注意事項：
1．本試卷共6頁，包括單項選擇題(第1題~第8題)、多項選擇題(第9題~第12題)、填空題(第13題~第16題)、解答題(第17題~第22題)四部分．本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的學校、姓名、考生號填涂在答題卡上指定的位置．
3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置，在其他位置作答一律無效．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2：3：5，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本．若樣本中A型號的產(chǎn)品有20件，則樣本容量n為
A．50 B．80 C．100 D．200
2．已知復數(shù)z0＝3＋i，其中i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足zz0＝3z＋z0，則z＝
A． 1－3i B． 1＋3i C． 3＋i D． 3－i
3．已知圓C1：x2＋y2－x－ay＝0與圓C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直線與x軸垂直，則實數(shù)a的值為
A．－4 B．－2 C．2 D．4
4．《數(shù)書九章》天池測雨：今州郡都有天池盆，以測雨水．但知以盆中之水為得雨之數(shù)．不知器形不同，則受雨多少亦異，未可以所測，便為平地得雨之數(shù)，即平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積．假令器形為圓臺，盆口徑(直徑)一尺四寸，底徑(直徑)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，則平地降雨量為
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知csx＋sinx＝ eq \f(\r(,2),3)，則 eq \f(sin2x,cs(x－\f(π,4)))＝
A．－eq \f(7,16)B．－eq \f(7eq \r(2),6)C．－eq \f(7,6)D．－eq \f(7,3)
6．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A為雙曲線右支上一點，連接AF1交y軸于點B．若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為
A．2 eq \r(,3)B． eq \f(3,2)C． eq \r(,3)D． eq \f(3\r(,3),2)
7．在平面直角坐標系xOy中，P為直線3x＋4y＋1＝0上一點．若向量a＝(3，4)，則向量 eq \(OP,\s\up8(→))在向量a上的投影向量為
A．－eq \f(1,5) B．(－eq \f(3,5)，－eq \f(4,5)) C．(－eq \f(3,25)，－eq \f(4,25)) D．無法確定
8．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)．若?x∈R，f(x)≤f(eq \f(π,3))，且f(x)在(0，π)上恰有1個零點，則實數(shù)ω的取值范圍為
A．(0，eq \f(3,2)]B．(eq \f(3,4)，eq \f(3,2)]C．(eq \f(3,4)，eq \f(9,4)]D．(eq \f(3,2)，eq \f(9,4)]
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．某研究小組依次記錄下10天的觀測值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，則
A．眾數(shù)是22
B．80百分位數(shù)是28
C．平均數(shù)是30
D．前4個數(shù)據(jù)的方差比最后4個數(shù)據(jù)的方差小
10．聲音是由物體的振動產(chǎn)生的聲波，一個聲音可以是純音或復合音，復合音由純音合成，純音的函數(shù)解析式為y＝Asinωx．設(shè)聲音的函數(shù)為φ(x)，音的響度與φ(x)的最大值有關(guān)，最大值越大，響度越大；音調(diào)與φ(x)的最小正周期有關(guān)，最小正周期越大聲音越低沉．假設(shè)復合音甲的函數(shù)解析式是f(x)＝sinx＋ eq \f(1,2)sin2x，純音乙的函數(shù)解析式是g(x)＝eq \f(3,2)sinωx(ω＞0)，則下列說法正確的有
A．純音乙的響度與ω無關(guān)
B．純音乙的音調(diào)與ω無關(guān)
C．若復合音甲的音調(diào)比純音乙的音調(diào)低沉，則ω＞1
D．復合音甲的響度與純音乙的響度一樣大
11．在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝4x的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)為拋物線C上的任意三點(異于O點)， eq \(FA,\s\up8(→))＋ eq \(FB,\s\up8(→))＋ eq \(FD,\s\up8(→))＝0，則下列說法正確的有
A．設(shè)A，B到直線x＝－1的距離分別為d1，d2，則d1＋d2＜AB
B．FA＋FB＋FD＝6
C．若FA⊥FB，則FD＝AB
D．若直線AB，AD，BD的斜率分別為kAB，kAD，kBD，則 eq \f(1,kAB)＋ eq \f(1,kAD)＋ eq \f(1,kBD)＝0
12．在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，點E是正方形BCC1B1內(nèi)部或邊界上異于點C的一點，則下列說法正確的有
A．若D1E∥平面ABB1A1，則E?C1C
B．設(shè)直線D1E與平面BCC1B1所成角的最小值為θ，則tanθ＝ eq \f(2\r(,2),3)
C．存在E?BB1，使得∠D1EC＞ eq \f(π,2)
D．若∠D1EC＝ eq \f(π,2)，則EB的最小值為3 eq \r(,5)－3
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．在平面直角坐標系xOy中，已知點M(2， eq \r(,3))和N(4，0)，點Q在x軸上．若直線MQ與直線MN的夾角為90°，則點Q的坐標為 eq \(▲,________)．
14．在△ABC中，AB＝3 eq \r(,6)，∠ABC＝45°，∠BAC＝75°，D是射線BC上一點，且CD＝10，則AD＝ eq \(▲,________)．
15．某商場為了促銷，每天會在上午和下午各舉辦一場演出活動，兩場演出活動相互獨立．每個時段演出的概率分別如下：
若某顧客打算第二天11：00抵達商場并逛3.5小時后離開，則他當天能觀看到演出的概
率為 eq \(▲,________)．
16．已知向量a＝(1， eq \r(,3))，b＝(1，0)，|a－c|＝eq \f(1,2)，則向量b，c最大夾角的余弦值為 eq \(▲,________)．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分10分)
已知函數(shù)f(x)＝sinxcs x－sin2x＋t(x∈R)的最大值為 eq \f(\r(,2),2)．
（1）求f(x)的解析式；
（2）若?x∈[eq \f(π,12)，eq \f(π,2)]，f(x)－m≤0，求實數(shù)m的最小值．
18．(本小題滿分12分)
在平面直角坐標系xOy中，已知圓C的圓心在l：x－2y＝0上，且圓C與x軸相切，直線l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．
（1）若直線l1與圓C相切，求a的值；
（2）若直線l1與圓C相交于A，B兩點，將圓C分成的兩段弧的弧長之比為1∶3，且DA＝DB，求圓C的方程．
19．(本小題滿分12分)
如圖，一個質(zhì)地均勻的正二十面體骰子的各面上標有數(shù)字0~9這10個數(shù)字(相對的兩個面上的數(shù)字相同)，拋擲這個骰子，并記錄下朝上一面(與地面或桌面平行)的數(shù)字．記事件A1為“拋兩次，兩次記錄的數(shù)字之和大于16”，記事件A2為“拋兩次，兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件A3為“拋兩次，第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”．
（1）求P(A1)，P(A2)；
（2）判斷事件A1A2與事件A3是否相互獨立，并說明理由．
（第19題圖）
20．(本小題滿分12分)
在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝b2－eq \f(1,2)ab．
（1）求角C的大?。?br>（2）若△ABC的面積為 eq \f(\r(,3),2)，且 eq \(CM,\s\up8(→))＝2 eq \(MB,\s\up8(→))， eq \(AN,\s\up8(→))＝3 eq \(NM,\s\up8(→))，求|eq \(CN,\s\up6(→))|的最小值．
21．(本小題滿分12分)
如圖，在所有棱長都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝eq \f(π,2)，∠B1BC＝eq \f(π,3)．
（1）證明：A1C1⊥B1C；
（2）求直線BC與平面ABB1A1所成角的大?。?br>A
B
B1
A1
C1
C
（第21題圖）
22．(本小題滿分12分)
在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且焦距為2eq \r(3)，橢圓C的上頂點為B，且 eq \(BF1,\s\up8(→))· eq \(BF2,\s\up8(→))＝－2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l過點A(2，－1)，且與橢圓C交于M，N兩點（不與B重合），直線BM與直線BN分別交直線x＝4于P，Q兩點．判斷是否存在定點G，使得點P，Q關(guān)于點G對稱，并說明理由．南京市2023－2024學年度第一學期期中學情調(diào)研測試
高二數(shù)學參考答案 2023.11
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上．
1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有錯選的得0分．
9．ACD 10．AC 11．BCD 12．ABD
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．
13．(eq \f(1,2)，0) 14．14 15．eq \f(4,9) 16．eq \f(eq \r(15)－eq \r(3),8)
四、解答題：本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
解：（1）f(x)＝sin xcs x－sin2x＋t＝ eq \f(1,2)sin2x－ eq \f(1－cs2x,2)＋t2分
＝ eq \f(1,2)sin2x＋ eq \f(1,2)cs2x－ eq \f(1,2)＋t＝ eq \f(\r(,2),2)sin(2x＋ eq \f(π,4))－ eq \f(1,2)＋t．4分
因為f(x)的最大值為 eq \f(\r(,2),2)，所以 eq \f(\r(,2),2)－ eq \f(1,2)＋t＝ eq \f(\r(,2),2)，解得t＝ eq \f(1,2)，
所以f(x)＝ eq \f(\r(,2),2)sin(2x＋ eq \f(π,4))．6分
（2）由（1）可知f(x)＝ eq \f(\r(,2),2)sin(2x＋ eq \f(π,4))，
當x∈[eq \f(π,12)，eq \f(π,2)]時，eq \f(5π,12)≤2x＋ eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
當2x＋ eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)時，即x＝eq \f(π,8)時，f(x)max＝ eq \f(\r(,2),2)．8分
因為f(x)－m≤0恒成立，所以m≥f(x)max恒成立，即m≥ eq \f(\r(,2),2)恒成立，
因此m的最小值為 eq \f(\r(,2),2)．10分
18．（本小題滿分12分）
解：（1）因為圓心C在直線l上，可設(shè)C(2m，m)，m≠0．
因為圓C與x軸相切，所以r＝|m|．2分
又因為直線l1與圓C相切，所以|m|＝eq \f(|2m－am|,eq \r(a2＋1) )．4分
因為m≠0，解得a＝eq \f(3,4)．5分
（2）因為A，B把圓C分成的兩段弧長之比為1∶3，
所以弦AB所對劣弧圓心角為2π×eq \f(1,4)＝eq \f(π,2)，6分
所以圓心C到l1的距離d等于圓C半徑的eq \f(\r(2),2)倍，即eq \f(\r(2),2)|m|＝eq \f(|2m－am|,eq \r(a2＋1) )，
由（1）得m≠0，解得a＝1或a＝7． 8分
又因為DA＝DB，所以AB的垂直平分線經(jīng)過D(6，0)和圓心C(2m，m)，
所以eq \f(m,2m－6)＝－a，10分
所以，當a＝1時，m＝2，圓C方程為(x－4)2＋(y－2)2＝4，
當a＝7時，m＝eq \f(14,5) ，圓C方程為(x－eq \f(28,5))2＋(y－eq \f(14,5))2＝eq \f(196,25)．12分
19．（本小題滿分12分）
解：若用(i，j)表示第一次拋擲骰子數(shù)字為i，用j表示第二次拋擲骰子數(shù)字為j，則樣本空間Ω＝{(i，j)|0≤i≤9，0≤j≤9，i，j∈Z}，共有100種等可能的樣本點． 1分
（1）A1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}，2分
所以P(A1)＝eq \f(3,100)．4分
因為 A2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50個樣本點，
所以P(A2)＝eq \f(50,100)＝eq \f(1,2)．6分
（2）因為A1A2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P(A1A2)＝eq \f(2,100)＝eq \f(1,50)．8分
因為A3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50個樣本點，
所以P(A3)＝eq \f(50,100)＝eq \f(1,2)．9分
因為A1A2A3＝{(9，8)}，所以P(A1A2A3)＝eq \f(1,100)．10分
因為P(A1A2)P(A3)＝eq \f(1,50)×eq \f(1,2)＝P(A1A2A3)，
所以事件A1A2與事件A3獨立．12分
20．（本小題滿分12分）
解：（1）方法1
因為eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝b2－eq \f(1,2)ab，所以bccsA＝b2－eq \f(1,2)ab．2分
由余弦定理得bc×eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2－eq \f(1,2)ab，化簡得eq \f(b2＋a2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，
所以csC＝eq \f(1,2)．4分
因為C為△ABC內(nèi)角，所以C＝eq \f(π,3)．5分
方法2
因為eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝b2－eq \f(1,2)ab，所以bccs A＝b2－eq \f(1,2)ab．2分
由正弦定理得sin Bsin Ccs A＝sin2B－eq \f(1,2)sin Asin B．
因為B為△ABC內(nèi)角，所以sin B≠0，所以sin Ccs A＝sin B－eq \f(1,2)sin A．
因為A＋B＋C＝π，所以sin Ccs A＝sin(A＋C)－eq \f(1,2)sin A，
即sin Ccs A＝sin Acs C＋cs Asin C－eq \f(1,2)sin A，
化簡得sin Acs C＝eq \f(1,2)sin A．
因為A為△ABC內(nèi)角，所以sin A≠0，所以cs C＝eq \f(1,2)．4分
因為C為△ABC內(nèi)角，所以C＝eq \f(π,3)．5分
（2）因為S△ABC＝ eq \f(1,2)absinC＝ eq \f(\r(,3),2)，所以ab＝2．6分
因為 eq \(CM,\s\up8(→))＝2 eq \(MB,\s\up8(→))， eq \(AN,\s\up8(→))＝3 eq \(NM,\s\up8(→))，
所以 eq \(CN,\s\up8(→))＝ eq \(CA,\s\up8(→))＋ eq \(AN,\s\up8(→))＝ eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(3,4) eq \(AM,\s\up8(→))＝ eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)(eq \(CM,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4) eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4) eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))，8分
從而| eq \(CN,\s\up8(→))|2＝( eq \f(1,4) eq \(CA,\s\up8(→))＋ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up8(→)))2＝eq \f(1,16)b2＋eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4) eq \(CA,\s\up8(→))· eq \(CB,\s\up8(→))
＝eq \f(1,16)b2＋eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)10分
≥2eq \r(eq \f(1,16)b2×eq \f(1,4)a2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)．
當且僅當eq \f(1,16)b2＝eq \f(1,4)a2，即a＝1，b＝2時取等號．
所以| eq \(CN,\s\up8(→))|的最小值為eq \f(\r(3),2)．12分
21．（本小題滿分12分）
（1）證明：連接AB1，在△ABB1中，∠ABB1＝eq \f(π,2)，AB＝BB1＝1，所以AB1＝eq \r(2)，
在△BCB1中，∠B1BC＝eq \f(π,3)，BC＝BB1＝1，所以B1C＝1，
所以在△ACB1中，AB1＝eq \r(2)，B1C＝1，AC＝1，所以AB12＝AC2＋B1C2，
所以AC⊥B1C．2分
又因為在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，
所以A1C1⊥B1C．4分
（2）方法1
解：連接AB1，A1B，交于點O，連接BC1，連接CO．
在邊長都為1的正方形A1ABB1中，O是AB1的中點，
又因為B1C＝AC＝1，
所以CO⊥AB1． 6分
O
A
B
B1
A1
C1
C
（第21題圖）
因為四邊形B1BCC1邊長都為1，所以B1C⊥BC1．
由(1)知B1C⊥A1C1．
又因為A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1?平面A1BC1，
所以B1C⊥平面A1BC1．
因為A1B?平面A1BC1，所以B1C⊥A1B．
因為在邊長都為1的四邊形A1ABB1中，A1B⊥AB1．
又因為AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C?平面AB1C，
所以A1B⊥平面AB1C．
因為CO?平面AB1C，所以CO⊥A1B． 8分
又因為A1B∩AB1＝O，A1B，AB1?平面A1ABB1，
所以CO⊥平面A1ABB1，
所以∠CBO即為直線BC與平面ABB1A1所成的角． 10分
在邊長都為1的四邊形A1ABB1中，∠ABB1＝eq \f(π,2)，所以BO＝eq \f(\r(2),2)．
因為BC＝1，所以cs∠CBO＝eq \f(\r(2),2)，所以∠CBO＝eq \f(π,4)，
所以直線BC與平面ABB1A1所成角的大小為eq \f(π,4)． 12分
方法2
解：取AB1中點O，連接BO，CO．
在△ACB1中，AC＝B1C＝1，所以CO⊥AB1， 6分
O
A
B
B1
A1
C1
C
（第21題圖）
在邊長都為1的正方形A1ABB1中，BO＝eq \f(\r(2),2)，A1B＝eq \r(2)．
又因為AC2＋B1C2＝A1B2，
所以△ACB1為直角三角形，所以CO＝eq \f(\r(2),2)．
在△ACB1中，CO2＋BO2＝BC2，
所以CO⊥BO．…………………………………………8分
又因為AB1∩BO＝O，AB1，BO ?平面A1ABB1，
所以CO⊥平面A1ABB1，
所以∠CBO即為直線BC與平面ABB1A1所成的角．10分
在邊長都為1的四邊形A1ABB1中，∠ABB1＝eq \f(π,2)，所以BO＝eq \f(\r(2),2)．
因為BC＝1，所以cs∠CBO＝eq \f(\r(2),2)，所以∠CBO＝eq \f(π,4)，
所以直線BC與平面ABB1A1所成角的大小為eq \f(π,4)．12分
22．（本小題滿分12分）
解：（1）因為 eq \(BF1,\s\up8(→))＝(－ eq \r(,3)，－b)， eq \(BF2,\s\up8(→))＝( eq \r(,3)，－b)，
所以 eq \(BF1,\s\up8(→))· eq \(BF2,\s\up8(→))＝b2－3＝－2，所以b2＝1．2分
因為c＝eq \r(3)，所以a2＝4，
所以橢圓C的方程為 eq \f(x2,4)＋y2＝1．4分
（2）設(shè)直線MN的方程為y＝k(x－2)－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\ac(x2＋4y2＝4，, y＝k(x－2)－1，))消去y得，(1＋4k2)x2－8k(1＋2k)x＋16k2＋16k＝0，
所以x1＋x2＝ eq \f(8k(1＋2k),1＋4k2)，x1x2＝ eq \f(16k2＋16k,1＋4k2)，6分
直線BM的方程為y＝ eq \f(y1－1,x1)x＋1，直線BN的方程為y＝ eq \f(y2－1,x2)x＋1，
設(shè)P，Q兩點的縱坐標分別為yP，yQ，
所以yP＝4× eq \f(y1－1,x1)＋1，yQ＝4× eq \f(y2－1,x2)＋1．8分
因為yP＋yQ＝4×( eq \f(y2－1,x2)＋ eq \f(y1－1,x1))＋2＝4×[ eq \f(k(x2－2)－2,x2)＋ eq \f(k(x1－2)－2,x1)]＋2
＝4×(2k－ eq \f(2k＋2,x2)－ eq \f(2k＋2,x1))＋2
＝4×[2k－(2k＋2) eq \f(x1＋x2,x1x2)]＋210分
＝4×[2k－(2k＋2) eq \f(8k(1＋2k),16(k＋k2))]＋2＝4×[2k－(2k＋1)]＋2＝－2，
所以 eq \f(yP＋yQ,2)＝－1，
所以存在G(4，－1)，使得點P，Q關(guān)于點G對稱．12分
上午演出時段
9：00－9：30
10：00－10：30
11：00－11：30
下午演出時段
14：00－14：30
15：00－15：30
16：00－16：30
相應的概率
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)

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