一、單選題
1．設(shè)集合，，若，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知正四棱臺(tái)的上?下底面邊長分別為和，且，則該棱臺(tái)的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知是函數(shù)在上的兩個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知向量，不共線，向量平分與的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．
C．向量，在上的投影向量相等D．
10．甲箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球，乙箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，用事件表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則（ ）
A．B．
C．D．
11．已知直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)，，曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)取最小值時(shí)， .
13．某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動(dòng)物體重（單位：克）與脈搏率（單位：心跳次數(shù)/分鐘）的對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)生物學(xué)常識(shí)和散點(diǎn)圖得出與近似滿足（為參數(shù)）.令，，計(jì)算得，，.由最小二乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則的值為 ；為判斷擬合效果，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得預(yù)測值，若殘差平方和，則決定系數(shù) .（參考公式：決定系數(shù)）
14．已知曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線的距離之和等于的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)在上，對給定的點(diǎn)，用表示的最小值，則的最小值為 .
四、解答題
15．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為.已知.
(1)求；
(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求的周長.
16．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，是等邊三角形，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求與平面所成角的正弦值.
17．已知函數(shù)，.
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極小值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，.
18．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的方程：
(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且，求的取值范圍：
(3)已知點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在定圓，使得當(dāng)過點(diǎn)能作圓的兩條切線，時(shí)（其中，分別是兩切線與的另一交點(diǎn)），總滿足？若存在，求出圓的半徑：若不存在，請說明理由.
19．某校開展科普知識(shí)團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)，該活動(dòng)共有兩關(guān)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)由位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場參加了闖關(guān)，該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束.已知團(tuán)隊(duì)每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為和，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.
(1)若，用表示團(tuán)隊(duì)闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束時(shí)上場闖關(guān)的成員人數(shù)，求的均值；
(2)記團(tuán)隊(duì)第位成員上場且闖過第二關(guān)的概率為，集合中元素的最小值為，規(guī)定團(tuán)隊(duì)人數(shù)，求.
參考答案：
1．A
【分析】
根據(jù)給定條件，利用集合元素的互異性及集合的包含關(guān)系列式計(jì)算即得.
【詳解】由，得，即，此時(shí)，
由，得，而，所以.
故選：A
2．D
【分析】
設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)模的意義列出方程即可判斷得解.
【詳解】令，由，得，
點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，位于第四象限，
故選：D
3．C
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)求和公式即可化簡求解.
【詳解】
根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，即，
故．
故選：C．
4．B
【分析】
根據(jù)正棱臺(tái)的幾何特點(diǎn)，結(jié)合已知條件，求得棱臺(tái)的高，再求棱臺(tái)體積即可.
【詳解】對正四棱臺(tái)，連接，取中點(diǎn)分別為，連接，如下所示：
因?yàn)闉檎睦馀_(tái)，則四邊形均為正方形，且垂直于上下底面，，
易知//，，故四邊形為平行四邊形，則//，且，
因?yàn)?，則，又，且，
由，即，解得；
由面，面，則；
則，
又正方形的面積為，正方形的面積為，
故正四棱臺(tái)的體積.
故選：B.
5．A
【分析】
求出點(diǎn)的坐標(biāo)，借助向量坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程求解即得.
【詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，由，得，
則，而點(diǎn)在橢圓上，于是，解得，
所以的離心率為.
故選：A
6．D
【分析】
利用函數(shù)的奇偶性、定義域結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判定即可.
【詳解】觀察圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，
對于A，，為奇函數(shù)，排除；
對于B，，為奇函數(shù)，排除；
同理，C、D選項(xiàng)為偶函數(shù)，而對于C項(xiàng)，其定義域?yàn)?，不是R，舍去，故D正確.
故選：D
7．C
【分析】
結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較，與，的大小，然后結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及基本不等式比較，的大小，即可求解．
【詳解】
由題意得，，
因?yàn)?，即?br>，即，
因?yàn)?，所以?br>故．
故選：C．
8．A
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的對稱性可得，進(jìn)而代入化簡，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】
令，得，
，，
因?yàn)槭呛瘮?shù)在上的兩個(gè)零點(diǎn)，
則是在上的兩個(gè)根，
故，故，
則
.
故選：A．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的對稱性得到的關(guān)系，從而得解.
9．BC
【分析】
根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的幾何意義可得，再借助數(shù)量積的運(yùn)算律逐項(xiàng)分析判斷即得.
【詳解】作向量，在中，，，
由向量平分與的夾角，得是菱形，即，
對于A，與不一定垂直，A錯(cuò)誤；
對于B，，即，B正確；
對于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正確；
對于D，由選項(xiàng)A知，不一定為0，則與不一定相等，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10．ABD
【分析】
根據(jù)條件概率的概率公式及全概率的概率公式計(jì)算可得.
【詳解】依題意可得，，，，
所以，故A正確、B正確、C錯(cuò)誤；
，故D正確.
故選：ABD
11．ACD
【分析】對于A，構(gòu)造函數(shù)，計(jì)算即可判斷；對于B，寫出點(diǎn)處的切線程聯(lián)立并化簡得，而，計(jì)算即可判斷；對于C，根據(jù)斜率相等可得，為兩切線的交點(diǎn)代入化簡得，再計(jì)算可得；對于D，根據(jù)，計(jì)算即可判斷.
【詳解】令，則，
故時(shí)，遞增；時(shí)，遞減，
所以的極大值，且，，
因?yàn)橹本€與曲線相交于?兩點(diǎn)，
所以與圖像有2個(gè)交點(diǎn)，
所以，故A正確；
設(shè)，且，可得，
在點(diǎn)處的切線程為
，得，即，
因?yàn)?，所以，即，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)闉閮汕芯€的交點(diǎn)，
所以，
即，所以，
所以，故C正確；
因?yàn)?，所以，所以?br>同理得，得，即，
因?yàn)椋?，故D正確.
故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷B，關(guān)鍵在于根據(jù)切線方程聯(lián)立求得，而兩點(diǎn)得斜率即為直線得斜率得，化簡可得；判斷C，根據(jù)斜率相等得，根據(jù)在切線上，代入化簡計(jì)算可得，計(jì)算得后即可判斷，判斷D，關(guān)鍵在于利用不等式進(jìn)行計(jì)算化簡即可判斷.
12．3
【分析】
根據(jù)求得，再結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，，滿足，故；
則，
又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，也即時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
13．
【分析】
根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)求出，即可求出，再根據(jù)決定系數(shù)公式求出.
【詳解】因?yàn)?，兩邊取對?shù)可得，
又，，
依題意回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)，
所以，解得，所以，
又.
故答案為：；
14．2
【分析】
根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合圖形并借助到兩點(diǎn)距離的和不小于這兩點(diǎn)間距離求出最小值即得.
【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則，
化簡得：，即；
當(dāng)時(shí)，，則，
化簡得，，即，
對于曲線上的任意一點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號，
而，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)時(shí)取等號，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)重合于時(shí)取等號，
所以的最小值為2.
故答案為：2

【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
15．(1)；
(2)
【分析】
（1）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理，化簡已知條件，結(jié)合的范圍，即可求得結(jié)果；
（2）利用平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，求得，即可求得三角形周長.
【詳解】（1）由，則，
又，故.
（2）由（1）可知，，又，則；
由題可知，，
故，
所以，
因?yàn)?，所以，?br>在中，，
故的周長為.
16．(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】
（1）取中點(diǎn)，由已知條件，結(jié)合線面平行的判斷推理即得.
（2）過作于點(diǎn)，借助三角形全等，及線面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，得，
又，則，因此四邊形為平行四邊形，
于是，而平面平面，
所以平面.
（2）過作于點(diǎn)，連接，由，得≌，
則，即，而，
因此，又平面，則平面，平面，
所以平面平面.
（3）由（2）知，直線兩兩垂直，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，
設(shè)與平面所成角為，，
所以與平面所成角的正弦值是.
17．(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極小值為1；
(2)證明見解析.
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間及極值.
（2）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合基本不等式推理即得.
【詳解】（1）函數(shù)，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以的遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為，的極小值為.
（2）當(dāng)時(shí)，令，
求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，在上單調(diào)遞增，
因此，所以.
18．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】
（1）根據(jù)焦距以及經(jīng)過的點(diǎn)即可聯(lián)立求解，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡得，根據(jù)弦長公式，結(jié)合不等式即可求解，
（3）根據(jù)圓心到直線的距離可得，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算可判斷，結(jié)合對稱性即可求解；或者利用切線關(guān)系得,根據(jù)斜率相乘關(guān)系，代入韋達(dá)定理化簡可得半徑.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
故雙曲線方程為
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè),
將其代入雙曲線方程，
又，解得，
此時(shí)，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè),
聯(lián)立，
故，
則
，
化簡得，此時(shí)，
所以
，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
，故，
因此，
綜上可得.

（3）解法一：當(dāng)直線與相切時(shí)，
圓心到直線的距離，
設(shè)設(shè),
類似（2）中的計(jì)算可得
，
所以，
由雙曲線的對稱性，延長交雙曲線于另一點(diǎn),
則，且，
根據(jù)軸對稱性可得,且直線與也相切，即即為,
符合題意，

當(dāng)或斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，顯然滿足題意，
故存在這樣的圓，半徑為
解法二：

設(shè)，，
由于為圓的切線，平分，且,所以,
設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為（直線斜率存在時(shí)）
，
，將兩根記為，
，
同理可得
故
，
故存在這樣的圓，半徑為
當(dāng)或斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，顯然滿足題意，
故存在這樣的圓，半徑為
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，如本題需先將用k表示出來，然后再利用基本不等式長最值．
19．(1)；
(2)7.
【分析】
（1）求出的所有可能值及各個(gè)值對應(yīng)的概率，再求出期望.
（2）利用互斥事件的概率公式，求出第位成員闖過第二關(guān)的概率，再列出不等式求解即得.
【詳解】（1）依題意，的所有可能取值為，
，，
所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
（2）令，若前位玩家都沒有通過第一關(guān)測試，
其概率為，
若前位玩家中第位玩家才通過第一關(guān)測試，
則前面位玩家無人通過第一關(guān)測試，其概率為，第位玩家通過第一關(guān)測試，
但沒有通過第二關(guān)測試，其概率為，
第位玩家到第位玩家都沒有通過第二關(guān)測試，其概率為，
所以前面位玩家中恰有一人通過第一關(guān)測試的概率為：
，
因此第位成員闖過第二關(guān)的概率，
由，得，解得，則，所以.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.
1
2
3

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