湘教版（2019）必修 第二冊(cè)1.7 平面向量的應(yīng)用舉例一課一練

這是一份湘教版（2019）必修 第二冊(cè)1.7 平面向量的應(yīng)用舉例一課一練，共6頁(yè)。
1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，則BC邊的中線AD的長(zhǎng)是( )
A．2 eq \r(5) B． eq \f(5\r(5),2)
C．3 eq \r(5) D． eq \f(7\r(5),2)
2．若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)， eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝0，則O為△ABC的( )
A．內(nèi)心 B．外心
C．垂心 D．重心
3．已知銳角三角形ABC的外接圓的圓心為O，半徑為 eq \r(2)，且 eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))＝－1，則A＝( )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,6)
C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,12)
4．在四邊形ABCD中，若 eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，且| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|，則這個(gè)四邊形是( )
A．平行四邊形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
5．已知單位向量e1，e2分別與平面直角坐標(biāo)系x，y軸的正方向同向，且向量 eq \(AC,\s\up6(→))＝3e1－e2， eq \(BD,\s\up6(→))＝2e1＋6e2，則平面四邊形ABCD的面積為( )
A． eq \r(10) B．2 eq \r(10)
C．10 D．20
6．(多選)在水流速度為4 eq \r(3) km/h的河水中，一艘船以12 km/h的實(shí)際航行速度垂直于對(duì)岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說(shuō)法中，正確的是( )
A．這艘船航行速度的大小為12 eq \r(3) km/h
B．這艘船航行速度的大小為8 eq \r(3) km/h
C．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為150°
D．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為120°
7．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，則 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝________．
8．正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，則cs ∠DOE＝________．
9．在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對(duì)角線BD＝2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．
10．已知兩恒力F1＝(3，4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20，15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7，0).
(1)求F1，F(xiàn)2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；
(2)求F1，F(xiàn)2的合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．
[提能力]
11．如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為400米，一艘船從河岸的A地出發(fā)，向河對(duì)岸航行．已知船的速度v1的大小為|v1|＝8 km/h，水流速度v2的大小為|v2|＝2 km/h，船的速度與水流速度的合速度為v，那么當(dāng)航程最短時(shí)，下列說(shuō)法正確的是( )
A．船頭方向與水流方向垂直
B．cs 〈v1，v2〉＝－ eq \f(1,4)
C．|v|＝2 eq \r(17) km/h
D．該船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間為3分鐘
12．當(dāng)兩人提起重量為|G|的旅行包時(shí)，夾角為θ，兩人用力大小都為|F|，若|F|＝|G|，則θ的值為( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
13．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足3 eq \(AM,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))＝0，則△ABM與△ABC的面積之比為_(kāi)_______．
14．已知點(diǎn)M是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)部(包括邊界)的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是邊CD的中點(diǎn)，則| eq \(MP,\s\up6(→))|－| eq \(MB,\s\up6(→))|的最大值是________； eq \(MP,\s\up6(→))·( eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→)))的最小值是________．
15．如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求證：AD⊥BC.
[培優(yōu)生]
16．在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，試問(wèn)：在線段BM(端點(diǎn)除外)上是否存在點(diǎn)P使得PC⊥BM?
課時(shí)作業(yè)(十三) 平面向量的應(yīng)用舉例
1．解析：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求D點(diǎn)坐標(biāo)為Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，6))，＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，5))，∴||＝eq \r(\f(25,4)＋25)＝eq \f(5\r(5),2).
答案：B
2．解析：
如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，
則＋＝2.
又因?yàn)椋?，
所以＝－2.因?yàn)镺為公共點(diǎn)，
所以O(shè)，C，E三點(diǎn)共線，且||＝2||.
所以O(shè)為△ABC的重心．
答案：D
3．解析：因?yàn)椤ぃ絴|·||·cs∠BOC＝2cs∠BOC＝－1，所以cs∠BOC＝－eq \f(1,2)，所以∠BOC＝eq \f(2π,3)，所以A＝eq \f(π,3).
答案：A
4．解析：由＝eq \f(1,2)知DC∥AB，且|DC|＝eq \f(1,2)|AB|，因此四邊形ABCD是梯形．又因?yàn)閨|＝||，所以四邊形ABCD是等腰梯形．
答案：C
5．解析：取(e1，e2)作為基，則＝(3，－1)，＝(2，6)，則||＝eq \r(32＋（－1）2)＝eq \r(10)，||＝eq \r(22＋62)＝2eq \r(10).因?yàn)椤ぃ?×2＋(－1)×6＝0，所以⊥，所以平面四邊形的對(duì)角線互相垂直，所以該四邊形的面積S＝＝eq \f(\r(10)×2\r(10),2)＝10.
答案：C
6．解析：設(shè)船的實(shí)際航行速度為v1，水流速度為v2，船的航行速度為v3，
根據(jù)向量的平行四邊形法則可知：
v3＝eq \r(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝8eq \r(3)km/h，
設(shè)船的航行方向和水流方向的夾角為θ，
所以tan (180°－θ)＝eq \f(12,4\r(3))＝eq \r(3)，所以θ＝120°.
答案：BD
7．解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝4eq \r(2)，∠ABC＝45°，∴·＝4eq \r(2)×4×cs45°＝16.
答案：16
8.
解析：以O(shè)A，OC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
由題意知：＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，故cs∠DOE＝＝eq \f(1×\f(1,2)＋\f(1,2)×1,\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(4,5).即cs∠DOE的值為eq \f(4,5).
答案：eq \f(4,5)
9．解析：設(shè)＝a，＝b，則＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq \f(1,2)，
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).
10．解析：(1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).
∴力F1，F(xiàn)2對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為－99J和－3J.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J).
∴合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為－102J．
11．解析：由題意可知，v＝v1＋v2，當(dāng)船的航程最短時(shí)，v⊥v2，而船頭的方向與v1同向，
由v·v2＝(v1＋v2)·v2＝v1·v2＋v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝0，可得v1·v2＝－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝－4，cs〈v1，v2〉＝eq \f(v1·v2,|v1|·|v2|)＝－eq \f(1,4)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；
|v|＝|v1＋v2|＝eq \r(（v1＋v2）2)＝eq \r(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋2v1·v2＋v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝eq \r(4－2×4＋64)＝2eq \r(15)(km/h)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
該船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間為60×eq \f(0.4,2\r(15))＝eq \f(4\r(15),5)(分鐘)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
答案：B
12．解析：作＝F1，＝F2，＝－G(圖略)，
則＝＋，
當(dāng)|F1|＝|F2|＝|G|時(shí)，△OAC為正三角形，
所以∠AOC＝60°，從而θ＝∠AOB＝120°.
答案：D
13.
解析：如圖，D為BC邊的中點(diǎn)，
因?yàn)?－－＝0，
則＝eq \f(1,2)(＋).
所以3＝2，所以＝eq \f(2,3)，
所以S△ABM＝eq \f(2,3)S△ABD＝eq \f(1,3)S△ABC.
答案：1∶3
14．解析：如圖，由||－||≤|－|＝||＝2eq \r(5)，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)等號(hào)成立；
如圖所示，取AB中點(diǎn)Q，連接PQ，取PQ的中點(diǎn)為N，連接MN，
則·＝(＋)·(＋)＝||2－||2，
又因?yàn)辄c(diǎn)M為正方形ABCD內(nèi)部(包括邊界)一動(dòng)點(diǎn)，
所以·(＋)＝2·＝2(||2－||2)＝2(||2－4)≥－8，
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，取得最小值－8.
答案：2eq \r(5) －8
15．證明：設(shè)＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，則a＝e＋c，b＝e＋d，
即a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.
因?yàn)椋剑絛－c，所以·＝e·(d－c)＝0，所以⊥，即AD⊥BC.
16.
解析：以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
由于AB＝AC＝5，BC＝6，
所以B(0，0)，A(3，4)，C(6，0).
則＝(3，－4)，由于M點(diǎn)是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．
所以＝eq \f(1,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(4,3)))，
于是Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(8,3)))，所以＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(8,3)))，
假設(shè)在BM上存在點(diǎn)P使得PC⊥BM，
則設(shè)＝λ，且0