（考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分）
命題學(xué)校：合肥七中 命題教師：李歆輝 審題教師：韓瑩
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合交集運(yùn)算求解.
【詳解】由題可知，，所以.
故選：C.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】判斷充分必要條件需要既要判斷充分性也要判斷必要性.
【詳解】當(dāng)時(shí)，或，則不滿足充分性；
當(dāng)時(shí)，成立，則滿足必要性，
∴“”是“”的必要不充分條件
故選：B
3. 下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合同一函數(shù)的定義，結(jié)合定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)和的定義域都是，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故A符合題意；
對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故B不符合題意；
對(duì)于C中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故C不符合題意；
對(duì)于D中，函數(shù)與的定義域不同，故D不符合題意.
故選：A.
4. 已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及中間量“1”即可比較大小.
【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即，
又因?yàn)?，則.
故選：D.
5. 已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合一次、二次函數(shù)單調(diào)性求解即得.
【詳解】由是上的增函數(shù)，得，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B
6. 已知且，且，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函數(shù)為偶函數(shù)，有，代入函數(shù)解析式，化簡(jiǎn)得恒成立，則有．
【詳解】由題意可知，，即，
所以，因?yàn)椋院愠闪?，所以?br>故選：B.
7. 已知函數(shù)，設(shè)，若，則取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性情況，及分段函數(shù)在每段內(nèi)的最值情況可得與的取值范圍及與間關(guān)系，進(jìn)而可得，利用換元法可得取值范圍.
【詳解】由，易知函數(shù)在和上分別單調(diào)遞增，
所以，
又當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>則，，即，，
又，所以，
所以，
設(shè)，則，，
所以，
故選：C.
8. 設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則的最大值為（ ）
A. 1B. C. D. -
【答案】A
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，由一次函數(shù)單調(diào)性可知無最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，滿足題意；當(dāng)和時(shí)，根據(jù)函數(shù)存在最小值可確定分段處的函數(shù)值的大小關(guān)系，由此解得的范圍；綜合所有情況即可得到的最大值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無最小值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，
存在最小值，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若存在最小值，則，解得：，；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若存在最小值，則，不等式無解；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為，則的最大值為.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 圖中陰影部分用集合表示正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集以及圖象等知識(shí)來確定正確答案.
【詳解】根據(jù)圖象可知，陰影部分表示的集合是，
所以AB選項(xiàng)正確、C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
而，不符合題意，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB
10. 若，，且，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式分析的最值即可.
【詳解】對(duì)AB，，，且，
，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，故A正確B錯(cuò)誤；
對(duì)CD，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故.
故C錯(cuò)誤D正確.
故選：AD
11. 已知函數(shù)滿足：①對(duì)任意，；②若，則.則（ ）
A. 的值為2B.
C. 若，則D. 若，則
【答案】ABC
【解析】
分析】對(duì)于A，令，結(jié)合“若，則”即可判斷；對(duì)于B，由基本不等式相關(guān)推理結(jié)合即可判斷；對(duì)于C，令得，，由此即可判斷；對(duì)于D，令，即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，令，得，解得或，
若，令，得，即，
但這與②若，則矛盾，
所以只能，故A正確；
對(duì)于B，令，結(jié)合得，，
解得或，
又，所以，
所以只能，故B正確；
對(duì)于C，若，令得，，
所以，所以，
所以，故C正確；
對(duì)于D，取，
則
且單調(diào)遞增，
滿足，但，故D錯(cuò)誤
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是構(gòu)造，由此即可證偽.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 命題“，”的否定是__________.
【答案】，
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題求解即可.
【詳解】命題“，”的否定是“，”.
故答案為：，
13. 若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解集是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性得到當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，從而得到不等式的解集.
【詳解】因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，則，在上是增函數(shù)，則在0,+∞上也單調(diào)遞增，
又，故，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，滿足，
當(dāng)時(shí)，，滿足，
綜上，的解集為.
故答案為：
14. 已知，是正實(shí)數(shù)，且關(guān)于，的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】先由得，由基本不等式進(jìn)而可得.
【詳解】因，是正實(shí)數(shù)及，可知，
可得，得，得，
因，是正實(shí)數(shù)，故，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故，故，
故，故，
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)并集和補(bǔ)集的概念計(jì)算；
（2）根據(jù)，可以知道兩個(gè)集合數(shù)軸上表示，要有公共部分，比較端點(diǎn)即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?br>所以，所以或
【小問2詳解】
因?yàn)?，且，即集合?shù)軸表示要有公共部分，
所以，即的取值范圍是.
16. 如圖所示，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個(gè)內(nèi)接四邊形綠地（圖中四邊形）．使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知米，米，且．

（1）設(shè)米（），求出四邊形的面積關(guān)于的表達(dá)式；
（2）為使綠地面積不小于空地面積的一半，求長(zhǎng)的最大值．
【答案】（1）
（2）100
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形與三角形的面積公式計(jì)算，即可;
（2）解一元二次不等式即可.
【小問1詳解】
設(shè)米，則，
，，
即；
【小問2詳解】
若綠地面積不小于空地面積的一半，則，即
解得，故AE的長(zhǎng)的最大值為100米.
17. 冪函數(shù)為偶函數(shù)，.
（1）求的解析式；
（2）若對(duì)于恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)冪函數(shù)定義得到或，再根據(jù)為偶函數(shù)判斷即可；
（2）由題意得對(duì)于恒成立，再分類討論，結(jié)合基本不等式求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)閮绾瘮?shù)為偶函數(shù)，
∴，解得或，
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>，所以為偶函數(shù)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>，所以為奇函數(shù)，不合題意，
綜上，
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，
當(dāng)時(shí)，得恒成立，則；
當(dāng)時(shí)，得，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，
當(dāng)時(shí)，得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，
綜上，.
18. 已知函數(shù)，其中是奇函數(shù).
（1）求a的值；
（2）判斷的單調(diào)性并用定義證明；
（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【答案】（1）
（2）在和上為減函數(shù)，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)，滿足，列式求解；
（2）設(shè)和上的任意，，且，分析的正負(fù)證明即可；
（3）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式得，再討論得到取值，求解的取值范圍.
小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，
，則，則，
故.
小問2詳解】
在和上為減函數(shù)，證明見解析
設(shè)上的任意，，且，
由；
，
，，則.
故，在上為減函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，，
則，在上也為減函數(shù).
綜上有在和上為減函數(shù).
【小問3詳解】
，由（2）可得在和上是嚴(yán)格減函數(shù)，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
由可得：，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以，即，又，所以；
當(dāng)時(shí)，，則，而，，則滿足題意；
函數(shù)的定義域，則時(shí)不符，舍去.
綜上.
19. 設(shè)A是由若干個(gè)正整數(shù)組成的集合，且存在3個(gè)不同的元素a，b，，使得，則稱A為“等差集”．
（1）若集合，，且B是“等差集”，用列舉法表示所有滿足條件的B；
（2）若集合是“等差集”，求m的值；
（3）已知正整數(shù)，證明：不是“等差集”．
【答案】（1）答案見解析
（2） （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差集的定義結(jié)合子集的定義求解即可；
（2）根據(jù)等差集定義應(yīng)用，即逐個(gè)計(jì)算判斷即可；
（3）應(yīng)用反證法證明集合不是等差集.
【小問1詳解】
因?yàn)榧?，，存?個(gè)不同的元素a，b，，使得，
則或或.
【小問2詳解】
因?yàn)榧鲜恰暗炔罴保?br>所以或或,
計(jì)算可得或或或，
又因?yàn)檎麛?shù),所以.
【小問3詳解】
假設(shè)是“等差集”，
則存在,成立，
化簡(jiǎn)可得,
因?yàn)?所以,
所以x=1與集合的互異性矛盾，
所以不是“等差集”．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解題方法是定義的理解，應(yīng)用反證法設(shè)集合是等差集，再化簡(jiǎn)計(jì)算得出矛盾即可證明.

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