1．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．負(fù)數(shù)的平方根是負(fù)數(shù)B．100的平方根是10
C．﹣16的平方根是﹣4D．0的算術(shù)平方根是0
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a(chǎn)2＝c2﹣b2D．a(chǎn)：b：c＝4：5：6
4．（3分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的值可以是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
5．（3分）點(diǎn)（﹣2，3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
6．（3分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，CD⊥AB于點(diǎn)D（ ）
A．B．4C．D．
7．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），∠AOB＝90°則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，3）
8．（3分）關(guān)于一次函數(shù)y＝﹣3x+2，下列說法正確的是（ ）
A．圖象過點(diǎn)（1，1）
B．其圖象可由y＝3x的圖象向下平移2個單位長度得到
C．y隨著x的增大而增大
D．圖象經(jīng)過第一、二、四象限
9．（3分）根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入的x值是﹣3和2時，輸出的y值相等（ ）
A．5B．﹣5C．7D．﹣7
10．（3分）甲、乙兩輛汽車從A地出發(fā)到B地，甲車提前出發(fā)，以60km/h的速度勻速行駛一段時間后，設(shè)甲、乙兩車相距為s（km），甲車行駛的時間為t（h），下列說法：
①甲車提前1h出發(fā)，乙車出發(fā)2h后追上甲車；
②乙車行駛的速度是90km/h；
③A、B兩地相距450km；其中正確的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空題（每題3分，共15分）
11．（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是 ．
12．（3分）若點(diǎn)P在第二象限，且到x軸的距離是3，到y(tǒng)軸的距離是 ．
13．（3分）請寫出一個一次函數(shù)，使其圖象滿足以下條件：
①經(jīng)過第一、三、四象限，
②與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），此一次函數(shù)的表達(dá)式可以為 ．
14．（3分）如圖有一圓柱，高為9cm，底面半徑為4cm，它想吃上底面與A相對的B點(diǎn)處的食物，需爬行的最短路程大約為 （取π＝3）．
15．（3分）對于實數(shù)P，我們規(guī)定：用表示不小于，，現(xiàn)在對72進(jìn)行如下操作：
，即對72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．類比上述操作：對36只需進(jìn)行 次操作后變?yōu)?．
三.解答題
16．（12分）計算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．（6分）已知一次函數(shù)y＝2x+4．
（1）補(bǔ)全表中自變量對應(yīng)的函數(shù)值后，畫出該函數(shù)的圖象；
（2）若該一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，求△OAB的面積；
（3）求﹣2≤y≤6時x的取值范圍．
18．（9分）我校將舉辦一年一度的秋季運(yùn)動會，需要采購一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍標(biāo)價80元，具體如下：
方案甲：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原價出售；
方案乙：按購買金額打9折付款．
學(xué)校欲購買這種乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．
（1）請直接寫出兩種優(yōu)惠辦法實際付款金額y甲（元），y乙（元）與x（盒）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如果學(xué)校需要購買15盒乒乓球，哪種優(yōu)惠方案更省錢？
（3）如果學(xué)校提供經(jīng)費(fèi)為1800元，選擇哪個方案能購買更多乒乓球？
19．（8分）在“生活中的函數(shù)”活動中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)（km）與他所用的時間x（min）的關(guān)系如圖所示．
（1）當(dāng)0≤x≤15時，y與x的函數(shù)表達(dá)式為 ；當(dāng)30≤x≤45時，y與x的函數(shù)表達(dá)式為
（2）當(dāng)小明距離家2km時，他離家的時間為： ；
（3）文具店到小明家的距離為 km．
20．（7分）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)P到x軸、y軸的距離的較大值稱為點(diǎn)P的“長距”，點(diǎn)Q到x軸、y軸的距離相等時
（1）點(diǎn)A（﹣3，5）的“長距”為 ；
（2）若點(diǎn)B（4﹣2a，﹣2）是“角平分線點(diǎn)”，求a的值；
（3）若點(diǎn)C（﹣2，3b﹣2）的長距為4，且點(diǎn)C在第二象限內(nèi)（9﹣2b，﹣5），請判斷點(diǎn)D是否為“角平分線點(diǎn)”，并說明理由．
21．（6分）數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來解決實際問題，實踐報告如下：
該報告還沒有完成，請你幫助興趣小組解決以上問題．
22．（5分）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D都在小正方形的頂點(diǎn)上，CD交于點(diǎn)P．
（1）求AB的長；
（2）求∠APC的度數(shù)．
23．（10分）如圖1，已知直線y＝2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，直接出直線AC、BC的表達(dá)式；
（2）如圖2，直線CB交y軸于點(diǎn)E，在CB的延長線上取一點(diǎn)D，且AD＝AC，求點(diǎn)D坐標(biāo)．
（3）如圖3，在（1）的條件下，直線AC交x軸于點(diǎn)M，P（﹣，k），在線段BM上是否存在一點(diǎn)N，使直線PN平分△BCM的面積？若存在；若不存在，請說明理由．
24．（12分）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為，由此推導(dǎo)出直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c2+b2＝c2．
（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)上面的關(guān)系式．利用以上所得的直角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答：
（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點(diǎn)A，B，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通（A、H、B條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）問中若AB≠AC時，CH⊥AB，BC＝10，AB＝12，求x的值．
2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市沈北新區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．負(fù)數(shù)的平方根是負(fù)數(shù)B．100的平方根是10
C．﹣16的平方根是﹣4D．0的算術(shù)平方根是0
【考點(diǎn)】實數(shù)；平方根；算術(shù)平方根．
【答案】D
【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的概念分別判斷即可．
【解答】解：A．負(fù)數(shù)沒有平方根，本選項不符合題意；
B．100的平方根是±10，本選項不符合題意；
C．﹣16沒有平方根，本選項不符合題意；
D．0的算術(shù)平方根是0，本選項符合題意；
故選：D．
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；分母有理化．
【答案】D
【分析】根據(jù)二次根式的加法運(yùn)算對A選項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的減法運(yùn)算對B選項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對C選項進(jìn)行判斷；利用分母有理化對D選項進(jìn)行判斷．
【解答】解：A． 與不能合并；
B．3﹣＝8；
C． ×＝，所以C選項不符合題意；
D． ＝＝，所以D選項符合題意；
故選：D．
3．（3分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a(chǎn)2＝c2﹣b2D．a(chǎn)：b：c＝4：5：6
【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理．
【答案】D
【分析】由三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、∠A＝∠B﹣∠C，則∠B＝90°，不符合題意；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：5，則∠C＝90°，不符合題意；
C、由a2＝c2﹣b3，得a2+b2＝c8，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32+32≠67，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故選：D．
4．（3分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的值可以是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式求出x的范圍，判斷即可．
【解答】解：由題意得：x﹣1≥0，
解得：x≥5，
則x的值可以是2，
故選：A．
5．（3分）點(diǎn)（﹣2，3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】A
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．
【解答】解：點(diǎn)（﹣2，3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣4．
故選：A．
6．（3分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，CD⊥AB于點(diǎn)D（ ）
A．B．4C．D．
【考點(diǎn)】勾股定理．
【答案】A
【分析】通過勾股定理求出AB的長度，利用面積割補(bǔ)法求出△ABC的面積，再利用等面積求出CD即可．
【解答】解：如圖，由勾股定理得 AB＝，
∵S△ABC＝S長方形CGHK﹣S△CKA﹣S△ABH﹣S△CBG＝20﹣﹣6﹣2＝，
又∵S△ABC＝AB?CD，
∴×5×CD＝，
∴CD＝，
故選：A．
7．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），∠AOB＝90°則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，3）
【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
【答案】B
【分析】過A作AC⊥x軸，垂足為C，作BD⊥x軸垂足為D．證明△AOC和△BOD全等，那么B的橫坐標(biāo)就是OD長的相反數(shù)，B的縱坐標(biāo)就是OC長的絕對值，由此可得出B的坐標(biāo)．
【解答】解：作AC⊥x軸，垂足為C．
則∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠OAC＝90°．
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°
∴∠OAC＝∠BOD．
在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OD＝AC＝3，DB＝OC＝2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣8，2），
故選：B．
8．（3分）關(guān)于一次函數(shù)y＝﹣3x+2，下列說法正確的是（ ）
A．圖象過點(diǎn)（1，1）
B．其圖象可由y＝3x的圖象向下平移2個單位長度得到
C．y隨著x的增大而增大
D．圖象經(jīng)過第一、二、四象限
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與幾何變換；一次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】D
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平移的規(guī)律以及一次函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可．
【解答】解：A、當(dāng)x＝1時，
∴一次函數(shù)y＝﹣3x+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣1），不符合題意；
B、由y＝6x的圖象向下平移2個單位長度得到y(tǒng)＝3x﹣3，不合題意
C、∵k＝﹣3＜0，
∴y隨x的增大而減小，選項C錯誤；
D、∵k＝﹣3＜0，
∴一次函數(shù)y＝﹣3x+5的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，符合題意；
故選：D．
9．（3分）根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入的x值是﹣3和2時，輸出的y值相等（ ）
A．5B．﹣5C．7D．﹣7
【考點(diǎn)】函數(shù)值．
【答案】A
【分析】把x＝﹣3與x＝2代入程序中計算，根據(jù)y值相等即可求出b的值．
【解答】解：當(dāng)x＝﹣3時，y＝9，y＝5+b，
由題意得：4+b＝9，
解得：b＝8，
故選：A．
10．（3分）甲、乙兩輛汽車從A地出發(fā)到B地，甲車提前出發(fā)，以60km/h的速度勻速行駛一段時間后，設(shè)甲、乙兩車相距為s（km），甲車行駛的時間為t（h），下列說法：
①甲車提前1h出發(fā)，乙車出發(fā)2h后追上甲車；
②乙車行駛的速度是90km/h；
③A、B兩地相距450km；其中正確的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象；函數(shù)關(guān)系式．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和甲車行駛的速度，可得甲車1小時行駛的路程為60km，由此即可判斷①；根據(jù)在乙出發(fā)2h后追上甲，結(jié)合甲的速度即可判斷②；根據(jù)乙車的速度，然后根據(jù)乙車在甲車出發(fā)6小時后到達(dá)B地，求出兩地的距離即可判斷③．
【解答】解：∵甲車的速度為60km/h，
∴甲車先出發(fā)1h，
∵甲出發(fā)3h后，乙追上甲，
∴甲車提前8h出發(fā)，乙車出發(fā)2h后追上甲車；
乙車的速度為：（km/h）；
根據(jù)圖可知，乙出發(fā)后2﹣1＝5（h），
∴A，B兩地相距90×8＝450（km）；
∴正確的個數(shù)是3．
故選：D．
二、填空題（每題3分，共15分）
11．（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是 ﹣1 ．
【考點(diǎn)】勾股定理；數(shù)軸．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先根據(jù)題圖得到BD、CD的長度及CD與數(shù)軸的關(guān)系，再利用勾股定理求出BC、BA的長，最后利用線段的和差關(guān)系得結(jié)論．
【解答】解：由題圖可知：CD⊥BA，BD＝2，
∴BA＝BC＝
＝
＝．
∴點(diǎn)A表示的數(shù)為：﹣1．
12．（3分）若點(diǎn)P在第二象限，且到x軸的距離是3，到y(tǒng)軸的距離是 （﹣，3） ．
【考點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（﹣，3）．
【分析】根據(jù)點(diǎn)到x軸的距離為縱坐標(biāo)的絕對值，點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為橫坐標(biāo)的絕對值結(jié)合第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵點(diǎn)P到x軸的距離是3，到y(tǒng)軸的距離是，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的絕對值為，縱坐標(biāo)的絕對值為3，
又∵點(diǎn)P在第二象限，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，縱坐標(biāo)為3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，3）．
故答案為：（﹣，3）．
13．（3分）請寫出一個一次函數(shù)，使其圖象滿足以下條件：
①經(jīng)過第一、三、四象限，
②與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），此一次函數(shù)的表達(dá)式可以為 y＝x﹣3（答案不唯一） ．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的定義．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)一次函數(shù)增減性，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，確定一次函數(shù)的k，b的值即可．
【解答】解：由題意可知：y隨x的增大而增大，
∴k＞0，可取k＝1，
∵與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（7，﹣3），
∴y＝x﹣3，
故答案為：y＝x﹣8（答案不唯一）．
14．（3分）如圖有一圓柱，高為9cm，底面半徑為4cm，它想吃上底面與A相對的B點(diǎn)處的食物，需爬行的最短路程大約為 15cm （取π＝3）．
【考點(diǎn)】平面展開﹣最短路徑問題；勾股定理．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)題意，將圓柱展開，運(yùn)用勾股定理即可求解．
【解答】解：展開圖如圖，
由題意得：AC＝×7π×4＝12（cm），且∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝15（cm），
故答案為：15cm．
15．（3分）對于實數(shù)P，我們規(guī)定：用表示不小于，，現(xiàn)在對72進(jìn)行如下操作：
，即對72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．類比上述操作：對36只需進(jìn)行 3 次操作后變?yōu)?．
【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大??；實數(shù)的運(yùn)算．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】按照運(yùn)算定義進(jìn)行計算求解．
【解答】解：根據(jù)定義進(jìn)行運(yùn)算得，將36按照題目的定義進(jìn)行運(yùn)算求解{}＝6{{}＝2，
∴對36只需進(jìn)行次操作后變?yōu)?，
故答案為：3．
三.解答題
16．（12分）計算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；平方差公式；分母有理化．
【答案】（1）；
（2）﹣1；
（3）5；
（4）．
【分析】（1）先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行合并；
（2）利用平方差運(yùn)算；
（3）先化簡二次根式，再根據(jù)混合運(yùn)算法則運(yùn)算；
（4）將括號內(nèi)二次根式化為最簡二次根式再合并，然后利用二次根式的除法法則計算．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝2﹣6，
＝﹣1；
（3）
＝
＝2；
（4）
＝
＝
＝
＝．
17．（6分）已知一次函數(shù)y＝2x+4．
（1）補(bǔ)全表中自變量對應(yīng)的函數(shù)值后，畫出該函數(shù)的圖象；
（2）若該一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，求△OAB的面積；
（3）求﹣2≤y≤6時x的取值范圍．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】（1）見解析；
（2）△OAB的面積＝4；
（3）﹣3≤x≤1．
【分析】（1）將x＝0與x＝1代入函數(shù)求解即可，然后描點(diǎn)、連線即可；
（2）根據(jù)題意確定交點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合圖形求解即可；
（3）分別求出對應(yīng)的自變量的值，然后結(jié)合圖象即可求解．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝4，y＝7，
補(bǔ)全表格如下：
描點(diǎn)、連線，如圖所示．
（2）當(dāng)y＝0時，3x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）．
當(dāng)x＝3時，y＝2×0+8＝4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，5），
∴△OAB的面積＝．
（3）當(dāng)y＝2時，6＝2x+3．
∴x＝1，
當(dāng)y＝﹣2時，﹣6＝2x+4．
∴x＝﹣6，
∵k＝2＞0，
∴y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)﹣2≤y≤6時，x的取值范圍是﹣3≤x≤4．
18．（9分）我校將舉辦一年一度的秋季運(yùn)動會，需要采購一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍標(biāo)價80元，具體如下：
方案甲：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原價出售；
方案乙：按購買金額打9折付款．
學(xué)校欲購買這種乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．
（1）請直接寫出兩種優(yōu)惠辦法實際付款金額y甲（元），y乙（元）與x（盒）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如果學(xué)校需要購買15盒乒乓球，哪種優(yōu)惠方案更省錢？
（3）如果學(xué)校提供經(jīng)費(fèi)為1800元，選擇哪個方案能購買更多乒乓球？
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)購買費(fèi)用＝單價×數(shù)量建立關(guān)系就可以表示出y甲、y乙的解析式；
（2）根據(jù)（1）中解析式，將x＝15代入分別求出，比較即可；
（3）分三種情況進(jìn)行討論計算求出需要的費(fèi)用，再進(jìn)行比較就可以求出結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意得：
y甲＝10×80+25（x﹣10）＝25x+550，
y乙＝25×0.9x+80×3.9×10＝22.5x+720，
（2）根據(jù)（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.3x+720，
當(dāng)x＝15時y甲＝25×15+550＝925（元），
y乙＝22.5×15+720＝1057.5（元），
∵925＜1057.4，
∴方案甲更省錢；
（3）根據(jù)（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720，
當(dāng)y甲＝1800元時，1800＝25x+550，
當(dāng)y乙＝1800元時，1800＝22.5x+720，
∵50＞48，
∴學(xué)校提供經(jīng)費(fèi)為1800元，選擇方案甲能購買更多乒乓球．
19．（8分）在“生活中的函數(shù)”活動中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)（km）與他所用的時間x（min）的關(guān)系如圖所示．
（1）當(dāng)0≤x≤15時，y與x的函數(shù)表達(dá)式為 y＝x ；當(dāng)30≤x≤45時，y與x的函數(shù)表達(dá)式為 y＝﹣x+4.5
（2）當(dāng)小明距離家2km時，他離家的時間為： 12min或37.5min ；
（3）文具店到小明家的距離為 1.5 km．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的圖象．
【答案】（1）y＝x，y＝﹣x+4.5；
（2）12min或37.5min；
（3）1.5．
【分析】（1）分別根據(jù)路程÷時間＝速度，路程＝速度×?xí)r間寫出函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）分別令（1）中的函數(shù)表達(dá)式的函數(shù)值為0，解方程求出對應(yīng)x的值即可；
（3）直接觀察圖象即可．
【解答】解：（1）2.5÷15＝（km/min），
∴0≤x≤15時，y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝x．
（2.5﹣1.5）÷（45﹣30）＝（km/min），
∴當(dāng)30≤x≤45時，y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝2.5﹣x+4.5．
故答案為：y＝x，y＝﹣．
（2）當(dāng)x＝7時；
當(dāng)﹣x+4.5＝2時，
∴當(dāng)小明距離家2km時，他離家的時間為12min或37.6min．
（3）文具店到小明家的距離為 1.5km．
故答案為：2.5．
20．（7分）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)P到x軸、y軸的距離的較大值稱為點(diǎn)P的“長距”，點(diǎn)Q到x軸、y軸的距離相等時
（1）點(diǎn)A（﹣3，5）的“長距”為 5 ；
（2）若點(diǎn)B（4﹣2a，﹣2）是“角平分線點(diǎn)”，求a的值；
（3）若點(diǎn)C（﹣2，3b﹣2）的長距為4，且點(diǎn)C在第二象限內(nèi)（9﹣2b，﹣5），請判斷點(diǎn)D是否為“角平分線點(diǎn)”，并說明理由．
【考點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)“長距”的定義解答即可；
（2）根據(jù)“角平分線點(diǎn)”的定義解答即可；
（3）由“長距”的定義求出b的值，然后根據(jù)“角平分線點(diǎn)”的定義求解即可．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣3，5）到x軸的距離為2，點(diǎn)P到x軸，
∴點(diǎn)A的“長距”為5．
故答案為：5；
（2）∵點(diǎn)B（7﹣2a，﹣2）是“角平分線點(diǎn)”，
∴|7﹣2a|＝|﹣2|，
∴2﹣2a＝2或6﹣2a＝﹣2，
解得a＝8或a＝3；
（3）∵點(diǎn)C（﹣2，2b﹣2）的長距為4，
∴3b﹣2＝4，解得b＝6，
∴9﹣2b＝8，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，﹣5），
∴點(diǎn)D到x軸、y軸的距離都是6，
∴點(diǎn)D是“角平分線點(diǎn)”．
21．（6分）數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來解決實際問題，實踐報告如下：
該報告還沒有完成，請你幫助興趣小組解決以上問題．
【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出的AC長，即可得到結(jié)論；
（2）在Rt△A′BC中，根據(jù)勾股定理求出A′B，即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝17米，
由勾股定理，可得AC＝，
∴AD＝AC+CD＝7+1.5＝7.5（米），
答：風(fēng)箏離地面的垂直高度為9.7米；
（2）如圖，當(dāng)風(fēng)箏沿DA方向再上升12米，
 
在Rt△A′BC中，∠A'CB＝90°，
由勾股定理，可得A′B＝，
則應(yīng)該再放出25﹣17＝3（米），
答：他應(yīng)該再放出8米長的線．
22．（5分）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D都在小正方形的頂點(diǎn)上，CD交于點(diǎn)P．
（1）求AB的長；
（2）求∠APC的度數(shù)．
【考點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）在Rt△ABE中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答；
（2）連接AF，BF，先利用勾股定理的逆定理證明△ABF是直角三角形，從而可得∠AFB＝90°，再根據(jù)AF＝BF＝，可得△ABF是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠FAB＝∠FBA＝45°，再利用平行線的性質(zhì)可得∠APC＝∠ABF＝45°，即可解答．
【解答】解：（1）如圖：
在Rt△ABE中，AE＝5，
∴AB＝＝＝，
∴AB的長為；
（2）如圖：連接AF，BF，
由題意得：BF2＝72+44＝17，
AF2＝18+42＝17，
∵AB6＝（）2＝34，
∴BF2+AF2＝AB2，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠AFB＝90°，
∵AF＝BF＝，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠FAB＝∠FBA＝45°，
∵CD∥BF，
∴∠APC＝∠ABF＝45°．
23．（10分）如圖1，已知直線y＝2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，直接出直線AC、BC的表達(dá)式；
（2）如圖2，直線CB交y軸于點(diǎn)E，在CB的延長線上取一點(diǎn)D，且AD＝AC，求點(diǎn)D坐標(biāo)．
（3）如圖3，在（1）的條件下，直線AC交x軸于點(diǎn)M，P（﹣，k），在線段BM上是否存在一點(diǎn)N，使直線PN平分△BCM的面積？若存在；若不存在，請說明理由．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）直線AC的表達(dá)式為：y＝x+2，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣；
（2）點(diǎn)D（1，﹣1）；
（3）存在，點(diǎn)N（﹣，0）．
【分析】（1）證明△CHB≌△BOA（AAS），得到BH＝OA＝2，CH＝OB，則點(diǎn)C（﹣3，1），即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)D（m，﹣m﹣），由AD＝AC，則m2+（2+m+）2＝32+1，即可求解；
（3）S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝NB，即可求解．
【解答】解：（1）令x＝0，則y＝2，則x＝﹣3、B的坐標(biāo)分別為：（0、（﹣1，
過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，
∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝6，CH＝OB，1），
由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得x+2，
同理可得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣；
（2）直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣，﹣），
設(shè)點(diǎn)D（m，﹣m﹣），
∵AD＝AC，則m2+（2+m+）2＝33+1，
解得：m＝1，即點(diǎn)D（8；
（3）存在，理由：
直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣，），
直線AC的表達(dá)式為：y＝x+2，3），
S△BMC＝MB×yC＝×5×7＝，
S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝，
解得：NB＝，
故點(diǎn)N（﹣，0）．
24．（12分）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為，由此推導(dǎo)出直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c2+b2＝c2．
（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)上面的關(guān)系式．利用以上所得的直角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答：
（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點(diǎn)A，B，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通（A、H、B條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）問中若AB≠AC時，CH⊥AB，BC＝10，AB＝12，求x的值．
【考點(diǎn)】勾股定理的證明．
【答案】（1）見解析；
（2）0.5km；
（3）．
【分析】（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡即可得證；
（2）設(shè)CA＝x千米，則AH＝（x﹣4）千米，根據(jù)勾股定理列方程，解得即可得到結(jié)果；
（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）∵AB⊥AD，BC⊥AB，
∴梯形ABCD的面積為或，
∴，
∴，
即a2+b6＝c2；
（2）設(shè)設(shè)CA＝x千米，則AH＝（x﹣4）千米，
在Rt△ACH中，CA4＝CH2+AH2，
即x6＝62+（x﹣8）2，
解得x＝6.4，
即CA＝6.5，
CA﹣CH＝3.5﹣6＝3.5（千米），
答：新路CH比原路CA少0.3千米；
（3）設(shè)AH＝x，則BH＝12﹣x，
在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH4，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH8，
∴CA2﹣AH2＝CB6﹣BH，
即82﹣x6＝102﹣（12﹣x）2，
解得：x
0
1
y
活動課題
風(fēng)箏離地面垂直高度探究
問題背景
風(fēng)箏由中國古代勞動人民發(fā)明于東周春秋時期，距今已2000多年，相傳墨翟以木頭制成木鳥，是人類最早的風(fēng)箏起源．興趣小組在放風(fēng)箏時想測量風(fēng)箏離地面的垂直高度.
測量數(shù)據(jù)抽象模型
小組成員測量了相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的示意圖，測得水平距離BC的長為15米，牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為1.5米．
問題產(chǎn)生
經(jīng)過討論，興趣小組得出以下問題：
（1）運(yùn)用所學(xué)勾股定理相關(guān)知識，根據(jù)測量所得數(shù)據(jù)，計算出風(fēng)箏離地面的垂直高度．
（2）如果想要風(fēng)箏沿DA方向再上升12米，且BC長度不變，則他應(yīng)該再放出多少米線？
問題解決
……
x
0
1
y
x
0
1
y
4
6
活動課題
風(fēng)箏離地面垂直高度探究
問題背景
風(fēng)箏由中國古代勞動人民發(fā)明于東周春秋時期，距今已2000多年，相傳墨翟以木頭制成木鳥，是人類最早的風(fēng)箏起源．興趣小組在放風(fēng)箏時想測量風(fēng)箏離地面的垂直高度.
測量數(shù)據(jù)抽象模型
小組成員測量了相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的示意圖，測得水平距離BC的長為15米，牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為1.5米．
問題產(chǎn)生
經(jīng)過討論，興趣小組得出以下問題：
（1）運(yùn)用所學(xué)勾股定理相關(guān)知識，根據(jù)測量所得數(shù)據(jù)，計算出風(fēng)箏離地面的垂直高度．
（2）如果想要風(fēng)箏沿DA方向再上升12米，且BC長度不變，則他應(yīng)該再放出多少米線？
問題解決
……

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