專題16 作圖與圖形變換5年（2019-2023）中考1年模擬數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)1 作圖與圖形變換
一、單選題
1．（2023年貴州省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四邊形中，，，．按下列步驟作圖：①以點(diǎn)D為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；③連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．則的長(zhǎng)是（）

A．2B．3C．4D．5
2．（2023年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則（）

A．B．C．D．
3．（2023年新疆維吾爾族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為( )

A．B．1C．D．2
4．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線分別與邊相交于點(diǎn)D，E，連接．若，則的長(zhǎng)為（）

A．9B．8C．7D．6
5．（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）綜合實(shí)踐課上，嘉嘉畫出，利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C，使得四邊形為平行四邊形．圖1~圖3是其作圖過程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（）
A．兩組對(duì)邊分別平行B．兩組對(duì)邊分別相等
C．對(duì)角線互相平分D．一組對(duì)邊平行且相等
6．（2023年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)真題）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程：
下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（）
A．兩點(diǎn)確定一條直線
B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
C．與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上
D．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
7．（2023年遼寧省本溪市、鐵嶺市、遼陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．
8．（2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（）

A．B．C．D．
9．（2023年黑龍江龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．
10．（2023年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：
第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平；
第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕，如圖②．
根據(jù)以上的操作，若，，則線段的長(zhǎng)是（）

A．3B．C．2D．1
11．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）直三棱柱的表面展開圖如圖所示，，，，四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)距離最大的是（）

A．點(diǎn)B．點(diǎn)C．點(diǎn)D．點(diǎn)
12．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）在中，根據(jù)下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷與大小關(guān)系的是（）
A．B．
C．D．
13．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在中，，以B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，分別以M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，射線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，若，則的周長(zhǎng)是（）

A．8B．C．D．
14．（2021·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的大小為（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
15．（2020·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，，分別以和為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和，直線與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則的內(nèi)切圓半徑是（）
A．4B．C．2D．
16．（2019·河北·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（）
A．B．
C．D．
二、填空題
17．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，．以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧交邊于點(diǎn)，連接．分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的值為．

18．（2023年遼寧省本溪市、鐵嶺市、遼陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在三角形紙片中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將三角形紙片沿對(duì)折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為．

19．（2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，則的大小為度．

20．（2023年吉林省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)D，作直線交于點(diǎn)E．若，則的大小為度．

21．（2023年吉林省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，．點(diǎn)，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)剛好落在邊上，，則的長(zhǎng)為．

22．（2023年黑龍江龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）在中，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，面積的最大值是．
23．（2023年江蘇省徐州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上．將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則的最小值為．

24．（2021·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，．①以點(diǎn)為圓心，以不大于長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線分別交，于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，則長(zhǎng)為．
25．（2020·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知平行四邊形ABCD，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠DAB的內(nèi)部相交于點(diǎn)G，畫射線AG交DC于H．若∠B＝140°，則∠DHA＝．
三、解答題
26．（2023年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖是的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中作銳角，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上；
(2)在圖2中的線段上作點(diǎn)Q，使最短．
27．（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)真題）（1）觀察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，老師向同學(xué)們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請(qǐng)你結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí)，觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫出三個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征：___________，___________．

（2）動(dòng)手操作：請(qǐng)?jiān)趫D④中設(shè)計(jì)一個(gè)新的圖案，使其滿足你在（1）中發(fā)現(xiàn)的共同特征．

28．（2023年河南省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，中，點(diǎn)D在邊上，且．

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．
(2)若（1）中所作的角平分線與邊交于點(diǎn)E，連接．求證：．
29．（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，正方形四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，是上的格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．

(1)在圖（1）中，先將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫對(duì)應(yīng)線段，再在上畫點(diǎn)，并連接，使；
(2)在圖（2）中，是與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，先畫點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，再在上畫點(diǎn)，并連接，使．
30．（2023年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，．

(1)在斜邊上求作線段，使，連接；
（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）
(2)若，求的長(zhǎng)．
31．（2023年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)真題）1672年，丹麥數(shù)學(xué)家莫爾在他的著作《歐幾里得作圖》中指出：只用圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖．1797年，意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼又獨(dú)立發(fā)現(xiàn)此結(jié)論，并寫在他的著作《圓規(guī)的幾何學(xué)》中．請(qǐng)你利用數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下面的作圖題：
如圖，已知，是上一點(diǎn)，只用圓規(guī)將的圓周四等分．（按如下步驟完成，保留作圖痕跡）

①以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑，自點(diǎn)起，在上逆時(shí)針方向順次截??；
②分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于上方點(diǎn)；
③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于，兩點(diǎn)．即點(diǎn)，，，將的圓周四等分．
32．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
任務(wù)：
(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．
依據(jù)2是指：_____________．
(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫一個(gè)四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時(shí)畫出四邊形的對(duì)角線）
(3)在圖1中，分別連接得到圖3，請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

33．（2023年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題）已知：如圖，點(diǎn)M在的邊上．
求作：射線，使．且點(diǎn)N在的平分線上．
作法：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交射線，于點(diǎn)C，D．
②分別以點(diǎn)C，D為圓心．大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P．
③畫射線．
④以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)N．
⑤畫射線．
射線即為所求．

(1)用尺規(guī)作圖，依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；
(2)根據(jù)以上作圖過程，完成下面的證明．
證明：∵平分．
∴ ① ，
∵，
∴ ② ，( ③ )．(括號(hào)內(nèi)填寫推理依據(jù))
∴．
∴．( ④ )．(填寫推理依據(jù))
34．（2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作，點(diǎn)C在格點(diǎn)上．

(1)在圖①中，的面積為；
(2)在圖②中，的面積為5
(3)在圖③中，是面積為的鈍角三角形．
35．（2023年吉林省中考數(shù)學(xué)真題）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中以為邊各畫一個(gè)等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

36．（2023年黑龍江龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，．

(1)將向上平移4個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到，請(qǐng)畫出．
(2)請(qǐng)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的．
(3)將著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，求線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果保留）．
37．（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題）已知：點(diǎn)是外一點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：如圖，過點(diǎn)作出的兩條切線，，切點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）
(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且．求的度數(shù)．
38．（2023年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)真題）在中，，，，D為的中點(diǎn)，以為直角邊作含角的，，且點(diǎn)E與點(diǎn)A在的同側(cè)，請(qǐng)用尺規(guī)或三角板作出符合條件的圖形，并直接寫出線段的長(zhǎng)．
39．（2023年江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知，點(diǎn)M是上的一個(gè)定點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D1中作，使得與射線相切于點(diǎn)M，同時(shí)與相切，切點(diǎn)記為N；
(2)在（1）的條件下，若，則所作的的劣弧與所圍成圖形的面積是_________．
40．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以自身的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點(diǎn)的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對(duì)稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對(duì)稱．
例如：如圖①，先將以點(diǎn)為位似中心縮小，得到，再將沿過點(diǎn)的直線翻折，得到，則與成自位似軸對(duì)稱．

(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對(duì)三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對(duì)稱的是________（填寫所有符合條件的序號(hào)）；
(2)如圖③，已知經(jīng)過自位似軸對(duì)稱變換得到，是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)，使與是該變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；
(3)如圖④，在中，是的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，求證：．
41．（2021·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交射線于，兩點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，且（當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)，點(diǎn)，也重合）．設(shè)，兩點(diǎn)間的距離為，，兩點(diǎn)間的距離為．
小剛根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)因變量隨著自變量的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．
下面是小剛的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
（1）列表：下表的已知數(shù)據(jù)是根據(jù)，兩點(diǎn)間的距離進(jìn)行取點(diǎn)，畫圖，測(cè)量分別得到了與的幾組對(duì)應(yīng)值；
請(qǐng)你通過計(jì)算補(bǔ)全表格：______；
（2）描點(diǎn)、連線：在平面直角坐標(biāo)系中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫出函數(shù)關(guān)于的圖像；
（3）探究性質(zhì)：隨著自變量的不斷增大，函數(shù)的變化趨勢(shì)；
（4）解決問題：當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度大約是______．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
42．（2020·廣西貴港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，4)，B(4，1)，C(4，3)．
（1）畫出將△ABC向左平移5個(gè)單位得到的△A1B1C1；
（2）畫出將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2．
43．（2020·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，先以原點(diǎn)為位似中心在第三象限內(nèi)畫一個(gè)，使它與位似，且相似比為2：1，然后再把繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．
（1）畫出，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）畫出，直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．
44．（2019·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，．
（1）用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
45．（2023·福建福州·?？级＃┤鐖D，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)恰好落在邊上，則點(diǎn)A到直線的距離等于（）
A．B．C．3D．2
46．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，將沿折疊得到．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A．B．C．D．
47．（2023·內(nèi)蒙古·包鋼第三中學(xué)校考三模）如圖，的頂點(diǎn)，，點(diǎn)在軸的正半軸上，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上時(shí)，的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
48．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，在中，將沿折疊后，點(diǎn)D恰好落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．若，則為（）

A．42°B．38°C．32°D．58°
49．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，分別以B，C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線交于E，交于D，連接．若，，則（）

A．B．2C．D．
50．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考二模）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
51．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考三模）如圖，將矩形紙片折疊，折痕為，點(diǎn)，分別在邊，上，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在，，且點(diǎn)在矩形內(nèi)部，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．，，當(dāng)點(diǎn)為三等分點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為．

52．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）如圖，折疊矩形紙片，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)M處，為折痕，，．則四邊形面積的最小值是．

53．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，將矩形沿折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在邊的中點(diǎn)上，點(diǎn)D落在處，交于點(diǎn)M．若，則的長(zhǎng)為
54．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）在中，，，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)；再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圈心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)D．則與的數(shù)量關(guān)系是．
55．（2023·江蘇鹽城·景山中學(xué)校考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，點(diǎn)E是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1恰好落在∠BCD的平分線上時(shí)，AE的長(zhǎng)為．
56．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，在矩形中，，．連接，按下列方法作圖；以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧．分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)；分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G；連接交于點(diǎn)H，則的面積是（）

A．B．C．1D．
57．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜邊AB=6，DC=7，把三角板DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1（如圖乙），此時(shí)AB與CD1交于點(diǎn)O，則線段AD1的長(zhǎng)度為（）
A．B．5C．4D．
58．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，按如下步驟操作：①以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于D，E兩點(diǎn)；②以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交②中所畫的弧于點(diǎn)G；④作射線，若，則為（）

A．B．C．D．
59．（2023·內(nèi)蒙古·包鋼第三中學(xué)?？既＃┤鐖D，在中，，分別以點(diǎn)和為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接CD，若，則的度數(shù)為．
60．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)D，連接．若，則的度數(shù)為．
61．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，在等邊中，，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將∠B沿折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在AC邊上，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．

62．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在三角形紙片中，，，，將該紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在斜邊上的一點(diǎn)處，折痕記為（如圖1），剪去后得到雙層（如圖2），再沿著過某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形中有一個(gè)是平行四邊形，則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為．

63．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）如圖在的方格紙中，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫出相應(yīng)格點(diǎn)圖形．

(1)在圖1中畫出關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的格點(diǎn)三角形（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為）．
(2)在圖2中畫出，使得．
64．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點(diǎn)D，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

65．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為個(gè)單位．
(1)畫出將向下平移個(gè)單位后得到的；
(2)畫出將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的；并求由點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．
66．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）在的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，按要求作圖：

(1)在圖中找一個(gè)格點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
(2)在圖中作中平行于BC邊的中位線．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）
67．（2023·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考二模）如圖，在中，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)．
(1)尺規(guī)作圖：在邊上找一點(diǎn)E，使得．
(2)在（1）的條件下以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓分別與，交于M，N點(diǎn)，且．求證：與相切．
68．（2023·福建福州·校考二模）如圖1，中，，的大小保持不變，點(diǎn)在斜邊上，，垂足為點(diǎn)．如圖2，把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．
(1)求作點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)連接，，，直線，相交于點(diǎn)，試探究在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，直線，所相交成的銳角是否保持不變？若不變，請(qǐng)證明：若有變化，說明理由．
69．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，B為邊上一點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：
①過點(diǎn)B作交邊于點(diǎn)C；
②以為邊作，且交于點(diǎn)D．
(2)若，，請(qǐng)利用（1）中所作的圖形求的值．
70．（2023·廣西·統(tǒng)考三模）如圖，要把殘缺的圓片復(fù)原，可通過找到圓心的方法進(jìn)行復(fù)原，已知弧上的三點(diǎn)A，B，C．

(1)用尺規(guī)作圖法，找出弧所在圓的圓心O；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在中，連接交于點(diǎn)E，連接，當(dāng)時(shí)，求圖片的半徑R；
(3)若直線l到圓心的距離等于，則直線l與圓________（填“相交”“相切”或“相離”）
71．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，是的高，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．

(1)只用無刻度的直尺和圓規(guī)各1次，作的高（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)連接，若，，求的長(zhǎng)．
72．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）已知：線段及射線．
求作：等腰，使得點(diǎn)C在射線上．

作法一：如圖1，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），連接．
作法二：如圖2．
①在上取一點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)E，連接；
②以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交線段于點(diǎn)F；
③以點(diǎn)F為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)G；
④作射線交射線于點(diǎn)C．
作法三：如圖3，
①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)P，Q；
②作直線，交射線于點(diǎn)C，連接．根據(jù)以上三種作法，填空：
由作法一可知：______，
∴是等腰三角形．
由作法二可知：______，
∴（__________________）（填推理依據(jù)）．
∴是等腰三角形．
由作法三可知；是線段的______．
∴（__________________）（填推理依據(jù)）．
∴是等腰三角形．
73．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考三模）在中，．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作直線l，使l上的各點(diǎn)到兩邊的距離相等，設(shè)直線l與邊交于點(diǎn)D，在上找一點(diǎn)E，使；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，若，則的長(zhǎng)為．（在備用圖中分析）
74．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形是平行四邊形．

(1)尺規(guī)作圖：作的平分線交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不用寫作法）
(2)在（1）中，若，，求的長(zhǎng)．
75．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，已知．

(1)如圖①，將矩形沿對(duì)角線折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)E，則與的數(shù)量關(guān)系是 ___________；
(2)如圖②，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，將折疊，使得點(diǎn)B正好落在邊上的點(diǎn)，過作，交于點(diǎn)G．若，求的長(zhǎng)．
(3)如圖③，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，將折疊，使得點(diǎn)B正好落在邊上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也在邊上隨之移動(dòng)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
76．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考二模）綜合與實(shí)踐
在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探究等腰直角三角形中的折疊問題．
引入：
如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)．
(1)如圖，當(dāng)沿折疊，點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，且時(shí)，______；四邊形的形狀是______；
拓廣：
(2)如圖，奇異小組同學(xué)的折疊方法是沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，沿折疊使點(diǎn)落在線段的中點(diǎn)處，求線段的長(zhǎng)；
應(yīng)用：
(3)沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊的三等分點(diǎn)處，請(qǐng)借助圖探究，并直接寫出的長(zhǎng)．
（1）作的垂直平分線交于點(diǎn)O；

（2）連接，在的延長(zhǎng)線上截?。?br>
（3）連接，，則四邊形即為所求．

已知：如圖1，在中，．
求作：的外接圓．
作法：如圖2．
（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)；
（2）作直線，交于點(diǎn)O；
（3）以O(shè)為圓心，為半徑作，即為所求作的圓．

瓦里尼翁平行四邊形
我們知道，如圖1，在四邊形中，點(diǎn)分別是邊，的中點(diǎn)，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切．

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系．
③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：
證明：如圖2，連接，分別交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
∵分別為的中點(diǎn)，∴．（依據(jù)1）

∴．∵，∴．
∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．
∵，即，
∴四邊形是平行四邊形．（依據(jù)2）∴．
∵，∴．同理，…
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