1．如圖，為了估計一池塘岸邊兩點(diǎn)A，B之間的距離，小穎同學(xué)在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)P，測得PA＝100m，PB＝90m，那么點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離可能是（ ）
A．10mB．120mC．190mD．220m
2．下面由北京冬奧會比賽項(xiàng)目圖標(biāo)組成的四個圖形中，可看作軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．若不等式﹣3x＜1，兩邊同時除以﹣3，得（ ）
A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞D．x＜
4．將一副三角尺按如圖的方式擺放，其中l(wèi)1∥l2，則∠α的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．70°
5．如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，使△ABC≌△DFE，需添加一個條件，下列所給的條件及相應(yīng)的判定定理不正確的是（ ）
A．AB＝DF（SAS）B．∠B＝∠F（AAS）
C．BC＝FE（SSA）D．∠ACB＝∠DEF（ASA）
6．給出下列命題：①三角形任何兩邊之和大于第三邊；②三角形任何一外角等于兩內(nèi)角之和；③兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，下列屬于真命題的是（ ）
A．①③B．②③C．①②D．①
7．如圖，若△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，BB′交MN于點(diǎn)O，則下列說法中不一定正確的是（ ）
A．AC＝A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MND．BO＝B′O
8．如圖，∠BAC＝100°，AB＞AC．若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)是（ ）
A．20°B．60°C．50°D．40°
9．已知銳角∠AOB＝40°，如圖，按下列步驟作圖：①在OA邊取一點(diǎn)D，以O(shè)為圓心，OD長為半徑畫弧MN，交OB于點(diǎn)C，連接CD．②以D為圓心，DO長為半徑畫弧GH，交OB于點(diǎn)E，連接DE．則∠CDE的度數(shù)為（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
10．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC．O為AC中點(diǎn)，OE⊥OD交AB于點(diǎn)E，EF⊥CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，BO的延長線交DC于點(diǎn)G．若，則下列結(jié)論正確的（ ）
①OE＝OD；
②BG＝CM；
③若AB＝10，則四邊形AEOD的面積為25；
④OE：AD＝：1．
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題（每題3分，共24分）
11．如圖，若∠α＝38°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，則∠AOB的度數(shù)為 ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)；再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)D．若CD＝3，則點(diǎn)D到AB的距離是 ．
13．按照下面給定的計算程序，當(dāng)x＝﹣2時，輸出的結(jié)果是 ；使代數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)x是 ．
14．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上一動點(diǎn)，則△ABP周長的最小值是 ．
15．直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm，則其面積是 cm2．
16．如圖是長方形紙帶a，∠DEF＝20°，將紙帶沿EF折疊成圖b，則∠AEG的度數(shù)為 度，再沿BF折疊成圖c，則圖中的∠CFE的度數(shù)是 度．
17．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．現(xiàn)將△ABC按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則DE的長為 ．
18．如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，連接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'與AB交于點(diǎn)E，連接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點(diǎn)D到BC的距離為 ．
三、解答題（共46分）
19．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請按要求完成下列問題（僅用無刻度的直尺作圖，且保留必要的作圖痕跡）：
（1）在AB上找一點(diǎn)D，使CD⊥AB；
（2）在AC上找一點(diǎn)E，使BE平分∠ABC．
20．莆仙戲是現(xiàn)存最古老的地方戲劇種之一，被稱為“宋元南戲的活化石”，2021年5月莆仙戲《踏傘行》獲評為“2020年度國家舞臺藝術(shù)精品創(chuàng)作扶持工程重點(diǎn)扶持劇目”．該劇中“油紙傘”無疑是最重要的道具，依傘設(shè)戲，情節(jié)新穎，結(jié)構(gòu)巧妙，譜寫了一曲美輪美奐、詩意盎然的傳統(tǒng)戲曲樂歌．“油紙傘”的制作工藝十分巧妙．如圖，傘圈D沿著傘柄滑動時，總有傘骨BD＝CD，AB＝AC，從而使得傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC．為什么？
21．已知：如圖，點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AB＝DC，∠B＝∠C，BE＝CF．
（1）求證：△ABF≌△DCE．
（2）若∠AGE＝80°，求∠AFE的度數(shù)．
22．如圖，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分線，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，∠ACB＝50°，∠BAD＝70°．
（1）求∠AEC的度數(shù)；
（2）若△BCF與△BAF的周長差為3，AB＝7，能否求出BC的值？若能，請寫出理由和結(jié)果；若不能，請你補(bǔ)充條件并解答．
23．如圖，在等邊三角形ABC中，D是AB上的一點(diǎn)，E是CB延長線上一點(diǎn)，連接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求證：△DEC是等腰三角形．
（2）當(dāng)∠BDC＝5∠EDB，EC＝8時，求△EDC的面積．
24．問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ；
探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以70海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以90海里/小時的速度，前進(jìn)2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．
參考答案
一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，共30分）
1．如圖，為了估計一池塘岸邊兩點(diǎn)A，B之間的距離，小穎同學(xué)在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)P，測得PA＝100m，PB＝90m，那么點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離可能是（ ）
A．10mB．120mC．190mD．220m
【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可以確定BC的取值范圍，從而可以解答本題．
解：∵在△ABC中，PA＝100m，PB＝90m，
∴100﹣90＜AB＜100+90，
∴10＜AB＜190，
故點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離可能是120m．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
2．下面由北京冬奧會比賽項(xiàng)目圖標(biāo)組成的四個圖形中，可看作軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．
解：選項(xiàng)A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．
選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．
3．若不等式﹣3x＜1，兩邊同時除以﹣3，得（ ）
A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞D．x＜
【分析】利用不等式的性質(zhì)解答即可．
解：不等式﹣3x＜1，兩邊同時除以﹣3，得x＞﹣．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)．解不等式依據(jù)不等式的性質(zhì)，在不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號的方向改變．特別是在系數(shù)化為1這一個過程中要注意不等號的方向的變化．
4．將一副三角尺按如圖的方式擺放，其中l(wèi)1∥l2，則∠α的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．70°
【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠ABC，再根據(jù)∠CBD＝90°，即可得到∠α＝90°﹣30°＝60°．
解：如圖所示，∵l1∥l2，
∴∠A＝∠ABC＝30°，
又∵∠CBD＝90°，
∴∠α＝90°﹣30°＝60°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
5．如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，使△ABC≌△DFE，需添加一個條件，下列所給的條件及相應(yīng)的判定定理不正確的是（ ）
A．AB＝DF（SAS）B．∠B＝∠F（AAS）
C．BC＝FE（SSA）D．∠ACB＝∠DEF（ASA）
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．
解：A．AB＝DF，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∠B＝∠F，∠A＝∠D，AC＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DFE，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．∠A＝∠D＝90°，BC＝FE，AC＝DE，符合兩直角三角形全等的判定定理HL（不是SSA），能推出△ABC≌△DFE，故本選項(xiàng)符合題意；
D．∠ACB＝∠DEF，AC＝DE，∠A＝∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DFE，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．
6．給出下列命題：①三角形任何兩邊之和大于第三邊；②三角形任何一外角等于兩內(nèi)角之和；③兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，下列屬于真命題的是（ ）
A．①③B．②③C．①②D．①
【分析】利用三角形的三邊關(guān)系、外角的性質(zhì)、全等三角形的判定方法等知識分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
解：①三角形任何兩邊之和大于第三邊，正確，是真命題，符合題意；
②三角形任何一外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
③兩邊和夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．
真命題有①，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及定理，難度不大．
7．如圖，若△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，BB′交MN于點(diǎn)O，則下列說法中不一定正確的是（ ）
A．AC＝A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MND．BO＝B′O
【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、C、D選項(xiàng)正確，
AB∥B′C′不一定成立，故B選項(xiàng)錯誤，
所以，不一定正確的是B．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查軸對稱的性質(zhì)與運(yùn)用，對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個對應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等．
8．如圖，∠BAC＝100°，AB＞AC．若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)是（ ）
A．20°B．60°C．50°D．40°
【分析】由AB＝AC，∠BAC＝100°，可求得∠B+∠C的度數(shù)，又由MP，NQ分別垂直平分AB，AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AP＝BP，AQ＝CQ，繼而求得∠BAP+∠CAQ的度數(shù)，則可求得答案．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∵M(jìn)P，NQ分別垂直平分AB，AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝80°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝20°．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
9．已知銳角∠AOB＝40°，如圖，按下列步驟作圖：①在OA邊取一點(diǎn)D，以O(shè)為圓心，OD長為半徑畫弧MN，交OB于點(diǎn)C，連接CD．②以D為圓心，DO長為半徑畫弧GH，交OB于點(diǎn)E，連接DE．則∠CDE的度數(shù)為（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】由作圖步驟①，可知OC＝OD，利用等邊對等角，可得出∠OCD＝∠ODC，在△OCD中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出∠OCD的度數(shù)，由作圖步驟②，可知DO＝DE，利用等邊對等角，可求出∠DEO的度數(shù)，由∠OCD是△CDE的外角，再利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出∠CDE的度數(shù)．
解：由作圖步驟①可知：OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC．
在△OCD中，∠COD＝40°，∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCD＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣40°）＝70°．
由作圖步驟②可知：DO＝DE，
∴∠DEO＝∠DOE＝40°．
∵∠OCD是△CDE的外角，
∴∠OCD＝∠DEC+∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD﹣∠DEC＝70°﹣40°＝30°．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)作圖的步驟，找出OC＝OD＝DE是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC．O為AC中點(diǎn)，OE⊥OD交AB于點(diǎn)E，EF⊥CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，BO的延長線交DC于點(diǎn)G．若，則下列結(jié)論正確的（ ）
①OE＝OD；
②BG＝CM；
③若AB＝10，則四邊形AEOD的面積為25；
④OE：AD＝：1．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推導(dǎo)出∠OBE＝∠OAD，OB＝OA＝OC＝AC，∠BOE＝∠AOD＝90°﹣∠AOE，即可證明△BOE≌△AOD，得OE＝OD，可判斷①正確；
由∠DOG＝∠EOM，∠ODG＝90°﹣∠DIF＝90°﹣∠OIE＝∠OEM，OD＝OE，可證明△ODG≌△OEM，得OG＝OM，則OG+OB＝OM+OC，所以BG＝CM，可判斷②正確，
由S四邊形AEOD＝S△AOE+S△AOD＝S△AOE+S△BOE＝S△AOB＝S△ABC≠S△ABC，可判斷③錯誤；
連接DE，設(shè)AD＝BE＝m，由＝，可推導(dǎo)出AB＝BC＝3m，AE＝AB﹣BE＝2m，則2OE2＝m2+（2m）2，得OE＝m，所以＝，可判斷④正確，于是得到問題的答案．
解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠BCA＝45°，
∵O為AC中點(diǎn)，
∴BO⊥AC，∠OBE＝∠OBC＝∠ABC＝45°，
∴∠OBE＝∠OAD，OB＝OA＝OC＝AC，
∵OE⊥OD，
∴∠AOB＝∠DOE＝∠AOG＝90°，
∴∠BOE＝∠AOD＝90°﹣∠AOE，∠DOG＝∠EOM＝90°﹣∠AOD，
在△BOE和△AOD中，
，
∴△BOE≌△AOD（ASA），
∴OE＝OD，BE＝AD，
故①正確；
∵EF⊥CD于點(diǎn)F，
∴∠EFD＝90°，
∵∠DIF＝∠OIE，
∴∠ODG＝90°﹣∠DIF＝90°﹣∠OIE＝∠OEM，
在△ODG和△OEM中，
，
∴△ODG≌△OEM（ASA），
∴OG＝OM，
∴OG+OB＝OM+OC，
∴BG＝CM，
故②正確；
∵OA＝OC，
∴S△AOB＝S△COB＝S△ABC，
∵S△AOD＝S△BOE，
∴S四邊形AEOD＝S△AOE+S△AOD＝S△AOE+S△BOE＝S△AOB＝S△ABC≠S△ABC，
故③錯誤；
連接DE，設(shè)AD＝BE＝m，
∵＝，
∴AB＝BC＝3m，
∴AE＝AB﹣BE＝2m，
∵∠DOE＝∠DAE＝90°，OE＝OD，
∴2OE2＝OE2+OD2＝AD2+AE2＝DE2，
∴2OE2＝m2+（2m）2，
∴OE＝m，
∴＝＝，
故④錯誤，
故選：B．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識，正確地作出輔助線并且證明△BOE≌△AOD及△ODG≌△OEM是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每題3分，共24分）
11．如圖，若∠α＝38°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，則∠AOB的度數(shù)為 76° ．
【分析】由尺規(guī)作圖的作法得到∠AOB＝2∠α，代入數(shù)據(jù)即可得到答案．
解：由尺規(guī)作圖可知，∠AOB＝2∠α，
∵∠α＝38°，
∴∠AOB＝76°，
故答案為：76°．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖，熟練掌握基本作圖的方法是解題的關(guān)鍵．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)；再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)D．若CD＝3，則點(diǎn)D到AB的距離是 3 ．
【分析】作DM⊥AB于點(diǎn)M，由作圖知AD平分∠BAC且CD＝3，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出DM＝DC＝3．
解：如圖所示，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，
由作圖知AD平分∠BAC，且CD＝3，
∴DM＝DC＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評】本題主要考查作圖—基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的尺規(guī)作圖和角平分線的性質(zhì)．
13．按照下面給定的計算程序，當(dāng)x＝﹣2時，輸出的結(jié)果是 1 ；使代數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)x是 7 ．
【分析】由運(yùn)算程序可計算出當(dāng)x＝2時，輸出結(jié)果，求得使代數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)x是7．
解：當(dāng)x＝﹣2時，第1次運(yùn)算結(jié)果為2×（﹣2）+5＝1，
∴當(dāng)x＝﹣2時，輸出結(jié)果是1，
使代數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)x是7，
故答案為：1，7．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上一動點(diǎn)，則△ABP周長的最小值是 17 ．
【分析】連接PC，如圖，先由勾股定理得AC的長，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PB＝PC，則PA+PB＝PA+PC，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得到PA+PC≥AC（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、C共線時取等號），則PA+PC的最小值為AC的長，所以△ABP周長的最小值＝AB+AC．
解：連接PC，如圖，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，
∴AC＝＝12，
∵EF垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PA+PB＝PA+PC，
∵PA+PC≥AC（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、C共線時取等號），
∴PA+PC的最小值為AC的長，
∴△ABP周長的最小值＝AB+AC＝5+12＝17．
故答案為：17．
【點(diǎn)評】此題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃叹€路問題、線段垂直平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
15．直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm，則其面積是 6 cm2．
【分析】根據(jù)周長列出關(guān)于另外兩直角邊的關(guān)系，再利用勾股定理列出另一關(guān)系，聯(lián)立即可解得兩直角邊之積，再進(jìn)行面積的計算．
解：設(shè)另外兩直角邊分別為x，y．
則x+y+5＝12 ①
x2+y2＝25②
①②聯(lián)立解得xy＝12，
故直角三角形的面積為．
【點(diǎn)評】考查根據(jù)已知條件列方程的能力，并與直角三角形的面積結(jié)合起來進(jìn)行簡單應(yīng)用．注意不需要解出兩直角邊的長．
16．如圖是長方形紙帶a，∠DEF＝20°，將紙帶沿EF折疊成圖b，則∠AEG的度數(shù)為 140 度，再沿BF折疊成圖c，則圖中的∠CFE的度數(shù)是 120 度．
【分析】由折疊知∠DEF＝∠GEF＝20°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEF+∠GFE＝180°，然后再求∠CFE的度數(shù)．
解：∵∠DEF＝20°，
∴∠FEG＝20°，
∴∠AEG＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵AE∥BF，
∴∠AEF+∠GFE＝180°，
∵∠AEF＝180°﹣20°＝160°，
∴∠GFE＝20°，
∴∠CFE＝180°﹣20°×3＝120°，
故答案為：140；120．
【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和圖形的折疊，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，折疊前后角的度數(shù)不變．
17．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．現(xiàn)將△ABC按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則DE的長為 ．
【分析】根據(jù)勾股定理可求AB＝10，由折疊的性質(zhì)可得BE＝AE，AD＝BD＝5，DE⊥AB，根據(jù)勾股定理可求BE的長，DE的長．
解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵將△ABC按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，
∴BE＝AE，AD＝BD＝5，DE⊥AB，
在Rt△BEC中，BE2＝BC2+CE2，
∴BE2＝36+（8﹣BE）2，
∴BE＝，
在Rt△BDE中，DE＝＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換，勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
18．如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，連接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'與AB交于點(diǎn)E，連接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點(diǎn)D到BC的距離為 ．
【分析】連接CC'，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥BC'于點(diǎn)H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，證△ADC'為等邊三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的長，在△BDC'中利用面積法求出DH的長，則可得出答案．
解：如圖，連接CC'，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥BC'于點(diǎn)H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC邊上的中點(diǎn)，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'為等邊三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝＝＝，
∵S△BDC'＝BC'?DH＝BD?CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
∵∠DCB＝∠DBC'，
∴點(diǎn)D到BC的距離為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，解題關(guān)鍵是會通過面積法求線段的長度．
三、解答題（共46分）
19．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請按要求完成下列問題（僅用無刻度的直尺作圖，且保留必要的作圖痕跡）：
（1）在AB上找一點(diǎn)D，使CD⊥AB；
（2）在AC上找一點(diǎn)E，使BE平分∠ABC．
【分析】（1）取格點(diǎn)T，連接CT交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求；
（2）取格點(diǎn)P，連接AP，取AP的中點(diǎn)Q，連接BQ交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求．
【解答】解；（1）如圖，點(diǎn)D即為所求；
（2）如圖，點(diǎn)E即為所求．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形的高，角平分線等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．
20．莆仙戲是現(xiàn)存最古老的地方戲劇種之一，被稱為“宋元南戲的活化石”，2021年5月莆仙戲《踏傘行》獲評為“2020年度國家舞臺藝術(shù)精品創(chuàng)作扶持工程重點(diǎn)扶持劇目”．該劇中“油紙傘”無疑是最重要的道具，依傘設(shè)戲，情節(jié)新穎，結(jié)構(gòu)巧妙，譜寫了一曲美輪美奐、詩意盎然的傳統(tǒng)戲曲樂歌．“油紙傘”的制作工藝十分巧妙．如圖，傘圈D沿著傘柄滑動時，總有傘骨BD＝CD，AB＝AC，從而使得傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC．為什么？
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABD≌△ACD（SSS），進(jìn)而得出答案．
解：AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC，
理由：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
即AP平分∠BAC．
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確得出△ABD≌△ACD是解題關(guān)鍵．
21．已知：如圖，點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AB＝DC，∠B＝∠C，BE＝CF．
（1）求證：△ABF≌△DCE．
（2）若∠AGE＝80°，求∠AFE的度數(shù)．
【分析】（1）由BE＝CF，兩邊加上EF，得到BF＝CE，利用SAS即可得證．
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．
【解答】（1）證明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴GE＝GF，
∵∠AGE＝80°，
∴∠EGF＝180°﹣80°＝100°，
∴∠AFE＝＝40°．
【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
22．如圖，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分線，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，∠ACB＝50°，∠BAD＝70°．
（1）求∠AEC的度數(shù)；
（2）若△BCF與△BAF的周長差為3，AB＝7，能否求出BC的值？若能，請寫出理由和結(jié)果；若不能，請你補(bǔ)充條件并解答．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)角平分線的定義求出∠ECB，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可；
（2）根據(jù)三角形的中線的定義得到AF＝FC，再根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．
解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°，
∵CE是△ACB的角平分線，∠ACB＝50°，
∴∠ECB＝∠ACB＝×50°＝25°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠ECB＝20°+25°＝45°；
（2）能求出BC的值，
理由如下：∵F是AC中點(diǎn)，
∴AF＝FC，
∵△BCF與△BAF的周長差為3，
∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，
∴BC﹣AB＝3，
∵AB＝7，
∴BC＝3+7＝10．
【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的高、中線、角平分線，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，在等邊三角形ABC中，D是AB上的一點(diǎn)，E是CB延長線上一點(diǎn)，連接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求證：△DEC是等腰三角形．
（2）當(dāng)∠BDC＝5∠EDB，EC＝8時，求△EDC的面積．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)∠EDB＝α，則∠BDC＝5α，得∠E＝∠DCE＝60°﹣α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得α＝15°，過D作DH⊥CE于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得DH的長，進(jìn)而可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：設(shè)∠EDB＝α，則∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如圖，過D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面積＝EC?DH＝8×4＝16．
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．
24．問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 EF＝BE+DF ；
探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以70海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以90海里/小時的速度，前進(jìn)2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．
【分析】問題背景：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，證明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，證明EF＝FG，得到答案；
探索延伸：連接EF，延長AE，BF相交于點(diǎn)C，利用全等三角形的性質(zhì)證明EF＝AE+FB．
實(shí)際應(yīng)用：如圖3，連接EF，延長AE，BF相交于點(diǎn)C，首先證明，∠FOE＝∠AOB，利用結(jié)論EF＝AE+BF求解即可．
解：問題背景：由題意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE＝DG，EF＝GF，
∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．
故答案為：EF＝BE+FD．
探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．
理由：如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，
＝∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD．
實(shí)際應(yīng)用：如圖3，連接EF，延長AE，BF相交于點(diǎn)C，
在四邊形AOBC中，
∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的條件，
∴結(jié)論EF＝AE+FB成立．
即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）
答：此時兩艦艇之間的距離為320海里．
【點(diǎn)評】本題考查的是四邊形知識的綜合運(yùn)用，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)、理解方位角的概念是解題的關(guān)鍵，注意規(guī)律的總結(jié)和運(yùn)用．

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