shù)指數(shù)冪運算法則計算出答案.
【詳解】
故答案為：16
14. 若為奇函數(shù)，則______.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)奇函數(shù)定義域的特征求得，然后根據(jù)奇函數(shù)定義驗證即可.
【詳解】由得且，
因為為奇函數(shù)，所以的定義域關于原點對稱，所以，即.
當時，，
所以為奇函數(shù).
故答案為：
15. 若不等式對一切恒成立，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】分和兩種情況討論求解.
【詳解】當，即時，恒成立，
當時，因為不等式對一切恒成立，
所以，解得，
綜上，，
即的取值范圍是
故答案為：
16. 已知.若，求的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式乘“1”法即可求解.
詳解】由得，
由于，所以，
當且僅當，即時，等號成立，
故最小值為，
故答案為：
四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 設集合，，．
（1），求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求m的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）首先應用補集運算求，再由交集運算求即可；
（2）由題設B?A，討論、列不等式求參數(shù)范圍即可.
【小問1詳解】
由題意，當時，故或，
而，故.
【小問2詳解】
由“”是“”的充分不必要條件，可得B?A，
當時，，符合題意；
當時，需滿足（、等號不能同時成立），解得，
綜上，m的取值范圍為或．
18. 已知，命題：，，命題：，使得方程成立.
（1）若是真命題，求的取值范圍；
（2）若為真命題，為假命題，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)恒成立的思想可知，由二次函數(shù)最值可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)基本不等式可求得，由能成立的思想可知時；由題意可知一真一假，分別討論真假和假真兩種情況即可.
【小問1詳解】
若是真命題，則在上恒成立，
∵，，
∴當時，，
∴；
【小問2詳解】
對于，當時，，當且僅當時取等號，
若，使得方程成立，只需即可，
若為真命題，為假命題，則和一真一假，
當真假時，，
當假真時，
綜上，的取值范圍為.
19. 已知指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設函數(shù)，當時．求函數(shù)的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義和單調(diào)性可解；
（2）令，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解可得.
【小問1詳解】
是指數(shù)函數(shù)，
，
解得或，
又因為在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，
；
【小問2詳解】
，
，令，
，
，
，
的值域為．
20. 已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求的值；
（2）判斷的單調(diào)性并用定義證明；
（3）若存在，使成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）函數(shù)在上是減函數(shù)，證明見解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）首先由是奇函數(shù)可知，得出，后面再根據(jù)當時，有恒等式成立即可求出；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義即可證得函數(shù)單調(diào)遞減；
（3）結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)換為，由題意可知問題等價于，由此即可得解.
【小問1詳解】
因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，即，所以，
又因為，所以，
將代入，整理得，
當時，有，即恒成立，
又因為當時，有，所以，所以.
經(jīng)檢驗符合題意，所以.
【小問2詳解】
由（1）知：函數(shù)，
函數(shù)在上是減函數(shù).
設任意，且，
則
由，可得，又，
則，則，
則函數(shù)在上減函數(shù).
【小問3詳解】
因為存在，使成立，
又因為函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，
所以不等式可轉(zhuǎn)化為，
又因為函數(shù)在上是減函數(shù)，
所以，所以，
令，
由題意可知：問題等價轉(zhuǎn)化為，
又因為，所以.
21. 漳州市某研學基地，因地制宜劃出一片區(qū)域，打造成“生態(tài)水果特色區(qū)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量單位：千克與施用肥料單位：千克滿足如下關系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元.已知這種水果的市場售價大約為10元/千克，且銷路暢通供不應求.記該水果樹的單株利潤為單位：元
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）；
（2）3千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤是390元．
【解析】
【分析】（1）由已知，分段代入后整理得答案；
（2）分段求出函數(shù)的最大值，取兩個最大值中的較大者得結(jié)論．
【小問1詳解】
由已知，
又，
所以，
整理得.
【小問2詳解】
當時，，
當時，，
當時，
，
當且僅當，即時等號成立，，
因為
綜上，所以的最大值為390
故當施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤是390元．
22. 設，函數(shù)．
（1）當時，求在的單調(diào)區(qū)間；
（2）記為在上的最大值，求的最小值．
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
（2）.
【解析】
【分析】（1）當時，得，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得出在的單調(diào)區(qū)間；
（2）對進行討論，分類和兩種情況，再分和，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出在上的最大值，再由分段函數(shù)的解析式和單調(diào)性，即可求出的最小值．
【小問1詳解】
解：當時，，
當時，，則對應拋物線開口向下，對稱軸為，
可知，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
即在的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
解：，若時，，對稱軸為，
所以在單調(diào)遞增，可得；
若，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
若，即時，在遞增，可得；
由，可得在遞增，在遞減，
即有在時取得，
當時，由，解得：，
若，即，
可得的最大值為；
若，即，可得的最大值為；
即有，
當時，；
當時，；
當，可得．
綜上可得的最小值為．

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