1．（2分）下列各組圖形中，AD是△ABC的高的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）將下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾順次相接，能組成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．2cm，2cm，4cm
C．3cm，4cm，12cmD．4cm，5cm，6cm
3．（2分）如圖，鉛筆放置在△ABC的邊AB上，筆尖方向?yàn)辄c(diǎn)A到點(diǎn)B的方向，筆尖方向變?yōu)辄c(diǎn)B到點(diǎn)A的方向，這種變化說(shuō)明（ ）
A．三角形內(nèi)角和等于180°
B．三角形外角和等于360°
C．三角形任意兩邊之和大于第三邊
D．三角形任意兩邊之差小于第三邊
4．（2分）下列各圖中，OP 是∠MON 的平分線(xiàn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，ON，OP 上（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）由于木質(zhì)衣架沒(méi)有柔性，所以在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作．小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，衣架桿OA＝OB＝18cm．若衣架收攏時(shí)，∠AOB＝60°，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是（ ）
A．9 cmB．16 cmC．18 cmD．20 cm
6．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，則AC的長(zhǎng)是（ ）
A．12cmB．6cmC．4cmD．
7．（2分）如圖，AD是△ABC的中線(xiàn)，CE是△ACD的中線(xiàn)，如果△DEF的面積是1，那么△ABC的面積為（ ）
A．12B．4C．6D．8
8．（2分）如圖，△ABC中，DG垂直平分AB交AB于點(diǎn)D，EF垂直平分AC交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)N，連接AM、AN，若BC＝12cm（ ）
A．10cmB．12cmC．14cmD．16cm
9．（2分）若等腰三角形邊長(zhǎng)分別為6cm和3cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（ ）
A．9cmB．12cm
C．15cmD．12cm或15cm
10．（2分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，AD⊥BC于點(diǎn)D，M、N兩點(diǎn)分別是線(xiàn)段AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)（ ）
A．4B．2C．4.5D．6
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）四邊形的外角和度數(shù)是 ．
12．（3分）計(jì)算：3x（x﹣2）＝ ．
13．（3分）已知（x﹣3）（x+2）＝x2+ax+b，則a﹣b的值是 ．
14．（3分）計(jì)算：（8a4+6a）÷2a＝ ．
15．（3分）若△ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為m°，n°，p°（n﹣p）2＝0，則這個(gè)三角形為 三角形．
16．（3分）在9×7的正方形網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，1），C（5，3），那么符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ．
三、解答題（本題共4小題，其中17題6分，18、19、20題各8分，共30分）
17．（6分）計(jì)算：（﹣2xy2）2?x2yz．
18．（8分）（1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1（其中A1，B1，C1分別是A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；
（2）直接寫(xiě)出△A1B1C1三點(diǎn)的坐標(biāo)：A1 ，B1 ，C1 ．
19．（8分）如圖，點(diǎn)D在AB上，E在AC上，∠B＝∠C，求證：AD＝AE．
20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝CB，D為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE、DE、DC．求證：△ABE≌△CBD．
四、解答題（本題共2小題，其中21題8分，22題10分，共18分）
21．（8分）小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后，通過(guò)“三弧法”作了一個(gè)△ACD，其作法步驟是：
①作線(xiàn)段AB，分別以A，B為圓心，兩弧的交點(diǎn)為C；
②以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D；
③連接AC，BC，CD．
畫(huà)完后小明說(shuō)他畫(huà)的△ACD的是直角三角形，你認(rèn)同他的說(shuō)法嗎，請(qǐng)說(shuō)明理由．
22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分線(xiàn)，交AC于點(diǎn)D，連接ED并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F
求證：△ACF為等腰三角形．
五、解答題（本題共3小題，23、24題各11分，25題12分，共34分）
23．（11分）如圖，已知等邊△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連接AD并延長(zhǎng)與BE的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N
求證：△BMN是等邊三角形．
24．（11分）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖（1），△ABC中，AB＝7，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．
解法如下：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE．請(qǐng)直接寫(xiě)出AD的取值范圍；
【探索應(yīng)用】如圖（2），AB∥CD，AB＝25，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠DFE＝∠BAE
25．（12分）[問(wèn)題情境]如圖1，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E
（1）[類(lèi)比訓(xùn)練]如圖2，Rt△ABC中，AB＝AC，直線(xiàn)AE是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的任一直線(xiàn)，BD⊥AE于D，證明：BD＝DE+CE．
（2）[情境更換]如圖3，把等腰直角三角板放在黑板上畫(huà)好了的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直角頂點(diǎn)H在y軸正半軸上
①若另一頂點(diǎn)K（a，﹣2a+10）落在第四象限，求a的值；
②直接寫(xiě)出頂點(diǎn)K的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系．
2023-2024學(xué)年遼寧省大連市金普新區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10小題，每小題2分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確）
1．（2分）下列各組圖形中，AD是△ABC的高的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)過(guò)三角形的頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫做三角形的高線(xiàn)解答．
【解答】解：△ABC的高AD是過(guò)頂點(diǎn)A與BC垂直的線(xiàn)段，只有D選項(xiàng)符合．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的高線(xiàn)，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．
2．（2分）將下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾順次相接，能組成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．2cm，2cm，4cm
C．3cm，4cm，12cmD．4cm，5cm，6cm
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、1+2＝5，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、2+2＝8，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、3+4＜12，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、5+5＞6，故此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系定理，在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線(xiàn)段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和大于第三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度即可判定這三條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形．
3．（2分）如圖，鉛筆放置在△ABC的邊AB上，筆尖方向?yàn)辄c(diǎn)A到點(diǎn)B的方向，筆尖方向變?yōu)辄c(diǎn)B到點(diǎn)A的方向，這種變化說(shuō)明（ ）
A．三角形內(nèi)角和等于180°
B．三角形外角和等于360°
C．三角形任意兩邊之和大于第三邊
D．三角形任意兩邊之差小于第三邊
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答即可．
【解答】解：這種變化說(shuō)明三角形的內(nèi)角和是180°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理是180°．
4．（2分）下列各圖中，OP 是∠MON 的平分線(xiàn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，ON，OP 上（ ）
A．B．
C．D．
【分析】角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線(xiàn)段的長(zhǎng)．
【解答】解：∵OP是∠MON 的平分線(xiàn)，GF⊥ON，
∴GE＝GF，（角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題時(shí)注意：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
5．（2分）由于木質(zhì)衣架沒(méi)有柔性，所以在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作．小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，衣架桿OA＝OB＝18cm．若衣架收攏時(shí)，∠AOB＝60°，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是（ ）
A．9 cmB．16 cmC．18 cmD．20 cm
【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形的等邊三角形進(jìn)行解答即可．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB＝OA＝OB＝18cm，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形的等邊三角形進(jìn)行分析．
6．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，則AC的長(zhǎng)是（ ）
A．12cmB．6cmC．4cmD．
【分析】利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得AD＝BD，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠DAE＝∠B＝15°且AD＝BD＝12cm，再利用外角的性質(zhì)得∠ADC＝30°，解直角三角形即可得AC的值．
【解答】解；∵AB邊的垂直平分線(xiàn)交AB于E，
∴AD＝BD（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)），
∴∠DAE＝∠B＝15°且AD＝BD＝12cm（等腰三角形的性質(zhì)），
∴∠ADC＝30°（外角的性質(zhì)），
∴AC＝AD＝4cm．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；得到∠ADC＝30°是正確解答本題的關(guān)鍵．
7．（2分）如圖，AD是△ABC的中線(xiàn)，CE是△ACD的中線(xiàn)，如果△DEF的面積是1，那么△ABC的面積為（ ）
A．12B．4C．6D．8
【分析】根據(jù)三角形的中線(xiàn)將三角形分成面積相等的兩部分分析即可．
【解答】解：由三角形的中線(xiàn)將三角形分成面積相等的兩部分可知，
S△DEF＝S△DEC，
S△DEC＝S△ADC，
S△ADC＝S△ABC，
∴S△DEF＝S△ABC，
∴S△ABC＝8．
故答案為：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積，知道三角形的中線(xiàn)將三角形分成面積相等的兩部分是關(guān)鍵．
8．（2分）如圖，△ABC中，DG垂直平分AB交AB于點(diǎn)D，EF垂直平分AC交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)N，連接AM、AN，若BC＝12cm（ ）
A．10cmB．12cmC．14cmD．16cm
【分析】由直線(xiàn)DM為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理：可得AM＝BM，同理可得AN＝NC，然后表示出三角形AMN的三邊之和，等量代換可得其周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)．
【解答】解：∵直線(xiàn)DM為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，
∴MA＝MB，
又直線(xiàn)NE為線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，
∴NA＝NC，
∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝12cm，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2分）若等腰三角形邊長(zhǎng)分別為6cm和3cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（ ）
A．9cmB．12cm
C．15cmD．12cm或15cm
【分析】根據(jù)已知條件和三角形三邊關(guān)系可知；等腰三角形的腰長(zhǎng)不可能為3cm，只能為6cm，然后即可求得等腰三角形的周長(zhǎng)．
【解答】解：①6cm為腰，3cm為底；
②2cm為底，3cm為腰，故舍去．
故其周長(zhǎng)是15cm．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情況．已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
10．（2分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，AD⊥BC于點(diǎn)D，M、N兩點(diǎn)分別是線(xiàn)段AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)（ ）
A．4B．2C．4.5D．6
【分析】作BM⊥AC，垂足為M，交AD于N點(diǎn)，則BN+MN為所求的最小值．由AB＝AC、∠ACB＝75°得∠BAC＝30°，繼而利用直角三角形的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：如圖，作BM⊥AC，交AD于N點(diǎn)．
∵AB＝AC＝8，∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
在Rt△BAM中，BM＝，
即MN+CN的最小值是4，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）四邊形的外角和度數(shù)是 360° ．
【分析】根據(jù)多邊形的外角和都是360°即可得出答案．
【解答】解：四邊形的外角和度數(shù)是360°，
故答案為：360°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，掌握多邊形的外角和都是360°是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）計(jì)算：3x（x﹣2）＝ 3x2﹣6x ．
【分析】利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，即可求解．
【解答】解：3x（x﹣2）
＝6x2﹣6x．
故答案為：5x2﹣6x．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）已知（x﹣3）（x+2）＝x2+ax+b，則a﹣b的值是 5 ．
【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求出（x﹣3）（x+2），從而得到a、b的值，然后代值計(jì)算即可．
【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝x5+ax+b，
∴x2﹣3x+3x﹣6＝x2+ax+b，
∴x3﹣x﹣6＝x2+ax+b，
∴a＝﹣8，b＝﹣6，
∴a﹣b＝﹣1﹣（﹣4）＝5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，正確計(jì)算出（x﹣3）（x+2）的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）計(jì)算：（8a4+6a）÷2a＝ 4a3+3 ．
【分析】依據(jù)題意，由整式的除法運(yùn)算法則可以得解．
【解答】解：原式＝8a4÷2a+6a÷2a
＝4a3+3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的除法，解題時(shí)需要熟練掌握并準(zhǔn)確計(jì)算．
15．（3分）若△ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為m°，n°，p°（n﹣p）2＝0，則這個(gè)三角形為 等邊 三角形．
【分析】根據(jù)絕對(duì)值非負(fù)數(shù)，平方數(shù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程表示出m、n、p相等，然后根據(jù)等邊三角形的定義判斷即可．
【解答】解：∵|m﹣n|+（n﹣p）2＝0，
∴|m﹣n|＝6，（n﹣p）2＝0，
∴m﹣n＝4，n﹣p＝0，
∴m＝n＝p，
∴這個(gè)三角形的等邊三角形．
故答案為：等邊．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0；還考查了等邊三角形的判定．
16．（3分）在9×7的正方形網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，1），C（5，3），那么符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是 （5，﹣1）或（0，3）或（0，﹣1） ．
【分析】根據(jù)要使△ABD與△ABC全等，可知兩三角形有公共邊AB，運(yùn)用對(duì)稱(chēng)即可求出所需的D點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：如圖所示，有三種情況：
，
故答案為：（5，﹣1）或（7，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，寫(xiě)出直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于對(duì)稱(chēng)作圖中點(diǎn)的坐標(biāo)特征并能靈活運(yùn)用是本題解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共4小題，其中17題6分，18、19、20題各8分，共30分）
17．（6分）計(jì)算：（﹣2xy2）2?x2yz．
【分析】先算積的乘方，再算單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式即可．
【解答】解：（﹣2xy2）2?x2yz
＝4x2y4?x2yz
＝4x4y5z．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，積的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
18．（8分）（1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1（其中A1，B1，C1分別是A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；
（2）直接寫(xiě)出△A1B1C1三點(diǎn)的坐標(biāo)：A1 （2，2） ，B1 （3，0） ，C1 （﹣1，﹣3） ．
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作圖即可．
（2）由圖可得答案．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C5即為所求．
（2）由圖可得，A1（2，6），B1（3，7），C1（﹣1，﹣8）．
故答案為：（2，2），7），﹣3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱(chēng)變換，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
19．（8分）如圖，點(diǎn)D在AB上，E在AC上，∠B＝∠C，求證：AD＝AE．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理ASA可以證得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”即可證得結(jié)論．
【解答】證明：在△ABE與△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD＝AE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角．
20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝CB，D為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE、DE、DC．求證：△ABE≌△CBD．
【分析】根據(jù)已知條件利用SAS即可．
【解答】證明：∵∠ABC＝90°，D為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，
∴∠ABE＝∠CBD＝90°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解本題的關(guān)鍵．
四、解答題（本題共2小題，其中21題8分，22題10分，共18分）
21．（8分）小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后，通過(guò)“三弧法”作了一個(gè)△ACD，其作法步驟是：
①作線(xiàn)段AB，分別以A，B為圓心，兩弧的交點(diǎn)為C；
②以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D；
③連接AC，BC，CD．
畫(huà)完后小明說(shuō)他畫(huà)的△ACD的是直角三角形，你認(rèn)同他的說(shuō)法嗎，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外心等知識(shí)一一判斷即可．
【解答】解：△ACD是直角三角形，理由如下：
由作圖可知：AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝60°，
∵BA＝BC＝BD，
∴△ACD是直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分線(xiàn)，交AC于點(diǎn)D，連接ED并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F
求證：△ACF為等腰三角形．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根據(jù)BD是∠ABC的平分線(xiàn)，即可得到∠ABD＝36°，由∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD，依據(jù)E是AB的中點(diǎn)，可得FE垂直平分AB，進(jìn)而得出∠BAF＝∠ABF＝72°，依據(jù)角的和差可得到∠FAC＝36°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠FAC＝36°，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得解．
【解答】證明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中點(diǎn)，
∴DE⊥AB，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF＝72°，
∴∠FAC＝∠BAF﹣∠BAC＝36°，
又∵∠ACB＝∠FAC+∠AFC＝72°，
∴∠AFC＝36°，
∴∠FAC＝∠AFC，
∴AC＝CF，
∴△ACF為等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．
五、解答題（本題共3小題，23、24題各11分，25題12分，共34分）
23．（11分）如圖，已知等邊△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連接AD并延長(zhǎng)與BE的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N
求證：△BMN是等邊三角形．
【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC＝AB，∠ABC＝∠DBE＝60°，DB＝EB，由SAS證出△ADB≌△CBE，于是∠BAD＝∠BCE；
然后根據(jù)平角定義易知∠ABN＝∠CBM＝120°，結(jié)合AC＝BC，利用ASA可證△ABN≌△CBM，從而有BM＝BN．
【解答】證明：∵△ABC和△DEB為等邊三角形，
∴BC＝AB，∠ABC＝∠DBE＝60°，
在△ADB與△CBE中，
∵，
∴△ADB≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
又∵∠ABN＝∠ABC+∠CBN＝120°，∠CBM＝180°﹣∠ABC＝120°，
在△ABN和△CBM中，
∵，
∴△ABN≌△CBM（ASA），
∴BN＝BM．
又∵∠NBM＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝60°，
∴△BMN是等邊三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△ADB≌△CBE和△ABN≌△CBM．
24．（11分）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖（1），△ABC中，AB＝7，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．
解法如下：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE．請(qǐng)直接寫(xiě)出AD的取值范圍；
【探索應(yīng)用】如圖（2），AB∥CD，AB＝25，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠DFE＝∠BAE
【分析】【觀察發(fā)現(xiàn)】由“SAS”可證△ABD≌△ECD，可得AB＝EC，由三角形的三邊關(guān)系可求解；
【探索應(yīng)用】由“SAS”可證△ABE≌△HCE，可得AB＝CH＝25，即可求解．
【解答】【觀察發(fā)現(xiàn)】
解：如圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，連接CE，
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
在△ABD與△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜EC+AC，AC＝5，
∴2＜AE＜12．
又∵AE＝3AD，
∴1＜AD＜6；
【探索應(yīng)用】
解：如圖4，延長(zhǎng)AE，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE，
∵CD∥AB，
∴∠ABE＝∠ECH，∠H＝∠BAE，
∴△ABE≌△HCE（AAS），
∴AB＝CH＝25，
∴DH＝CH﹣CD＝17，
∵∠DFE＝∠BAE，
∴∠H＝∠DFE，
∴DF＝DH＝17．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，證得三角形全等是解答此題的關(guān)鍵．
25．（12分）[問(wèn)題情境]如圖1，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E
（1）[類(lèi)比訓(xùn)練]如圖2，Rt△ABC中，AB＝AC，直線(xiàn)AE是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的任一直線(xiàn)，BD⊥AE于D，證明：BD＝DE+CE．
（2）[情境更換]如圖3，把等腰直角三角板放在黑板上畫(huà)好了的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直角頂點(diǎn)H在y軸正半軸上
①若另一頂點(diǎn)K（a，﹣2a+10）落在第四象限，求a的值；
②直接寫(xiě)出頂點(diǎn)K的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系．
【分析】（1）由“AAS”可證△ABD≌△CAE，可得BD＝AE，AD＝CE，可得結(jié)論；
（2）①由“AAS”可證△GHN≌△HKP，可得NG＝HP，NH＝PK，列出等式可求解；
②由全等三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解答】（1）證明：∵BD⊥AE
∴∠BAC＝∠ADB＝90°
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝DE+CE；
（2）解：①如圖4，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥y軸于N，
設(shè)OH＝b，
∴∠GNH＝∠KPH＝∠GHK＝90°，
∴∠HGN+∠GHN＝∠GHN+∠KHP＝90°，
∴∠NGH＝∠KHP，
又∵HG＝HK，
∴△GHN≌△HKP（AAS），
∴NG＝HP，NH＝PK，
∵頂點(diǎn)G在第一象限且使其橫、縱坐標(biāo)始終相等，﹣2a+10）落在第四象限，
∴GN＝NO，PK＝a，
∴NH＝PK＝a，HP＝2a﹣10+b＝NG，
∴a+b＝2a﹣10+b，
∴a＝10．
②設(shè)K（x，y），
由①得GN＝NO，PK＝x，
∴NH＝PK＝x，HP＝﹣y+b＝NG，
∴x+b＝﹣y+b，
∴x+y＝0，
∴橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/7 7:32:35；用戶(hù)：婁老師；郵箱：15225657626；學(xué)號(hào)：48669677

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