?2022-2023學(xué)年遼寧省大連市金普新區(qū)八年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題共10小題，每小題2分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確）
1．下面四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各組線段中，能構(gòu)成三角形的是（　?。?br /> A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．4，5，10
3．一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于60°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（　?。?br /> A．8 B．7 C．6 D．5
4．下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2?a6＝a8 B．（a3）2＝a5 C．a(chǎn)8÷a2＝a4 D．（ab2）3＝ab6
5．如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，若OA＝OD，要用“SAS”證明△AOB≌△DOC，還需要的條件是（　?。?br />
A．OB＝OC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
6．用直尺和圓規(guī)操作一個(gè)角等于已知角的依據(jù)是（　?。?br /> A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
7．到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是（　　）
A．兩條中線的交點(diǎn)
B．兩條高的交點(diǎn)
C．兩條角平線的交點(diǎn)
D．兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
8．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF與AD相交于點(diǎn)G，則下列關(guān)系正確的是（　?。?br />
A．AG＝DG B．AD⊥EF且EG＝FG
C．DE⊥DF D．DE∥AC
9．如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，則BC和CE的數(shù)量關(guān)系是（　?。?br />
A．BC＝CE B．BC＝2CE C．BC＝3CE D．無法確定
10．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)D是它內(nèi)部一點(diǎn)，OD＝m．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長(zhǎng)的最小值為（　?。?br />
A．0.5m B．m C．1.5m D．2m
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11．等腰三角形的頂角為20°，則底角的度數(shù)為 　 　°．
12．a(chǎn)4（am）2＝al6，則m的值為 　 　．
13．已知（x2﹣6x+1）（x+m）的結(jié)果中不含x2項(xiàng)，則m＝　 　．
14．與單項(xiàng)式3a的積是12a3﹣6a2+3a的多項(xiàng)式是 　 ?。?br /> 15．如圖，△ABC的角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，∠A＝60°，則∠BOC＝　 　°．

16．如圖，三角形紙片中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△AED的周長(zhǎng)為 　 ?。?br />
三、解答題（本題共4小題，其中17題6分，18、19、20題各8分，共30分）
17．求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝﹣．
18．已知：如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求證：AB＝AC．

19．如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．

（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)；
（2）畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A2B2C2．
20．如圖，點(diǎn)M，N是∠AOB內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)．尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法．
（1）作∠A'O'B'＝∠AOB；
（2）作∠AOB的平分線；
（3）求作點(diǎn)P，使PM＝PN，且點(diǎn)P到OA，OB的距離相等．

四、解答題（本題共5小題，其中21題8分，22題10分，共18分）
21．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求證：AE是∠DAB平分線．

22．如圖，AD是△ABC的角平分線，且D是BC的中點(diǎn)．求證：AB＝AC．

23．如圖，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一點(diǎn)，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示線段BD、CD、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．

24．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足為D，點(diǎn)E在AD上，BE平分∠ABD，點(diǎn)F在BD延長(zhǎng)線上，BF＝CE，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)H．
（1）求證：∠CBE＝45°；
（2）寫出線段BH和EH的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明．

25．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，D是△ABC外一點(diǎn)，DC⊥AC，連接BD．

（1）如圖1，當(dāng)∠DBC＝45°時(shí)，求證：DC＝AC；
（2）如圖2，當(dāng)DC＝AC時(shí)，寫出BD與AB的位置關(guān)系，并證明．



參考答案
一、選擇題（本題共10小題，每小題2分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確）
1．下面四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】分別根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義即可判斷；
解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱圖形，熟知軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合是解答此題的關(guān)鍵．
2．下列各組線段中，能構(gòu)成三角形的是（　?。?br /> A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．4，5，10
【分析】根據(jù)三角形的三條邊必須滿足任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊即可判斷．
解：A、2+5＝7，不能組成三角形，不符合題意；
B、4+4＝8，不能組成三角形，不符合題意；
C、4+5＞6，能組成三角形，符合題意；
D、4+5＜10，不能組成三角形，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)三角形三邊關(guān)系的理解應(yīng)用．判斷是否可以構(gòu)成三角形，只要判斷兩個(gè)較小的數(shù)的和大于最大的數(shù)即可．
3．一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于60°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（　?。?br /> A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】根據(jù)多邊形的邊數(shù)等于360°除以每一個(gè)外角的度數(shù)列式計(jì)算即可得解．
解：360°÷60°＝6．
故這個(gè)多邊形是六邊形．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握多邊形的外角和、多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)、多邊形的邊數(shù)三者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．下列計(jì)算正確的是（　　）
A．a(chǎn)2?a6＝a8 B．（a3）2＝a5 C．a(chǎn)8÷a2＝a4 D．（ab2）3＝ab6
【分析】利用同底數(shù)冪的除法的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方與積的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
解：A、a2?a6＝a8，故A符合題意；
B、（a3）2＝a6，故B不符合題意；
C、a8÷a2＝a6，故C不符合題意；
D、（ab2）3＝a3b6，故D不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
5．如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，若OA＝OD，要用“SAS”證明△AOB≌△DOC，還需要的條件是（　?。?br />
A．OB＝OC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．
解：A．OB＝OC，∠AOB＝∠DOC，OA＝OD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△AOB≌△DOC，故本選項(xiàng)符合題意；
B．AB＝DC，AO＝DO，∠AOB＝∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△AOB≌△DOC，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．∠A＝∠D，AO＝DO，∠AOB＝∠DOC，符合全等三角形的判定定理ASA，不符合全等三角形的判定定理SAS，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC，OA＝OD，符合全等三角形的判定定理AAS，不符合全等三角形的判定定理SAS，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．
6．用直尺和圓規(guī)操作一個(gè)角等于已知角的依據(jù)是（　?。?br /> A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【分析】用直尺和圓規(guī)操作一個(gè)角等于已知角實(shí)際上作兩個(gè)三角形的三條對(duì)應(yīng)邊相等，利用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等．
解：用直尺和圓規(guī)操作一個(gè)角等于已知角的依據(jù)是“SSS“．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖：掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．
7．到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是（　?。?br /> A．兩條中線的交點(diǎn)
B．兩條高的交點(diǎn)
C．兩條角平線的交點(diǎn)
D．兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答即可，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
解：∵角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，
∴到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是兩條角平分線的交點(diǎn)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF與AD相交于點(diǎn)G，則下列關(guān)系正確的是（　?。?br />
A．AG＝DG B．AD⊥EF且EG＝FG
C．DE⊥DF D．DE∥AC
【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE＝DF，證出Rt△AED≌Rt△AFD，推出AF＝AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出答案即可．
解：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和t△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
又∵AD平分∠BAC，
∴EG＝GF，AG⊥EF．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
9．如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，則BC和CE的數(shù)量關(guān)系是（　?。?br />
A．BC＝CE B．BC＝2CE C．BC＝3CE D．無法確定
【分析】連接AE，利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠B＝30°，然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得EA＝EB，從而可得∠B＝∠BAE＝30°，進(jìn)而可得∠EAC＝30°，最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AE＝2EC，從而可得BE＝2EC，即可解答．
解：連接AE，

∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝30°，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，
∴∠B＝∠BAE＝30°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝30°，
∴AE＝2EC，
∴BE＝2EC，
∴BC＝3CE，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)D是它內(nèi)部一點(diǎn)，OD＝m．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長(zhǎng)的最小值為（　　）

A．0.5m B．m C．1.5m D．2m
【分析】作D點(diǎn)關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)G，作D點(diǎn)關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交AO于點(diǎn)E，交OC于點(diǎn)F，連接GO，OH，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小，最小值為GH，證明△GOH是等邊三角形，即可求解．
解：作D點(diǎn)關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)G，作D點(diǎn)關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交AO于點(diǎn)E，交OC于點(diǎn)F，連接GO，OH，
由對(duì)稱性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，
∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，
此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小，最小值為GH，
∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，
∴∠GOH＝2∠AOC，
∵∠AOC＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴△GOH是等邊三角形，
∴GH＝OD，
∵DO＝m，
∴△DEF周長(zhǎng)的最小值為m，
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11．等腰三角形的頂角為20°，則底角的度數(shù)為 　80　°．
【分析】根據(jù)等腰三角形的頂角等于20°，利用等腰三角形底角相等及三角形內(nèi)角和定理求解即可．
解：∵等腰三角形的頂角等于20°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴每個(gè)底角等于（180°﹣20°）×＝80°．
故答案為：80．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)；題目比較簡(jiǎn)單，屬于基礎(chǔ)題．
12．a(chǎn)4（am）2＝al6，則m的值為 　6?。?br /> 【分析】先根據(jù)冪的乘方進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，求出2m+4＝16，再求出答案即可．
解：∵a4（am）2＝al6，
∴a4?a2m＝a16，
∴a2m+4＝a16，
∴2m+4＝16，
解得：m＝6，
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方與積的乘方和同底數(shù)冪的乘法，能熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解此題的關(guān)鍵．
13．已知（x2﹣6x+1）（x+m）的結(jié)果中不含x2項(xiàng)，則m＝　6　．
【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算，再結(jié)合不含x2項(xiàng)，即其系數(shù)為0，從而可求解．
解：（x2﹣6x+1）（x+m）
＝x3+mx2﹣6x2﹣6mx+x+m
＝x3+（m﹣6）x2+（﹣6m+1）x+m，
∵結(jié)果中不含x2項(xiàng)，
∴m﹣6＝0，
解得：m＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是明確不含x2項(xiàng)，則其系數(shù)為0．
14．與單項(xiàng)式3a的積是12a3﹣6a2+3a的多項(xiàng)式是 　4a2﹣2a+1?。?br /> 【分析】計(jì)算（12a3﹣6a2+3a）÷3a便可得出答案．
解：（12a3﹣6a2+3a）÷3a
＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a
＝4a2﹣2a+1．
故答案為：4a2﹣2a+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式除法，掌握除法法則是解題關(guān)鍵．
15．如圖，△ABC的角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，∠A＝60°，則∠BOC＝　120　°．

【分析】由三角形的內(nèi)角和可求得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分線的定義可得∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，則可求得∠CBO+∠BCO＝60°，再利用三角形的內(nèi)角和可得∠BOC＝120°．
解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵△ABC的角平分線BD、CE交于點(diǎn)O，
∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，
∴∠CBO+∠BCO＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°，
∴∠BOC＝120°．
故答案為：120°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．
16．如圖，三角形紙片中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△AED的周長(zhǎng)為 　b+c﹣a　．

【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到DC＝DE，BE＝BC，根據(jù)已知求出AE的長(zhǎng)，即可求解．
解：由折疊的性質(zhì)可知，DC＝DE，BE＝BC＝a，
∵AB＝c，
∴AE＝AB﹣BE＝c﹣a，
∴△AED的周長(zhǎng)＝AD+AE+DE＝AC+AE＝b+c﹣a，
故答案為：b+c﹣a．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，掌握翻折變換的性質(zhì)、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共4小題，其中17題6分，18、19、20題各8分，共30分）
17．求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝﹣．
【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，最后把x＝﹣代入求出即可．
解：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），
＝﹣2x2+x
＝x（﹣2x+1），
當(dāng)x＝﹣時(shí)，原式＝﹣×[﹣2×（﹣）+1]＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，主要考查學(xué)生的化簡(jiǎn)和計(jì)算能力，注意：先算乘法（有括號(hào)先去括號(hào)），再算加減（就是合并同類項(xiàng)），最后代入計(jì)算即可（先算乘方，再算乘法，最后算加法）．
18．已知：如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求證：AB＝AC．

【分析】根據(jù)AAS，可得△ABE≌△ACD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得答案．
【解答】證明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
∴AC＝AB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)AAS判定三角形全等，在判定對(duì)應(yīng)邊相等．
19．如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．

（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)；
（2）畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A2B2C2．
【分析】（1）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；
（2）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．
解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，A1（2，4），B1（3，2），C1（1，1）；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．
20．如圖，點(diǎn)M，N是∠AOB內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)．尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法．
（1）作∠A'O'B'＝∠AOB；
（2）作∠AOB的平分線；
（3）求作點(diǎn)P，使PM＝PN，且點(diǎn)P到OA，OB的距離相等．

【分析】（1）利用基本作圖，（作一個(gè)角等于已知）作∠A'O'B'＝∠AOB；
（2）利用基本作圖作OC平分∠AOB；
（3）作線段MN的垂直平分線交OC于P點(diǎn)．
解：（1）如圖2，∠A'O'B'為所作；
（2）如圖1，OC為所作；
（3）如圖1，點(diǎn)P為所作．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)．
四、解答題（本題共5小題，其中21題8分，22題10分，共18分）
21．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求證：AE是∠DAB平分線．

【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得EC＝EF，從而求出EF＝BE，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明．
【解答】證明：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，
∴EC＝EF，
∵EB＝EC，
∴EF＝BE，
又∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵EF⊥AD，
∴AE是∠DAB平分線．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)和到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，熟記兩個(gè)性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，AD是△ABC的角平分線，且D是BC的中點(diǎn)．求證：AB＝AC．

【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF，然后證明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），可得∠B＝∠C，即可解決問題．
【解答】證明：∵AD是∠BAC的平分線，
如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE＝DF，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，要證邊相等，想辦法證明邊所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運(yùn)用．
23．如圖，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一點(diǎn)，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示線段BD、CD、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【分析】延長(zhǎng)BD至E，使BE＝AB，連接AE、CE，可得△ABE是等邊三角形，即可求得AC＝AE，可得∠ACE＝∠AEC，即可求得∠DCE＝∠DEC，可得DE＝CD，即可解題．
解：AC＝BD+CD，理由如下：延長(zhǎng)BD至E，使BE＝AB，連接AE、CE，

∵∠ABD＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE＝AB，∠AEB＝60°，
∵AB＝AC，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACE﹣∠ACD＝∠AEC﹣∠AEB，
即∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝CD，
∴BE＝BD+DE＝BD+CD，
∴AC＝BE＝BD+CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題中求證CD＝DE是解題的關(guān)鍵．
24．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足為D，點(diǎn)E在AD上，BE平分∠ABD，點(diǎn)F在BD延長(zhǎng)線上，BF＝CE，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)H．
（1）求證：∠CBE＝45°；
（2）寫出線段BH和EH的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明．

【分析】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，可證明∠ABC＝∠C＝∠DAB，而∠ABE＝∠DBE＝∠DBA，則∠CBE＝（∠DAB+∠DBA）＝45°；
（2）延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG＝AE，連接EG，因?yàn)锳B＝AC，所以BG＝CE＝BF，即可證明△EBG≌△EBF，得∠G＝∠F，可證明∠G＝∠DAB，則∠G＝∠F＝∠C，于是∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，得BH⊥EH，由∠HEB＝∠HBE＝45°，得BH＝EH．
【解答】（1）證明：∵BD⊥AC于D，
∴∠BDC＝∠FDC＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠C＝∠DAB，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠DBA，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝（∠DAB+∠DBA）＝45°.
（2）解：BH⊥EH，BH＝EH，
證明：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG＝AE，連接EG，
∵AB＝AC，
∴AB+AG＝AC+AE，
∴BG＝CE，
∵BF＝CE，
∴BG＝BF，
在△EBG和△EBF中，
，
∴△EBG≌△EBF（SAS），
∴∠G＝∠F，
∵∠G＝∠AEG，
∴∠DAB＝∠G+∠AEG＝2∠G，
∴∠G＝∠DAB，
∴∠G＝∠C，
∴∠F＝∠C，
∵∠HEC＝∠DEF，
∴∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，
∴BH⊥EH，
∵∠HEB＝∠HBE＝45°，
∴BH＝EH．

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，D是△ABC外一點(diǎn)，DC⊥AC，連接BD．

（1）如圖1，當(dāng)∠DBC＝45°時(shí)，求證：DC＝AC；
（2）如圖2，當(dāng)DC＝AC時(shí)，寫出BD與AB的位置關(guān)系，并證明．

【分析】（1），（2）由條件可判定A、B、C、D在同一個(gè)圓上，應(yīng)用圓周角定理即可證明；
【解答】（1）證明：∵AC⊥DC，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∴A、B、C、D在同一個(gè)圓上，連接AD，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，∠CAD＝∠DBC＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC，
∴AC＝DC；
（2）BD⊥AB，
證明：DC⊥AC，AC＝DC，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝∠CAD＝45°，
∴∠ADC＝∠ABC，
∴A、B、C、D在同一個(gè)圓上，
∴∠DBC＝∠DAC＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝90°，
∴BD⊥AB．



【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是由條件證明A、B、C、D在同一個(gè)圓上，由圓周角定理解決問題．


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