安徽省亳州市蒙城縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

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考生注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用列舉法表示出集合A，再利用元素與集合、集合與集合的關(guān)系逐項判斷即得.
【詳解】依題意，，所以，，B錯誤，D正確；
顯然，，AC錯誤.
故選：D
2. （ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運算、指數(shù)式與對數(shù)式的互化及換底公式計算即得.
【詳解】因，所以.
故選：B
3. 中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，下列選項中是同一個函數(shù)的是（ ）
A. 與
B. 與
C. 與
D. 與
【答案】C
【解析】
【分析】利用同一函數(shù)的定義，逐項分析判斷即得.
【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)定義域不同，A不是；
對于B，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域
為或，兩個函數(shù)定義域不同，B不是；
對于C，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，且，
兩個函數(shù)定義域相同，對應(yīng)法則也相同，C是；
對于D，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)定義域不同，D不是.
故選：C
4. 2023年某城市美食節(jié)期間，依據(jù)小王與小張2023年12月1日至12月7日每日外賣的單數(shù)（單位：單）數(shù)據(jù)，整理并繪制的折線圖（如圖），小王與小張兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)判斷小王與小張兩人的平均值和波動程度的大小可得．
【詳解】由統(tǒng)計圖知，小王同學(xué)的總體成績要好于小張同學(xué)的成績，
且小張同學(xué)的成績波動較大，小王同學(xué)成績較穩(wěn)定，
所以.
故選：C．
5. 已知“，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)，借助二次函數(shù)求出最小值即得.
【詳解】“，”為真命題，則“，”為真命題，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
故選：A
6. 我國古代數(shù)學(xué)名若（九章算術(shù)）中有如下問題“今有北鄉(xiāng)八千七百五十八，西鄉(xiāng)七千二百三十六，南鄉(xiāng)八千三百五十六．凡三鄉(xiāng)，發(fā)役北鄉(xiāng)一百三十六人，欲以算數(shù)多少出之，何各幾何？“意思是：北鄉(xiāng)有8758人，西鄉(xiāng)有7236人，南鄉(xiāng)有8356人．現(xiàn)要按人數(shù)多少從北鄉(xiāng)征集136人，問從各鄉(xiāng)征集多少人？在上述問題中．需從南鄉(xiāng)征集的人數(shù)為（ ）
A. 128人B. 130人C. 132人D. 134人
【答案】B
【解析】
【分析】利用分層抽樣公式，即可求解.
【詳解】設(shè)從南鄉(xiāng)征集人，則，解得：人.
故選：B
7. 函數(shù)在上的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定函數(shù)的奇偶性，結(jié)合即可判斷得解.
【詳解】依題意，，因此函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，排除AB；
又，選項C不滿足，D符合題意.
故選：D
8. 定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性分兩種情況，解不等式，求出答案.
【詳解】因為定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
因，所以或，
所以或，解得或，
則不等式的解集是．
故選：A．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式性質(zhì)判斷A；舉例說明判斷BCD.
【詳解】由及在R上單調(diào)遞增，可得，A正確；
取，滿足，而，B錯誤；
由，知是否是非負(fù)數(shù)不確定，當(dāng)時，不等式無意義，C錯誤；
取，滿足，而，D錯誤.
故選：BCD
10. 已知集合，，則（ ）
A. 集合
B.
C. 集合可能是
D. 可能是B的子集
【答案】ABD
【解析】
【分析】解不等式化簡集合A，由已知結(jié)合集合運算逐項判斷即得.
【詳解】集合，，則，，AB正確；
顯然，即，而是的真子集，C錯誤；
由于，，因此可能是B的子集，D正確.
故選：ABD
11. 中國四大名樓是一種泛稱，特指山西永濟鸛雀樓、江西南昌滕王閣、湖北武漢黃鶴樓、湖南岳陽岳陽樓．記事件“只去黃鶴樓”，事件“至少去兩個名樓”，事件“只去一個名樓”，事件“一個名樓也不去”，事件“至多去一個名樓”，則下列命題正確的是（ ）
A. E與H是互斥事件B. F與I是互斥事件，且是對立事件
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件定義和事件間的運算即可得出答案.
【詳解】對于A，事件E，H不可能同時發(fā)生，是互斥事件，故A正確；
對于B，事件F與I不可能同時發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且為對立事件，故B正確；
事件“至多去一個名樓”剛好包含事件“只去一個名樓”與事件“一個名樓也不去”，所以，，故C正確，D錯誤
故選：ABC．
12. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則且
B. 若函數(shù)有2個零點，則且
C. 若函數(shù)有1個零點，則且
D. 若函數(shù)在的最大值為1，則且
【答案】AB
【解析】
【分析】分類探討分段函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性、零點及最大值逐項分析判斷即得.
【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，
當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為；
當(dāng)時，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
對于A，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，解得且，A正確；
對于B，當(dāng)時，，函數(shù)在上最多一個零點，
由函數(shù)有2個零點，得函數(shù)在上有一個零點，在上有一個零點，
因此且，B正確；
對于C，當(dāng)時，在上無零點，當(dāng)時，在上有一個零點，
則當(dāng)且時，函數(shù)也只有1個零點，C錯誤；
對于D，由于函數(shù)在的最大值為1，則在上不能單調(diào)遞減，即，且，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，不符合題意，
當(dāng)時，若，即，則在上單調(diào)遞減，，
此時在的最大值為1，因此，
若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
必有，解得，則，
此時在的最大值為1，因此，
綜上所述，函數(shù)在的最大值為1，則且，D錯誤.
故選：AB
【點睛】方法點睛：對于分段函數(shù)的單調(diào)性，有兩種基本的判斷方法：一保證各段上同增(減)時，要注意上、下段間端點值間的大小關(guān)系；二是畫出這個分段函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象、性質(zhì)進(jìn)行直觀的判斷．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么的解析式為_________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，代入點的坐標(biāo)，求出解析式.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，將點代入得，解得.
所以．
故答案為：
14. 若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則常數(shù)a的取值范圍為_________．
【答案】
【解析】
【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性再結(jié)合零點存在定理求解.
【詳解】因為在上均為增函數(shù)，
所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，
故若在區(qū)間上存在零點，則
解得．
故常數(shù)a的取值范圍為．
故答案為：
15. 已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為______.
【答案】36
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，由此求出的關(guān)系式，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【詳解】函數(shù)中，，，則函數(shù)的定義域為，
而，則函數(shù)奇函數(shù)，
顯然函數(shù)在上都單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
由，得，則，即，
于是，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為36.
故答案為：36
16. “秋風(fēng)起．月漸圓，桂樹落葉，兔兒下凡間”．中秋節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，為了讓更多的小朋友參與到中秋節(jié)的歡樂氛圍中來，秦皇島市青少年宮特別推出了“團圓中秋喜迎國慶”——中秋猜燈謎活動，歡迎小朋友們前來，感受傳統(tǒng)文化的熏陶，品味傳統(tǒng)習(xí)俗的趣味．現(xiàn)有甲，乙兩位小朋友組成“快樂寶貝隊”參加猜燈謎活動，每輪活動由甲，乙各猜一個燈謎，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪精對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則“快樂寶貝隊”在兩輪活動中猜對2個燈謎的概率為_________．
【答案】
【解析】
【分析】分甲兩輪猜對個，個，個和乙兩輪猜對個，個，個，結(jié)合獨立事件乘法和互斥加法求解.
【詳解】設(shè)分別表示甲兩輪猜對個，個，個燈謎的事件，分別表示乙兩輪猜對個，個，個燈謎的事件．根據(jù)獨立事件的性質(zhì)，可得
，
，
設(shè)“兩輪活動‘快樂寶貝隊’猜對2個燈謎”，則，且互斥，與，與，與分別相互獨立，所以
，因此，“快樂寶貝隊”在兩輪活動中猜對2個燈謎的概率是．
故答案為：
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 計算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用指數(shù)運算法則、對數(shù)換底公式計算即得.
（2）利用對數(shù)運算法則、對數(shù)換底公式計算即得.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
.
18. 現(xiàn)用分層抽樣的方法從某中學(xué)的學(xué)生中抽取100名學(xué)生參加知識競賽，對其成績進(jìn)行統(tǒng)計分析．得到如下圖所示的頻率分布直方圖．
（1）估計該校學(xué)生知識競賽成績的第60百分位數(shù)（精確到0.1）；估計該校學(xué)生知識競賽成績的眾數(shù)、平均數(shù)；
（2）從樣本中成績是90分以上（包括90分）的學(xué)生中選一人，求選到前3名學(xué)生的概率（前3名分?jǐn)?shù)各不同）
【答案】（1）估計第60百分位數(shù)為76.7，眾數(shù)估計值為75，平均數(shù)估計值為71
（2）
【解析】
【分析】（1）利用百分位，平均數(shù)及眾數(shù)的概念直接求解；
（2）利用古典概型求解.
【小問1詳解】
得分在70以下的學(xué)生所在比例為，
得分在80以下的學(xué)生所占比例為，
所以第60百分位數(shù)位于內(nèi)，
由，估計第百分位數(shù)為，
由圖可，得眾數(shù)位于之間，則估計值為，
平均數(shù)估計值為．
【小問2詳解】
樣本中成績是以上（包括）的學(xué)生共，
則選到前3名學(xué)生的概率．
19. 已知函數(shù)的定義域為，，，總有成立.若時，.
（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，求解關(guān)于x的不等式的解集.
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用單調(diào)性的定義結(jié)合已知即可證明；
（2）利用賦值法求出，根據(jù)已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，將不等式化得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【小問1詳解】
在上單調(diào)遞減，證明如下：
因為，，總有成立，當(dāng)時，，
，且，則，
則，即，
所以在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
因為因為，，總有成立，
所以，則，
因為，所以，
所以不等式可化為，
所以，解得.
所以不等式的解集為.
20. 已知函數(shù).
（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求a，b的值；
（2）已知當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合三個二次之間的關(guān)系，列出關(guān)于的方程組，解之即可得解；
（2）利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求得，從而得解.
【小問1詳解】
因為，且的解集為，
所以和2是方程的兩個不等實根，且，
由韋達(dá)定理可得，解得，
故，.
【小問2詳解】
因為，所以，
則可化為，
整理可得，
令，，所以，
則上式可化為在上恒成立，
即在上恒成立，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以，故，所以，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
21. 拉魯濕地國家級自然保護區(qū)位于西藏自治區(qū)首府拉薩市西北角，是國內(nèi)最大的城市濕地自然保護區(qū)，也是世界上海拔最高、面積最大的城市天然濕地．其中央有一座涼亭，涼亭的俯瞰圖的平面圖是如圖所示的正方形結(jié)構(gòu)，其中EFIJ和GHKL為兩個相同的矩形，俯瞰圖白色部分面積為20平方米．現(xiàn)計劃對下圖平面正方形染色，在四個角區(qū)域（即圖中陰影部分）用特等顏料，造價為200元/平方米，中間部分即正方形MNPQ區(qū)域使用一等顏料，造價為150元/平方米，在四個相同的矩形區(qū)域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等顏料，造價為100元/平方米．
（1）設(shè)總造價為W元，MN的邊長為x米，AB的邊長為y米，試建立W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）計劃至少要投入多少元，才能完成平面染色．
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件及矩形正方形的面積公式即可建立函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用基本不等式求最小值，確定取值條件即可.
小問1詳解】
由題意得，陰影部分的面積為，
，化簡得，
顯然，所以．
則
，
故W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
【小問2詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，W有最小值，
所以當(dāng)米時，元，
故計劃至少要投入元，才能完成平面染色．
22. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．
（1）求和實數(shù)b的值；
（2）若滿足，求實數(shù)t的取值范圍．
【答案】（1），
（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，
【解析】
【分析】（1）直接將代入，并結(jié)合奇函數(shù)定義和對數(shù)運算求解得b值；
（2）分離常數(shù)判斷真數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分情況，列不等式求解
【小問1詳解】
根據(jù)題意可得，
又是定義在上的奇函數(shù)，
所以，
即，解得（負(fù)值舍去）．
【小問2詳解】
由（1）可知，，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由奇函數(shù)性質(zhì)及可得，
當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，
需滿足解得；
當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，
需滿足解得； ．
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．