湘教版（2019）必修 第二冊1.1 向量同步練習(xí)題

這是一份湘教版（2019）必修 第二冊1.1 向量同步練習(xí)題，共6頁。
1．設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)的一組基，若a＝2e1－3e2，則a在基{e1，e2}下的坐標(biāo)為( )
A．(2，3) B．(2，－3)
C．(3，2) D．(－3，2)
2．如果{a，b}是一組基，則下列不能作為基的是( )
A．a(chǎn)＋b與a－bB．a(chǎn)＋2b與2a＋b
C．a(chǎn)＋b與－a－b D．a(chǎn)與－b
3．設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 eq \(OA,\s\up6(→))＝4i＋2j， eq \(OB,\s\up6(→))＝3i＋4j，則 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是( )
A．(1，－2) B．(7，6)
C．(5，0) D．(11，8)
4．O為平行四邊形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)， eq \(AB,\s\up6(→))＝4e1， eq \(BC,\s\up6(→))＝6e2，則 eq \(DO,\s\up6(→))＝( )
A．2e1＋e2 B．2e1－e2
C．2e1＋3e2 D．2e1－3e2
5．如圖，已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝2 eq \(BP,\s\up6(→))，則 eq \(OP,\s\up6(→))＝( )
A． eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \f(3,2) eq \(OB,\s\up6(→))
B．－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2) eq \(OB,\s\up6(→))
C． eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2) eq \(OB,\s\up6(→))
D．－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \f(3,2) eq \(OB,\s\up6(→))
6．(多選)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0，關(guān)于向量a的分解，下述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則如下四個命題正確的是( )
A．給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c
B．給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc
C．給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μc
D．給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc
7．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A(3，5)，則向量 eq \(OA,\s\up6(→))的向量正交分解形式是________．
8．設(shè)向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，則p＝________．
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè) eq \(AC,\s\up6(→))＝a， eq \(BD,\s\up6(→))＝b，試用基 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b))表示 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→)).
10．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，N為BD靠近B的一個三等分點(diǎn)，求證：M，N，C三點(diǎn)共線．
[提能力]
11．設(shè){a，b}為基，已知向量 eq \(AB,\s\up6(→))＝a－kb， eq \(CB,\s\up6(→))＝2a＋b， eq \(CD,\s\up6(→))＝3a－b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值等于( )
A．2 B．－2
C．10 D．－10
12．已知D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且 eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b， eq \(AB,\s\up6(→))＝c，則下列命題中正確命題為( )
A． eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)c－ eq \f(1,2)b B． eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(1,2)b
C． eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)a D． eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))＝0
13．在△ABC中，點(diǎn)D滿足 eq \(BD,\s\up6(→))＝4 eq \(DC,\s\up6(→))，若 eq \(AD,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))，則x－y＝________．
14．如圖，在△ABC中， eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))，點(diǎn)E在線段AD上移動(不含端點(diǎn))，若 eq \(AE,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，則 eq \f(λ,μ)＝________，λ2－2μ的最小值是________．
15．如圖所示，在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(BC,\s\up6(→))＝b，D，F(xiàn)分別為線段BC，AC上一點(diǎn)，且BD＝2DC，CF＝3FA，BF和AD相交于點(diǎn)E.
(1)用向量a，b表示 eq \(BF,\s\up6(→))；
(2)假設(shè) eq \(BE,\s\up6(→))＝λ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－λ)) eq \(BD,\s\up6(→))＝μ eq \(BF,\s\up6(→))，用向量a，b表示 eq \(BE,\s\up6(→))并求出μ的值．
[培優(yōu)生]
16．如圖，平行四邊形ABCD中， eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(MC,\s\up6(→))，N為線段CD的中點(diǎn)，E為線段MN上的點(diǎn)且 eq \(ME,\s\up6(→))＝2 eq \(EN,\s\up6(→)).
(1)若 eq \(AE,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AD,\s\up6(→))，求λμ的值；
(2)延長MN、AD交于點(diǎn)P，F(xiàn)在線段NP上(包含端點(diǎn))，若 eq \(AF,\s\up6(→))＝t eq \(AM,\s\up6(→))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－t)) eq \(AN,\s\up6(→))，求t的取值范圍．
課時作業(yè)(五) 向量分解及坐標(biāo)表示
1．答案：B
2．解析：由題意知，a與b不共線，根據(jù)平行四邊形法則，可知A，B，D選項(xiàng)中的兩個向量都可以作為基，而a＋b與－a－b共線，不能作為基．
答案：C
3．解析：因?yàn)椋?4i＋2j)＋(3i＋4j)＝7i＋6j，
所以＋＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，6)).
答案：B
4．解析：如圖，＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)＝2e1－3e2.
答案：D
5．解析：∵＝＋＝＋eq \f(3,2)＝＋3＝＋3(－)，
∴＝－eq \f(1,2)＋eq \f(3,2).
答案：B
6．解析：因?yàn)橄蛄縝，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，所以b≠0，c≠0，
對于A選項(xiàng)，對于給定的向量a，b，只需求得其向量差a－b即為所求向量c，故給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c，故A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，結(jié)合題意，向量b和c可以作為基，故根據(jù)平面向量基本定理可知總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc，故B選項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)，取a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，4))，μ＝2，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))，無論λ取何值，向量λb都平行于x軸，而μc的模為2，要使a＝λb＋μc成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量μc的縱坐標(biāo)為4，此時μc的模大于2，故找不到這樣的單位向量c使之成立，故C選項(xiàng)錯誤；
對于D選項(xiàng)，因?yàn)榻o定的λ和μ為正數(shù)，故λb，μc代表與原有向量方向相同且有固定長度的向量，這就使得向量a不一定能用兩個單位向量的組合表示出來，故不一定能使得a＝λb＋μc成立，故D選項(xiàng)錯誤．
答案：AB
7．解析：因?yàn)辄c(diǎn)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，5))，所以＝3i＋5j.
答案：＝3i＋5j
8．解析：設(shè)p＝xm＋yn，則有p＝3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋4y＝3,－3x－2y＝2))?eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(7,4)，,y＝\f(13,8)．))
所以p＝－eq \f(7,4)m＋eq \f(13,8)n.
答案：－eq \f(7,4)m＋eq \f(13,8)n
9．解析：
設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，則有＝＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)a，＝＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)b，
所以＝＋＝－＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，
＝＋＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
10．證明：＝＋＝eq \f(1,2)＋，
＝＋＝eq \f(1,3)＋＝eq \f(1,3)(－)＋＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3).
可得＝eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，
所以∥，又與有公共點(diǎn)C，
∴M，N，C三點(diǎn)共線．
11．解析：＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b，∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴＝λ，即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b，
∵{a，b}為基，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2λ＝1，,k＝λ（k＋2），))解得λ＝eq \f(1,2)，k＝2.
答案：A
12．解析：＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)(＋)＝eq \f(1,2)(b＋c)，A錯誤．
＝＋＝＋eq \f(1,2)＝a＋eq \f(1,2)b，B正確．
＝eq \f(1,2)(＋)＝eq \f(1,2)(b－a)，C正確．
＋＋＝eq \f(1,2)(＋)＋eq \f(1,2)(＋)＋eq \f(1,2)(＋)
＝eq \f(1,2)(－＋－＋－)＝0，D正確．
答案：BCD
13．解析：因?yàn)椋?，
所以＝＋，
＝＋eq \f(4,5)
＝＋eq \f(4,5)(－)
＝eq \f(1,5)＋eq \f(4,5)，
因?yàn)椋絰＋y，所以x＝eq \f(1,5)，y＝eq \f(4,5)，
所以x－y＝eq \f(1,5)－eq \f(4,5)＝－eq \f(3,5)，
答案：－eq \f(3,5)
14．解析：因?yàn)樵凇鰽BC中，＝eq \f(1,3)，所以＝2.
由向量定比分點(diǎn)公式得＝eq \f(2,1＋2)＋eq \f(1,1＋2)，即＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3).
因?yàn)辄c(diǎn)E在線段AD上移動(不含端點(diǎn))，所以設(shè)＝x(0