陜西省千陽(yáng)縣中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題（二）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、選擇題
1、在直三棱柱中，，，，M是的中點(diǎn)，以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，若，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
2、已知正三棱柱的棱長(zhǎng)均為a，D是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面ABC與平面所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.0
3、已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為( )
A.10B.3C.D.
4、已知向量，且，則x的值為( )
A.4B.2C.3D.1
5、如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，點(diǎn)N在BC上，且，，則( )
A. B.
C.D.
6、已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到的距離為( )
A.10B.3C.D.
7、已知，，，則點(diǎn)A到直線BC的距離為( )
A.B.1C.D.
8、已知向量，，且與互相垂直，則k的值是( )
A.1B.C.D.
9、已知，，，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)的值為( )
A.0B.C.9D.
10、在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和所成角的余弦值等于( )
A.B.C.D.
11、如圖，某圓錐SO的軸截面SAC是等邊三角形，點(diǎn)B是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是SA的中點(diǎn)，則異面直線AB與CM所成角的余弦值是( )
A. B.C. D.
12、在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
13、在四面體OABC中，點(diǎn)M在OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，若，則使G，M，N三點(diǎn)共線的x的值為( )
A.1B.2C.D.
14、如圖,點(diǎn)為矩形所在平面外一點(diǎn),平面為線段的中點(diǎn),,則點(diǎn)到平面的距離為( )
A.B.C.D.
15、在三棱錐中，分別是的中點(diǎn)，底面，則直線與平面所成角的正弦值為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
16、已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.若，則B.若，則
C.不存在實(shí)數(shù)，使得D.若，則
17、如圖，在正方體中，點(diǎn)E在棱上，且，F(xiàn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有( )
A.
B.存在一點(diǎn)F，使得
C.三棱錐的體積與F點(diǎn)的位置無關(guān)
D.直線與平面AEF所成角的正弦值的最小值為
18、如圖，在正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論為( ).
A.直線AM與是相交直線B.直線AM與BN是平行直線
C.直線BN與是異面直線D.直線MN與AC所成的角為
19、若空間向量a，b，c不共面，則( )
A.，，a共面B.，，2b共面
C.，a，共面D.，，c共面
20、已知向量，，，則下列等式中成立的是( )
A.B.
C.D.
21、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則( )
A.直線與底面ABCD所成的角為
B.平面與底面ABCD夾角的余弦值為
C.直線與直線AE的距離為
D.直線與平面的距離為
22、已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、O分別是、的中點(diǎn)，P在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是( )
A.點(diǎn)A到直線BE的距離是 B.點(diǎn)O到平面的距離為
C.平面與平面間的距離為 D.點(diǎn)P到直線AB的距離為
三、填空題
23、已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外任一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面，則____________.
24、如圖，平面平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，，G是EF的中點(diǎn)，則GB與平面AGC所成角的正弦值為___________.
25、設(shè)，，若，則___________.
26、如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，且平面，，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，則二面角的正切值為__________.
27、已知空間向量，，則向量b在向量a上的投影向量是_________.
28、已知正方體的棱長(zhǎng)為,過點(diǎn)作平面的垂線,垂足為,有以下四個(gè)命題:
①點(diǎn)是的垂心;
②垂直于平面;
③二面角的正切值為;
④點(diǎn)到平面的距離為.
其中真命題的序號(hào)是__________(寫出所有真命題的序號(hào))
四、雙空題
29、已知直線的一個(gè)方向向量為,直線的一個(gè)方向向量為,且,則_____________,____________.
30、如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱上的點(diǎn)，平面PAC，則二面角的大小為_________，平面PAC與平面ABC所成角的大小為__________.
31、如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為的中點(diǎn)，則在上的投影的數(shù)量為___________，在平面ABCD上的投影為__________.
五、解答題
32、在四棱錐中，底面，，，，.
（1）證明：.
（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值.
33、如圖，PO是三棱錐的高，，，E為PB的中點(diǎn).
（1）證明：平面PAC.
（2）若，，，求二面角的正弦值.
34、如圖，在三棱錐中，，，，O為AC的中點(diǎn).
（1）證明：平面PBO；
（2）若M為棱BC的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.
35、如圖，在四棱錐中，，且.
（1）證明：平面平面PAD；
（2）若，，求二面角的余弦值.
36、如圖,四棱錐的底面是正方形, 底面,點(diǎn)在棱上.
1.求證:平面平面;
2.當(dāng)且為的中點(diǎn)時(shí),求與平面所成的角的大小.
37、如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分別是BC，，的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求點(diǎn)C到平面的距離.
38、已知幾何體ABCDGEF，如圖所示，其中四邊形ABCD、四邊形CDGF、四邊形ADGE均為正方形，且邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在棱DG上.
（1）求證：.
（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為?若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
39、如圖，四面體ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，.
（1）證明：平面平面ABC；
（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求平面DAE與平面AEC夾角的余弦值.
40、如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.
條件①：；
條件②：.
41、在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形, 是矩形,平面平面,是中點(diǎn).
1.求證: 平面;
2.在線段上是否存在點(diǎn),使二面角的大小為?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
42、如圖，在棱柱中，平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)，且.
(1)設(shè)M是線段上一點(diǎn)，且.試問：是否存在點(diǎn)M，使得直線平面MNC？若存在，請(qǐng)證明平面MNC，并求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(2)求二面角的余弦值.
43、如圖1，在平面圖形ABCDE中，，，，，沿BD將折起，使點(diǎn)C到F的位置，且，，如圖2.
(1)求證：平面平面AEG.
(2)線段FG上是否存在點(diǎn)M，使得平面MAB與平面AEG所成角的余弦值為?若存在，求出GM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
參考答案
1、答案：A
解析：設(shè)，則，，，所以，，，
因?yàn)?，所以，解得?br>所以，，，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
2、答案：B
解析：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，得.又平面ABC的一個(gè)法向量為，
所以，即平面ABC與平面所成角的余弦值為.
3、答案：D
解析：由，得點(diǎn)P到平面的距離.
4、答案：A
解析：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)橄蛄?，?br>所以，解得，
所以x的值為4，
故選：A.
5、答案：A
解析：如圖，連接MB，則
.
故選A.
6、答案：D
解析：由已知得，故點(diǎn)P到平面的距離為.故選D.
7、答案：A
解析：方法一：，，，所以點(diǎn)A到直線BC的距離為.
方法二：作，交BC于點(diǎn)Q，設(shè)，又，所以，所以，則.又，所以，得，因此，從而可知點(diǎn)A到直線BC的距離為.
8、答案：D
解析：，，，.
9、答案：D
解析：不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，，，共面，則，其中，則，解得故選：D.
10、答案：B
解析：設(shè)，，，且，則，，所以，又，，所以，故選B.
11、答案：C
解析：以過點(diǎn)O且垂直于平面SAC的直線為x軸，直線OC，OS分別為y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，
則根據(jù)題意可得，，，，
所以，，
設(shè)異面直線AB與CM所成角為，
則.
故選：C.
12、答案：A
解析：如圖，設(shè)，則，，，，
，
，
.
故選A.
13、答案：A
解析：由題意，得，.若G，M，N三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得
，得解得故選A.
14、答案：B
解析：如圖,以為原點(diǎn),分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即
令,則.
點(diǎn)到平面的距離.
15、答案：D
解析：平面.以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則.
設(shè)，則，
..
.
設(shè)平面的法向量為.
由得
取，則，
可得平面的一個(gè)法向量為，
.
設(shè)與平面所成的角為，則.
16、答案：AC
解析：由得，
解得，故A選項(xiàng)正確；由
得，解得，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若存在實(shí)數(shù)，使得，則，
，，顯然無解，
即不存在實(shí)數(shù)使得，故C選項(xiàng)正確；
若，則，解得，
于是，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
17、答案：ABC
解析：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)F在上，可設(shè).由題知，，，，，，所以，所以，A項(xiàng)正確；
，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，B項(xiàng)正確；
，其中d為F點(diǎn)到平面的距離.當(dāng)點(diǎn)F在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于平面，所以d不隨F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而改變，C項(xiàng)正確；
，，設(shè)平面AEF的法向量為，則所以，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值，D項(xiàng)錯(cuò)誤.
18、答案：CD
解析：在正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn).
在A中，直線AM與是異面直線，故A錯(cuò)誤；
在B中，直線AM與BN是異面直線，故B錯(cuò)誤；
在C中，直線BN與是異面直線，故C正確；
在D中，以D為原點(diǎn)，DA為x軸、DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，
則，，，，，，
則，所以直線MN與AC所成的角為，故D正確.
19、答案：BCD
解析：因?yàn)椋?，?b共面，故B正確.因?yàn)椋?，a，共面，故C正確.因?yàn)?，所以，，c共面，故D正確.對(duì)于A，若，，a共面，則存在實(shí)數(shù)，，使得，所以a，b，c共面，與a，b，c不共面矛盾，所以，，a不共面，故A錯(cuò)誤.
20、答案：BCD
解析：對(duì)于A，左邊為向量，右邊為實(shí)數(shù)，顯然不相等，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，左邊，右邊，左邊=右邊，B正確；
對(duì)于C，，左邊，右邊，左邊=右邊，C正確；
對(duì)于D，由C可得左邊，，，左邊=右邊，D正確.
21、答案：BCD
解析：如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，所以，平面ABCD的法向量.
設(shè)直線與底面ABCD所成的角為，則，
所以直線與底面ABCD所成的角不為，故錯(cuò)誤.
易知，.設(shè)平面的法向量為，則取，則，，所以.
設(shè)平面與底面ABCD的夾角為，則，所以平面與底面ABCD夾角的余弦值為，故B正確.
易知，所以直線與直線AE的距離，故C正確.
因?yàn)?，平面，平面，所以平?又，平面的一個(gè)法向量，所以直線與平面的距離，故D正確.選BCD.
22、答案：BC
解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，.
設(shè)，則，.
故A到直線BE的距離，故A錯(cuò).
易知，
平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)O到平面的距離，故B對(duì).
，，.
設(shè)平面的法向量為，
則所以
令，得，，
所以.
所以點(diǎn)到平面的距離.
因?yàn)橐鬃C得平面平面，所以平面與平面間的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
所以平面與平面間的距離為，故C對(duì).
因?yàn)?，所以，又，則，所以點(diǎn)P到AB的距離，故D錯(cuò).
23、答案：
解析：因?yàn)辄c(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面，所以 QUOTE ，解得.
24、答案：
解析：由于平面平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，故AF，AB，AD兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，所以，，，
設(shè)平面AGC的一個(gè)法向量為，則
令，得，
因此GB與平面AGC所成角的正弦值為.
25、答案：9
解析：由，得，
解得，，，.
26、答案：
解析：如圖所示，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接OF.以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以，，，，所以，，.顯然為平面BDF的一個(gè)法向量.設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為，則令，可得，所以，，所以，故二面角的正切值為.
27、答案：
解析：向量b在向量a上的投影是，所以向量b在向量a上的投影向量是，故答案為：.
28、答案：①②③
解析：,,兩兩垂直,故點(diǎn)為的垂心.
∵平面平面,故垂直于平面.
連接,與交于點(diǎn),則為的平面角, ,
故①②③正確.而④中由向量法求得點(diǎn)到平面的距離不為.
29、答案：;6
解析：.
30、答案：；
解析：連接BD，交AC點(diǎn)于點(diǎn)O，連接SO.由題意得平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為a，則，，，，.顯然平面ACB的一個(gè)法向量為.因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為.，所以，設(shè)二面角的平面角為，則觀察圖形知為鈍角，所以，故所求二面角的大小為.平面PAC與平面ABC所成角的范圍為，所以平面PAC與平面ABC所成角的大小為.
31、答案：；
解析：在上的投影的數(shù)量為，在平面ABCD上的投影為.
32、
（1）答案：證明見解析
解析：證明：，，，
四邊形ABCD是等腰梯形.
如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，
則，.
又，.
又，.
又，，，.
平面，平面，.
又，
平面PAD.
平面，.
（2）答案：
解析：以D為原點(diǎn)，DA，DB，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，.
設(shè)平面PAB的法向量為，
則即
取，得，，則.
設(shè)直線PD與平面PAB所成的角為，
則.
與平面PAB所成的角的正弦值為.
33、
（1）答案：證明見解析
解析：證明：如圖，連接OA.
因?yàn)镻O是三棱錐的高，
所以平面ABC，所以，，
所以.
又，，
所以，所以.
取AB的中點(diǎn)D，連接OD，DE，則有.
又，所以.
因?yàn)槠矫?，平面PAC，
所以平面PAC.
因?yàn)镈，E分別為AB，PB的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫?，平面PAC，所以平面PAC.
因?yàn)椋矫?，，所以平面平面PAC.
又平面ODE，所以平面PAC.
（2）答案：二面角的正弦值為
解析：由（1）知.以D為原點(diǎn)，分別以DB，DO所在直線為x軸、y軸，以過點(diǎn)D且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.
因?yàn)椋?，且，，所?
又，所以，，
所以，，，，
所以，.
設(shè)平面AEB的法向量為，
則
即所以.
取，得，所以.
設(shè)，則，
所以.
設(shè)平面AEC的法向量為，
則即
所以.
取，得，所以.
所以.
所以二面角的正弦值為.
34、
（1）答案：證明見解析
解析：，O為AC的中點(diǎn)，.
，O為AC的中點(diǎn)，.
，，，平面PBO，平面PBO，
平面PBO.
（2）答案：
解析：，，，O為AC的中點(diǎn)，，
，，，.
又，，平面PAC，
平面PAC.
分別以O(shè)B，OC，OP為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.
所以，，，，，
所以，.
記為平面AMP的法向量，
則，即，不妨令，則
而平面APC的法向量，
易知二面角的平面角為銳角記為，
則，.
35、
（1）答案：證明見解析
解析：由已知，
得，.
由于，故，
從而平面PAD.
又平面PAB，
所以平面平面PAD.
（2）答案：二面角的余弦值為
解析：如圖，在平面PAD內(nèi)作，垂足為F.
由（1）可知，平面PAD，故，可得平面ABCD.
以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
所以，，，.
所以，，，.
設(shè)是平面PCB的法向量，則，
即，可取.
設(shè)是平面PAB的法向量，則，
即，可取.
則.
所以二面角的余弦值為.
36、答案：1.如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè),,
則,,,,.
∵,,,
∴,,∴,.
又∵,且平面,平面,
∴平面.
又∵平面,
∴平面平面.
2.當(dāng)且為的中點(diǎn)時(shí), ,.
設(shè),則,
連接.
由1問知平面于.
∴為與平面所成的角.
∵,,
∴.
∴即與平面所成的角為.

解析：
37、答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)證明：直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分別是BC，，的中點(diǎn)，
平面ABCD，，
以D為原點(diǎn)，DA，DE，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則即
取，則.
，平面，
平面.
(2)由(1)得，
，
而平面的一個(gè)法向量，
點(diǎn)C到平面的距離.
38、
（1）答案：證明見解析
解析：四邊形ABCD、四邊形CDGF、四邊形ADGE均為正方形，
，，.
以D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，.
又點(diǎn)M在棱DG上，故可設(shè)，
，，
，.
（2）答案：當(dāng)點(diǎn)M在DG上，且時(shí)，直線MB與平面BEF所成的角為
解析：假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為.
設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為，
由（1）知，，
令，得，
.
直線MB與平面BEF所成的角為，
，解得.
又，，存在點(diǎn)滿足題意.
當(dāng)點(diǎn)M在DG上，且時(shí)，直線MB與平面BEF所成的角為.
39、答案：（1）證明：由題意可得，，從而.
又是直角三角形，所以.
如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，則，.
又是正三角形，所以.
所以為二面角的平面角.
在中，.
又，所以，
故.
所以平面平面ABC.
（2）由題設(shè)及（1）知，OA，OB，OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則，，，.
由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得.
故，，.
設(shè)是平面DAE的法向量，則即
可取.
設(shè)m是平面AEC的法向量，則同理可取，
則.
所以平面DAE與平面AEC夾角的余弦值為.
解析：
40、
（1）答案：見解析
解析：解法一：如圖，設(shè)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，連接PN，PM，
因?yàn)镹為AC的中點(diǎn)，所以PN為的中位線，所以.
又平面，平面，所以平面.
因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以.
又平面，平面，所以平面.
又，，平面MPN，所以平面平面MPN.
因?yàn)槠矫鍹PN，所以平面.
解法二：如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接，DN.
在三棱柱中，，.
因?yàn)镸，N，D分別為，AC，BC的中點(diǎn)，
所以，，，，
則且，
所以四邊形為平行四邊形，因此.
又平面，平面，
所以平面.
（2）答案：
解析：因?yàn)閭?cè)面為正方形，所以，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，而平面，所以.
選條件①：由（1）解法二得，因?yàn)?，所以?br>又，所以平面，
在三棱柱中，BA，BC，兩兩垂直，
故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC，BA，所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以，，，?br>所以，，.
設(shè)平面BMN的法向量為，
由得，得，令，得.
設(shè)直線AB與平面BMN所成角為，
則，
所以直線AB與平面BMN所成角的正弦值為.
選條件②：由（1）解法一知，，而，故.
又因?yàn)椋?
在和中，，，，則，
因此，即，故.
在三棱柱中，BA，BC，兩兩垂直，
故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC，BA，所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，.
設(shè)平面BMN的法向量為，
由，得，令，得.
設(shè)直線AB與平面BMN所成角為，
則，
所以直線AB與平面BMN所成角的正弦值為.
41、答案：1.證明: 設(shè)與交于,連接.
由已知可得四邊形是平行四邊形,所以是的中點(diǎn).
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以.
又平面,平面,
所以平面.
2.由于四邊形是菱形, 是中點(diǎn),可得.
又四邊形是矩形,面面,
∴面,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則
設(shè)平面的法向量為,則,
∴,令∴,
又平面的法向量,
∴,解得,
∴在線段上是否存在點(diǎn)P,當(dāng)時(shí)使二面角的大小為.
解析：
42、答案：(1)存在，.
(2)余弦值為.
解析：(1)取的中點(diǎn)P，連接CP交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求.
證明：連接PN，因?yàn)镹是AD的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，所以，
又平面MNC，平面MNC，
所以直線平面MNC.
因?yàn)?，所?
所以.
(2)連接AC.
由(1)知.
又平面ABCD，所以平面ABCD.
因?yàn)?，四邊形ABCD是菱形，
所以為正三角形，所以.
以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NC，ND，NP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
又，所以，
所以點(diǎn)，
則.
設(shè)平面的法向量，
則即
令，得.
設(shè)平面的法向量，
則即
令，得，
所以，
由圖易得二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
43、答案：(1)證明見解析
(2)線段FG上存在點(diǎn)M，使得平面MAB與平面AEG所成角的余弦值為，且
解析：(1)因?yàn)?，所以?br>又，所以.
因?yàn)?，?br>所以四邊形ABDE為等腰梯形，
又，所以，
所以，所以，即，
因?yàn)椋?，平面AEG，所以平面AEG，
又平面GEBF，所以平面平面AEG.
(2)由(1)知EA，EB，EG兩兩互相垂直.
以E為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?，四邊形GEBF是矩形，所以，
即，，.
假設(shè)線段FG上存在點(diǎn)M滿足題意，
令，則，，.
設(shè)平面MAB的一個(gè)法向量為，
則令，則.
由題知平面AEG的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面MAB與平面AEG所成角為，
則，，
所以，所以，即.
綜上，線段FG上存在點(diǎn)M，使得平面MAB與平面AEG所成角的余弦值為，且.

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