數(shù)學(xué)試卷
本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合，則（ ）
A.
B
C.
D.
2. 命題:否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象如圖所示,則的值為（ ）
A. 9B. 6C. 3D. 0
5. 有限集合中元素的個(gè)數(shù)記作，若都為有限集合,則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件
D. 既不充分也不必要條件
6. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
8. 向體積相同且高為的花瓶中，注水注滿為止.如果注水量與水深的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，那么花瓶的形狀是（ ）
A. B. C. D.
9. 我們知道函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的對(duì)稱中心是（ ）
A. B.
C. D.
10. 公園內(nèi)常設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，柱與柱之間是一條均勻懸鏈.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條(粗細(xì)與質(zhì)量分布)均勻、柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類(lèi)函數(shù)的表達(dá)式可以為(其中為非零常數(shù),為無(wú)理數(shù),，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則奇函數(shù)
B. 若，則函數(shù)的最小值為2
C 若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根
D. 若，則函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 函數(shù)的定義域是_______.
12. 不等式的解集為_(kāi)____________.
13. 能說(shuō)明“”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______.
14. 設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得，則的值為_(kāi)______.若存在最大值，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)______.
15. 狄利克雷函數(shù)定義為:當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為1當(dāng)自變量取無(wú)理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0.以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的性質(zhì):
①的值域?yàn)椋?br>②若，則有成立；
③函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；
④不存在，使得為等腰直角三角形.
其中表述正確的是_______.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
16. 已知全集，集合.
（1）求和;
（2）設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
17. 已知指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).
（1）求函數(shù)的解析式
（2）試比較這三個(gè)數(shù)的大小，并說(shuō)明理由;
（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18. 已知函數(shù).
（1）證明:為偶函數(shù);
（2）用定義證明:在區(qū)間上單調(diào)遞減.
19. 剛剛結(jié)束的2023年杭州亞運(yùn)會(huì)給人們留下了深刻印象，也帶火了很多杭州特色產(chǎn)品.某小組通過(guò)對(duì)一款杭州特產(chǎn)龍井茶的某官網(wǎng)銷(xiāo)售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn):該商品在過(guò)去30天內(nèi)，銷(xiāo)售單價(jià)(單位:百元)與時(shí)間(單位:天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足(為常數(shù)),日銷(xiāo)售量(單位:件)與時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:
已知第5天的日銷(xiāo)售收入為216百元.
（1）求值；
（2）給出以下三種函數(shù)模型(1)；(2)；(3).
請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來(lái)描述與的變化關(guān)系，并求出函數(shù)的解析式;
（3）記該商品在這30天內(nèi)的日銷(xiāo)售收入為(單位:百元)，求的最大值.
20. 設(shè)函數(shù)，函數(shù)，用表示中的較大者，記為，再?gòu)臈l件（1）、條件（2）這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.
條件（1）:
條件（2）:恒成立.
（1）求不等式的解集;
（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;注:如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
21. 已知正整數(shù)集合,對(duì)任意，定義.若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有,則稱集合具有性質(zhì).記是集合中的最大值.
（1）判斷集合和集合是否具有性質(zhì)，直接寫(xiě)出結(jié)論；
（2）若集合具有性質(zhì)，求證：；
（3）若集合具有性質(zhì)，求的最大值.
0
3
6
3
0
6
5
10
15
20
25
30
180
310
390
420
400
330

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