一、選擇題
1．已知直線方程，則傾斜角為( )
A.45°B.60°C.120°D.135°
2．已知直線和直線，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3．已知直角梯形，且，，，，則過其中三點的圓的方程可以為( )
A.B.
C.D.
4．已知直線，則點到直線l距離的最大值為( )
A.B.C.5D.10
5．設(shè)m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題正確的是( )
A.若，，則B.若，，則
C.若，，則D.若，，，則
6．有5件工藝品，其中合格品2件，不合格品3件，從中任取2件，若事件A的概率為，則事件A可以是( )
A.恰有1件合格品B.至少1件合格品
C.至多有1件合格品D.都不是合格品
7．底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為1，高為1的正四棱錐，所得棱臺的體積為( )
A.18B.21C.54D.63
8．設(shè)圓與圓，點A，B分別是，上的動點，M為直線上的動點，則的最小值為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．對于數(shù)據(jù)2，6，8，2，3，4，6，9，則這組數(shù)據(jù)的( )
A.極差為7B.第25百分位數(shù)為2
C.平均數(shù)為5D.方差為
10．設(shè)A，B為兩個隨機事件，以下命題正確的是( )
A.若A，B是對立事件，則
B.若A，B是互斥事件，，，則
C.若，，且，則A，B是獨立事件
D.若A，B是獨立事件，，，則
11．以下四個命題正確的是( )
A.若點在圓外，則實數(shù)m的取值范圍為
B.圓上有且僅有3個點到直線的距離等于
C.圓和圓外離
D.設(shè)b為實數(shù)，若直線與曲線恰有一個公共點，則
12．如圖，點P在正方體的面對角線上運動（P點異于B，點），則下列結(jié)論正確的是( )
A.異面直線與所成角為
B.平面
C.三棱錐的體積不變
D.直線與平面所成角正弦值的取值范圍為
三、填空題
13．圓與圓外切，則實數(shù)________.
14．過直線和直線的交點，且斜率為-1的直線的一般式方程為________.
15．已知圓，直線上點P，過點P作圓C的兩條切線，（其中A，B為切點），則四邊形面積的最小值為________.
16．已知三棱錐的四個頂點在半徑為的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面平面，平面平面，則________.
四、解答題
17．全國愛衛(wèi)辦組織開展“地級市創(chuàng)衛(wèi)工作”滿意度調(diào)查工作.2023年2月14日-24日在網(wǎng)上進行問卷調(diào)查，該調(diào)查是國家衛(wèi)生城市評審的重要依據(jù)，居民可根據(jù)自身實際感受，對所在市創(chuàng)衛(wèi)工作作出客觀、公正的評價.現(xiàn)隨機抽取了100名居民的問卷進行評分統(tǒng)計，評分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，.
（1）求a的值及這100名居民問卷評分的中位數(shù)；
（2）若根據(jù)各組頻率的比例采用分層隨機抽樣的方法，從評分在和內(nèi)的居民中共抽取7人，查閱他們的答卷情況，再從這7人中選取2人進行專項調(diào)查，求這2人中恰有1人評分在內(nèi)的概率.
18．已知圓，.
（1）過點A作圓C的切線m，求直線m的方程
（2）過點A作直線l與圓C相交，所得弦長不小于，求直線l的斜率的取值范圍.
19．已知平面內(nèi)兩點，.
（1）求過點且與直線垂直的直線l的方程.
（2）若是以C為頂點的等腰直角三角形，求直線的方程.
20．如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為梯形，，，，，，，交于點O，點P在線段上，且.
（1）證明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
21．某商場停車場臨時停車按時段收費，收費標(biāo)準(zhǔn)為每輛汽車一次停車不超過1小時收費6元，超過1小時的部分每小時收費8元（不足1小時的部分按1小時計算）.現(xiàn)有甲、乙兩人在該商場臨時停車，兩人停車都不超過4小時.
（1）若甲停車1小時以上且不超過2小時的率為，停車付費多于14元的概率為，求甲臨時停車付費恰為6元的概率；
（2）若甲、乙兩人停車的時長不超過1小時的概率分別為，，停車1小時以上且不超過2小時的概率分別為，，停車2小時以上且不超過3小時的率分別為，，求甲乙兩人停車付費相差16元的概率.
22．已知圓和點，P為圓C外一點，直線與圓C相切于點Q，.
（1）求點P的軌跡方程；
（2）記（1）中的點P的軌跡為T，是否存在斜率為的直線l，使以l被曲線T截得得弦為直徑得圓過點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.
參考答案
1．答案：D
解析：直線的斜率為-1，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
因為，所以.
故選：D.
2．答案：A
解析：若，則，解得或，
若，則直線：、直線：，可知；
若，則直線：、直線：，可知；
綜上所述：或.
因為是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
3．答案：C
解析：對于A，，的坐標(biāo)都不滿足圓的方程，
即圓不可能過四個點中的三個點，故A不符合題意；
對于B，，的坐標(biāo)都不滿足圓的方程，
即圓不可能過四個點中的三個點，故B不符合題意；
對于C，，，的坐標(biāo)都滿足圓的方程，
的坐標(biāo)不滿足圓的方程，
即圓過四個點中的三個點，故C符合題意；
對于D，，的坐標(biāo)都不滿足圓的方程，
即圓不可能過四個點中的三個點，故D不符合題意.
故選：C.
4．答案：B
解析：直線l：，即，
由，得到，，所以直線過定點，
當(dāng)直線l垂直于直線時，距離最大，此時最大值為，
故選：B.
5．答案：A
解析：對于A，因為，，可知.
對于B，若，，則或；
對于C，當(dāng)，時，和位置關(guān)系不一定可以是也可以是；
對于D，若，，，和位置關(guān)系不一定垂直，也可以平行.
故選：A.
6．答案：C
解析：對于A，恰有1件合格品的概率為；
對于B，至少1件合格品的概率為；
對于C，至多有1件合格品的概率為；
對于D，都不是合格品的概率為；
故選：C
7．答案：B
解析：如圖所示，
因為上下邊長比為，
所以，
則棱臺高，
根據(jù)體積公式可得，
故選：B.
8．答案：C
解析：
因為圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
所以和的圓心坐標(biāo)分別為、，半徑，，
所以直線的斜率，而直線的斜率為1
所以直線與直線垂直，如圖，
所以當(dāng)M與和共線時最小，此時，
又此時，，
所以最小值為.
故選：C
9．答案：AC
解析：將題中數(shù)據(jù)進行從小到大排列：2，2，3，4，6，6，8，9
對于A，極差為7；
對于B，，所以第25百分位數(shù)為；
對于C，平均數(shù)為；
對于D，,故AC正確，BD錯誤，
故選：AC
10．答案：BCD
解析：對于A，因為A，B是對立事件，所以事件A，B是不可能同時發(fā)生的，則，故A錯誤；
對于B，因為A，B是互斥事件，則，故B正確；
對于C，若，，則，，所以，所以A，B是獨立事件，故C正確；
對于D，因為A，B是獨立事件，所以A，是獨立事件，又，所以，所以，故D正確.
故選：BCD
11．答案：AB
解析：對于A，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為點在圓外，
所以點到圓心的距離，解得或，所以A正確；
對于B，圓心到直線l的距離，而圓的半徑，
所以有且僅有3個點到直線l的距離等于，所以B正確；
對于C，圓的圓心坐標(biāo)和半徑為，，圓的圓心坐標(biāo)和半徑為，，
因為圓心之間的距離，所以兩圓相交，所以C錯誤；
對于D，曲線，即表示一個半徑為1的半圓，如圖所示，
當(dāng)直線經(jīng)過點時，得，
當(dāng)直線經(jīng)過點時，得，此時直線也恰好過點，
當(dāng)直線與半圓相切時，，得（舍去），或，
由圖可知當(dāng)，或時，直線與曲線恰有一個公共點，所以D錯誤.
故選：AB
12．答案：BCD
解析：
對于A，因為正方體中，故異面直線與夾角為，
故A錯誤；
對于B，由正方體的性質(zhì)可知，，面，
平面，又因為面
，同理可得平面，又因為面
，
又因為面,
平面，故B正確；
對于C，因為,面,面，所以面
所以為定值，故C正確；
對于D，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，設(shè)，
，，，，，
則，
所以，
由正方體的性質(zhì)知：平面的法向量為，
直線與平面所成角正弦值為，
因為，，所以當(dāng)時取得最大值，若時取得為，所以，故D正確.
故選：BCD.
13．答案：±4
解析：兩圓的圓心為，，半徑為1和4，
因為兩圓外切，則，解得.
故答案為：±4
14．答案：
解析：解析過程略
15．答案：
解析：
四邊形的面積,
當(dāng)與直線垂直時，此時取最小值，故最小值為，
又半徑，所以，則四邊形面積的最小值為.
故答案為：
16．答案：4
解析：將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)正三棱柱的外接球球心為，半徑為，
取,中點為D,E，連接,交于，
因為是等邊三角形，所以，，
平面平面，平面平面，面，則面，
平面平面，平面平面，面，則面，
因為平面，平面，所以，，
因為相交，且都屬于平面，所以平面，
在中，外接圓半徑，
所以由，得，解得，
故答案為：4
17．答案：（1）0.02，77.5；
（2）
解析：（1）解得，
因為，所以中位數(shù)在之間，
設(shè)中位數(shù)為x，則，
解得，所以中位數(shù)為77.5.
（2）評分在和的頻率為0.1和0.25，
由分層抽樣可得在中抽取人，設(shè)為a,b，
在中抽取人，設(shè)為A,B,C,D,E，
從人中選取2人的情況為：，共21種情況；
2人中恰有1人評分在內(nèi)的情況為：，共10種情況；
所以2人中恰有1人評分在內(nèi)的概率為.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）點在圓上，設(shè)直線m方程為，
因為相切，所以，解得，
所以直線m的方程為.
（2）由（1）的，設(shè)直線與圓交于C，D兩點，
所以，即，即，即，
即，即，兩邊平方得到，
即，解得或者.
則求直線l的斜率的取值范圍為或者.
19．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）由題意得，則直線l的斜率為，
所以過點且與直線垂直的直線l的方程為：，
即.
（2）的中點坐標(biāo)為，
由（1）可知線段垂線的斜率為，所以線段垂直平分線的方程為，
即.
因為是以C為頂點的等腰直角三角形，
所以點C在直線上，
故設(shè)點C為，
由可得：，
解得或，
所以點C坐標(biāo)為或，
則直線的方程為或.
20．答案：（1）證明見解析；
（2）
解析：（1）平面平面，且兩平面交于，又，
平面.
在中，，，.
且，是等腰直角三角形，
，.
，，
又，為等腰直角三角形，.
，，
又，所以，平面,平面，
平面.
（2）由（1）得平面，且，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
可得，，，
即，.
設(shè)平面的法向量為，則，
解得.
平面的法向量為.
設(shè)二面角為，所以，
則.
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）停車費多于14元，則停車時間超過2小時.
設(shè)“甲臨時停車付費恰為6元”為事件A，則.
（2）由題意可得，
甲停車的時長不超過1小時的概率為：，即甲付費6元的概率為：，
甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為，即甲付費14元的概率為：，
甲停車2小時以上且不超過3小時的率為，即甲付費22元的概率為：，
甲停車3小時以上且不超過4小時的率為：，即甲付費30元的概率為：，
乙停車的時長不超過1小時的概率為：，即乙付費6元的概率為：，
乙停車1小時以上且不超過2小時的概率為，即乙付費14元的概率為：，
乙停車2小時以上且不超過3小時的率為，即乙付費22元的概率為：，
乙停車3小時以上且不超過4小時的率為：，即乙付費30元的概率為：，
又甲乙停車付費相差16元的情況有，，，共四種，
（i）甲付費6元，乙付費22元的概率為：，
（ii）甲付費22元，乙付費6元的概率為：，
（iii）甲付費14元，乙付費30元的概率為：，
（iv）甲付費30元，乙付費14元的概率為：，
所以甲乙兩人停車付費相差16元的概率為.
22．答案：（1）；
（2）存在，或
解析：（1）設(shè)點P坐標(biāo)為，直線與圓C相切于點Q，
則，所以，
即，
化簡得.
（2）設(shè)直線l方程為，點，.
聯(lián)立方程，得，
所以.
因為以為直徑得圓過點，則，
即，
化簡得，
代入根與系數(shù)關(guān)系中，得，
解得或，
故直線l的方程為或.

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