考點(diǎn)1 幾何壓軸題
一、單選題
1．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③；

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
2．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，把以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，且點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，連接，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，直線，菱形和等邊在，之間，點(diǎn)A，F(xiàn)分別在，上，點(diǎn)B，D，E，G在同一直線上：若，，則（ ）

A．B．C．D．
4．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無(wú)縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)均為正六邊形的頂點(diǎn)．若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A．B．C．D．
5．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長(zhǎng)為21，則的長(zhǎng)為（ ）

A．8B．4C．3.5D．3
6．（2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）

A．B．C．D．
7．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形中，，動(dòng)點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿射線，射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度的大小相等，連接，，．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程為，的面積為，下列圖像中能反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（ ）

A． B． C． D．
8．（2023年上海市中考數(shù)學(xué)真題）已知在梯形中，連接，且，設(shè)．下列兩個(gè)說(shuō)法：
①；②
則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．①正確②錯(cuò)誤B．①錯(cuò)誤②正確C．①②均正確D．①②均錯(cuò)誤
9．（2023年江蘇省無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)真題）如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長(zhǎng)為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（ ）

A．①④B．②③C．①②④D．①③④
10．（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．是線段上的點(diǎn)，；是線段上的點(diǎn)，．若已知的面積，則一定能求出（ ）

A．的面積B．的面積
C．的面積D．的面積
11．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是線段上一點(diǎn)，和是位于直線同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A．的最小值為B．的最小值為
C．周長(zhǎng)的最小值為6D．四邊形面積的最小值為
12.（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）直三棱柱的表面展開(kāi)圖如圖所示，，，，四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)距離最大的是（ ）

A．點(diǎn)B．點(diǎn)C．點(diǎn)D．點(diǎn)
13.（2021·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，直線、與、、分別交于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、，若，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
14．（2020·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將兩個(gè)完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C'在邊AB上，連接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，則B′C的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．2D．4
15．（2019·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，的兩邊與線段分別交于點(diǎn)、，連接分別交、于點(diǎn)、．若，，則( )
A．B．C．D．
二、填空題
16．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的半徑，是的弦，于點(diǎn)D，是的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若，，則線段的長(zhǎng)為 ．

17．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等邊三角形內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．

（1）線段的長(zhǎng)為 ；
（2）若點(diǎn)D在圓上，與相交于點(diǎn)P．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)Q，使為等邊三角形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明） ．
18．（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長(zhǎng)為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線l上，兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過(guò)兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)．則圖2中
（1） 度．
（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為 （結(jié)果保留根號(hào)）．

19．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為 ．

20．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是正五邊形的對(duì)角線，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：
①平分； ②； ③四邊形是菱形； ④
其中正確的結(jié)論是 ．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）

21．（2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形中，，延長(zhǎng)至，使，連接，平分交于，連接，則的長(zhǎng)為 ．
22．（2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，展開(kāi)后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，則的大小為 度．

23．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在軸上，點(diǎn)B在軸上，，連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)；…；按照如此規(guī)律操作下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．

24．（2023年上海市中考數(shù)學(xué)真題）在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，且，如果過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)D，若與有公共點(diǎn)，那么半徑r的取值范圍是 ．
25．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，是銳角的高，則．當(dāng)，時(shí)， ．

26．（2023年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到，連接，．當(dāng)為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為 ．

27．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，它的3個(gè)外角，，的度數(shù)之比為，則 ．
28．（2021·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，是上的三個(gè)點(diǎn)，，則的度數(shù)為 ．
29．（2020·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則的最小值為 ．
30．（2019·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，、都是等腰直角三角形，，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，則 ．
三、解答題
31．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；
(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿(mǎn)足，連接，，直接寫(xiě)出的大小，并證明．
32．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大??；
(2)過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．
33．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，菱形的頂點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)．
(1)填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______，點(diǎn)G的坐標(biāo)為_(kāi)_______；
(2)將矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，．設(shè)，矩形與菱形重疊部分的面積為S．

①如圖②，當(dāng)邊與相交于點(diǎn)M、邊與相交于點(diǎn)N，且矩形與菱形重疊部分為五邊形時(shí)，試用含有t的式子表示S，并直接寫(xiě)出t的取值范圍：
②當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．
34．（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的平分線所在直線交折線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在該折線上運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，連接．

(1)若點(diǎn)在上，求證：；
(2)如圖2．連接．
①求的度數(shù)，并直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，的值；
②若點(diǎn)到的距離為，求的值；
(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)到直線的距離．（用含的式子表示）．
35．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）問(wèn)題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問(wèn)題；
(2)深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題．

①“善思小組”提出問(wèn)題：如圖3，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請(qǐng)你解答此問(wèn)題；

②“智慧小組”提出問(wèn)題：如圖4，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果．

36．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是邊，線段上的點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．

(1)如圖1，連接．當(dāng)時(shí)，試判斷點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上，并說(shuō)明理由；
(2)如圖2，若，且，
①求證：；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)，求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）．
37．（2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)真題）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．
已知，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，將以為對(duì)稱(chēng)軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后進(jìn)行如下探究：
獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，．”
小紅：“若點(diǎn)為中點(diǎn)，給出與的長(zhǎng)，就可求出的長(zhǎng)．”
實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過(guò)探究后提出問(wèn)題1，請(qǐng)你回答：

問(wèn)題1：在等腰中，由翻折得到．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求證：；
（2）如圖2，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．
問(wèn)題解決：小明經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：若將問(wèn)題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問(wèn)題進(jìn)一步拓展．
問(wèn)題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長(zhǎng)．
38．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大小；
(2)過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．
39．（2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題）如圖①．在矩形．，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，連續(xù)．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（）

(1)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，線段的長(zhǎng)為_(kāi)_________；
(2)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求；
(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請(qǐng)說(shuō)明理由；
(4)作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對(duì)稱(chēng)四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
40．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)真題）綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類(lèi)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；
(2)類(lèi)比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；
(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿(mǎn)足，，則______．
41．（2023年上海市中考數(shù)學(xué)真題）如圖（1）所示，已知在中，，在邊上，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，為以為圓心，為半徑的圓分別交，于點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．

(1)如果，求證：四邊形為平行四邊形；
(2)如圖（2）所示，聯(lián)結(jié)，如果，求邊的長(zhǎng)；
(3)聯(lián)結(jié)，如果是以為腰的等腰三角形，且，求的值．
42．（2023年江蘇省無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；
(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．
43．（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)真題）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長(zhǎng)．
(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得點(diǎn)．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，求的長(zhǎng)．
②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．
44．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）在中，是斜邊的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至位置，點(diǎn)在直線外，連接．

(1)如圖1，求的大?。?br>(2)已知點(diǎn)和邊上的點(diǎn)滿(mǎn)足．
（?。┤鐖D2，連接，求證：；
（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．
45．（2021·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是邊BC上一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F，連接BF．
(1)求證：△CBF≌△CDF；
(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)F作DE的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交OB于點(diǎn)N．
①求證：FB＝FG；
②若tan∠BDE，ON＝1，直接寫(xiě)出CG的長(zhǎng)．
46．（2020·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在上，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，平分．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的直徑．
47．（2019·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在以點(diǎn)為中心的正方形中，，連接，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的外接圓交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，將沿翻折，得到．
(1)求證：是等腰直角三角形；
(2)當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，求的長(zhǎng)；
(3)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，的面積為，求關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式．
48．（2023·福建福州·校考二模）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)恰好落在邊上，則點(diǎn)A到直線的距離等于（ ）
A．B．C．3D．2
49．（2023·內(nèi)蒙古·包鋼第三中學(xué)?？既＃┤鐖D，的頂點(diǎn)，，點(diǎn)在軸的正半軸上，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上時(shí)，的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
50．（2023·福建福州·?？级＃┤鐖D，是的直徑，上的點(diǎn)C，D在直徑的兩側(cè)，連接，若，，則的長(zhǎng)等于 ．
51．（2023·內(nèi)蒙古·包鋼第三中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知菱形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)是 ．
52．（2023·河南商丘·一模）如圖，在中，，，．點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為 ．

53．（2023·福建福州·校考二模）在中，，，以為直徑作，交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是上的一個(gè)點(diǎn)．
(1)如圖1，若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，，垂足為E，求證：直線是的切線；
(2)如圖2，連接，若，求的度數(shù)．
54．（2023·內(nèi)蒙古·包鋼第三中學(xué)?？既＃┤鐖D，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．
（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時(shí)，求證：AF=OA；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=BG．
55．（2023·河南商丘·一模）綜合與實(shí)踐
綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】對(duì)折，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，得到折痕，把紙片展平，如圖1．小明根據(jù)以上操作發(fā)現(xiàn)：四邊形滿(mǎn)足，．查閱相關(guān)資料得知，像這樣的有兩組鄰邊分別相等的四邊形叫作“箏形”．請(qǐng)寫(xiě)出圖1中箏形的一條性質(zhì)____．
(2)【探究證明】如圖2，連接EC，設(shè)箏形的面積為．若，求S的最大值；
(3)【遷移應(yīng)用】在中，，點(diǎn)D，E分別在，上，當(dāng)四邊形是箏形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的面積．
56．（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考三模）問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求學(xué)生出示兩個(gè)大小不一樣的等腰直角三角形，如圖1所示，把和擺在一起，其中直角頂點(diǎn)重合，延長(zhǎng)至點(diǎn)，滿(mǎn)足，然后連接．
(1)實(shí)踐猜想：圖1中的與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________，位置關(guān)系為_(kāi)__________；
(2)拓展探究：當(dāng)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度時(shí)，如圖2所示，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)解決問(wèn)題：當(dāng)，，旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．
57．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以自身的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過(guò)該點(diǎn)的直線翻折，我們稱(chēng)這種變換為自位似軸對(duì)稱(chēng)變換，變換前后的圖形成自位似軸對(duì)稱(chēng)．
例如：如圖①，先將以點(diǎn)為位似中心縮小，得到，再將沿過(guò)點(diǎn)的直線翻折，得到，則與成自位似軸對(duì)稱(chēng)．

(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對(duì)三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對(duì)稱(chēng)的是________（填寫(xiě)所有符合條件的序號(hào)）；
(2)如圖③，已知經(jīng)過(guò)自位似軸對(duì)稱(chēng)變換得到，是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)，使與是該變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）；
(3)如圖④，在中，是的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，求證：．
58．（2023·廣東廣州·廣州市真光中學(xué)?？级＃┮阎?，如圖①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，把點(diǎn)E繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)F，連接AE、AF、EF、DF．
(1)當(dāng)點(diǎn)A、F、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求DF的長(zhǎng)；
(2)如圖②，點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上，且，連接AM，當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積的值是否發(fā)生變化？若不變求出該定值，若變化說(shuō)明理由．
(3)在點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求DF的取值范圍．
59．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）已知，在矩形中，，，為矩形的中心，在中，，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，
(1)如圖1，當(dāng)直角邊，分別在，邊上時(shí)，連接，，求的面積；

(2)設(shè)斜邊與矩形的交點(diǎn)為，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線時(shí)，求的值；
(3)如圖2，連接，取中點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．

60．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，和的頂點(diǎn)重合，，，，．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在，上時(shí)，得出結(jié)論： ；直線與直線的位置關(guān)系是 ；
(2)如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，連接，，其所在直線相交于點(diǎn)．
①（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，說(shuō)明理由．
②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．
61．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題進(jìn)行了深入探究．
專(zhuān)題探究：已知中，，，點(diǎn)M是線段上的一點(diǎn)，N是線段上的點(diǎn)，，交于點(diǎn)Q，將線段繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，得到線段，連接．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出線段與的數(shù)量關(guān)系______；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
(3)變式應(yīng)用：如圖3，在中，，，，M是上的任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到線段，連接．求線段的最小值．

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