初中數(shù)學(xué)北師大版七年級上冊4.3 角鞏固練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【典例1】已知如圖1，∠AOB=40°
(1)若∠AOC=13∠BOC，則∠BOC= ;
(2)如圖2，∠AOC=20°，OM為∠AOB內(nèi)部的一條射線，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，
求4∠AON+∠COM的值；
(3)如圖3，∠AOC=20°，射線OM繞著O點(diǎn)從OB開始以5度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周至OB結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，當(dāng)t在某個(gè)范圍內(nèi)4∠AON+
∠BOM會為定值，請直接寫出定值，并指出對應(yīng)t的范圍（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）．
【思路點(diǎn)撥】
（1）分兩種情況討論：①OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=34∠AOB；②OC在∠AOB外部時(shí)，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=32∠AOB．
（2）設(shè)∠CON=x°，根據(jù)題意用x表示有關(guān)角的度數(shù)，最終得4∠AON+∠COM的值；
（3）按OM和ON的不同位置分五種情況分別討論，記OM轉(zhuǎn)過的角度為α，第一種情況：當(dāng)0＜α≤60°，即0＜t≤12時(shí)；第二種情況：當(dāng)60°＜α≤180°時(shí)，即12＜t≤36時(shí)；第三種情況：當(dāng)180°＜α≤240°時(shí)，即36＜t≤48時(shí)；第四種情況：當(dāng)240°＜α≤340°，即48＜t≤68時(shí)；第五種情況：當(dāng)340°＜α≤360°，即68＜t≤72時(shí)．用t表示出有關(guān)角的度數(shù)，再求4∠AON+∠BOM的最后結(jié)果．
【解題過程】
解：（1）分兩種情況討論：①C在∠AOB內(nèi)部時(shí)，如下圖，
∵∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=34∠AOB=×40°=30°，
②OC在∠AOB外部時(shí)，如下圖，
∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=32∠AOB=32×40°=60°，
綜上所述：∠BOC=30°或60°；
故答案為：30°或60°．
（2）證明：設(shè)∠AON=x° ，
則∠CON=（20-x）°，
∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，
∠COM=(80-4x）° ，
所以4∠AON+∠COM=80°．
（3）記OM的旋轉(zhuǎn)角度為α，分五種情況討論：
第一種，當(dāng)0°＜α≤60°，即0＜t≤12時(shí)，如下圖，
射線OM繞著O點(diǎn)從OB開始以5度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°，
∵ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，
∴∠CON=14∠COM，
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（60°-5t°）=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=20°+10t°，
∴0≤t≤12時(shí)，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值．
第二種情況：當(dāng)60°＜α＜180°，即12＜t＜36時(shí)，如下圖，
∵∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°，
∵∠CON=14∠COM，
∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+14∠COM=20°+14（5t°-60°）=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=10t°+20°，
∴12＜t＜36時(shí)，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三種情況：當(dāng)180°≤α≤240°，即36≤t≤48時(shí)，如下圖，
由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°，
∵ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，
∴∠AON=∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t°-60°）+20°=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+360°-5t°=380°，
∴當(dāng)36≤t≤48時(shí)，4∠AON+∠COM為定值380°；
第四種情況：當(dāng)240°＜α＜340°時(shí)，即48＜t＜68，如下圖，
由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
∴∠AON=∠CON-∠COA=14∠COM-∠COA=14（420°-5t°）-20°=85°-54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（85°-54t°）+360°-5t°=700°-10t°，
∴48＜t＜68時(shí)，4∠AON+∠COM不是定值；
第五種情況：當(dāng)340°≤α≤360°，即68≤t≤72時(shí)，如下圖，
由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（420°-5t°）=54t°-85°，
∴4∠AON+∠BOM=4（54t°-85°）+360°-5t°=20°，
∴68≤t≤72時(shí)，4∠AON+∠COM為定值20°．
綜上所述：當(dāng)36≤t≤48時(shí)，4∠AON+∠COM為定值380°；當(dāng)68≤t≤72時(shí)，4∠AON+∠COM=20°，為定值20°．
1．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM在直線AB的下方，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周．
(1)三角板從圖1位置旋轉(zhuǎn)到圖2位置（OM落在射線OA上），ON旋轉(zhuǎn)的角度為 ______；
(2)在三角板從圖1旋轉(zhuǎn)到圖3位置的過程中，若三角板繞點(diǎn)O按每秒鐘15°的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OM所在直線恰好平分∠BOC時(shí)，求出三角板繞點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
2．（2022·陜西·西安輔輪中學(xué)七年級期末）已知：O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如圖1，當(dāng)∠AOC＝40°時(shí)，求∠DOE的度數(shù)；
(2)如圖2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)；
(3)如圖3，∠AOC=36°，此時(shí)∠COD繞點(diǎn)O以每秒6°沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)t秒（0≤t

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