函數的最大值與最小值?
微點撥?(1)最大(小)值必須是一個函數值，是值域中的一個元素，如函數y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.(2)最大(小)值定義中的“任意”是說對于定義域內的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是說，函數y＝f(x)的圖象不能位于直線y＝M的上(下)方．(3)最大(小)值定義中的“存在”是說定義域中至少有一個實數滿足等號成立，也就是說y＝f(x)的圖象與直線y＝M至少有一個交點．
【即時練習】　1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)任何函數都有最大(小)值．(　　)(2)函數f(x)取最大值時，對應的x可能有無限多個．(　　)(3)如果f(x)的最大值、最小值分別為M，m，則f(x)的值域為[m，M].(　　)
2.函數f(x)在[－2，＋∞)上的圖象如圖所示，則此函數的最大值和最小值分別為(　　)A．3，0 B．3，1C．3，無最小值 D．3，2
解析：由圖可知，f(x)在[－2，＋∞)上的最大值為3，最小值取不到．故選C.
【學習目標】　(1)理解函數的最大值和最小值的概念及其幾何意義．(2)能借助函數的圖象和單調性，求一些簡單函數的最值．
題型 1 利用圖象求函數的最值【問題探究1】　(1)觀察下列兩個函數的圖象，回答有關問題：①比較兩個函數的圖象，它們是否都有最高點？②通過觀察圖1你能發(fā)現什么？
提示：(1)①題圖1中函數f(x)＝－x2的圖象上有一個最高點；題圖2中函數g(x)＝－x的圖象上沒有最高點．②對任意x∈R，都有f(x)≤f(0)．
(2)觀察下面兩個函數的圖象，回答下列問題．①比較兩個函數的圖象，它們是否都有最低點？②通過觀察圖3你能發(fā)現什么？
提示：①題圖3中函數f(x)＝x2的圖象有一個最低點．題圖4中函數y＝x的圖象沒有最低點．②對任意x∈R，都有f(x)≥f(0)．
題后師說圖象法求最值的一般步驟
跟蹤訓練1　若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x這兩個函數中的較小者，求f(x)的最大值.
解析：在同一坐標系中，作出函數的圖象(如圖中的實線部分)，則f(x)max＝f(1)＝1.
題型 2 利用函數的單調性求函數的最值【問題探究2】　(1)若函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，則f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值分別是多少？(2)若f(x)＝－x2的定義域為[－1，2]，則f(x)的最大值和最小值一定在端點上取到嗎？
提示：(1)最大值為f(b)，最小值為f(a)．(2)不一定，需要考慮函數的單調性．
學霸筆記運用函數單調性求最值是求函數最值的常用方法，特別是當函數圖象不易作出時，單調性幾乎成為首選方法．首先判斷函數的單調性，再利用單調性求出最值．注意：(1)求最值勿忘求定義域．(2)閉區(qū)間上的最值，不判斷單調性而直接將兩端點值代入是最容易出現的錯誤，求解時一定注意．
題型 3 函數最值的實際應用例3　某家庭進行網上理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產品的年收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的年收益與投資額的算術平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產品的年收益分別為0.125萬元和0.5萬元(如圖)．(1)分別寫出兩種產品的年收益與投資的函數關系式；(2)該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？
學霸筆記：在實際問題中利用二次函數求最值的解題步驟(1)審清題意；(2)建立數學模型，將實際問題轉化為數學問題；(3)總結結論，回歸題意．
跟蹤訓練3　某商場經營一批進價是每件30元的商品，在市場試銷中發(fā)現，該商品銷售單價x(不低于進價，單位：元)與日銷售量y(單位：件)之間有如下關系：(1)確定x與y的一個一次函數關系式y(tǒng)＝f(x)(注明函數定義域)．(2)若日銷售利潤為P元，根據(1)中的關系式寫出P關于x的函數關系式，并指出當銷售單價為多少元時，才能獲得最大的日銷售利潤？
3．若函數f(x)＝x2－2x，x∈[－1，4]，則f(x)的值域為(　　)A．[－1，3] B．[－1，16]C．[－1，8] D．[3，8]
解析：∵f(x)＝(x－1)2－1，所以，函數y＝f(x)在區(qū)間[－1，1)上單調遞減，在區(qū)間(1，4]上單調遞增，∴f(x)min＝f(1)＝－1，∵f(－1)＝3，f(4)＝8，∴f(x)max＝f(4)＝8.因此，函數y＝f(x)在區(qū)間[－1，4]上的值域為[－1，8].故選C.
4．用長度為24 m的材料圍成一個中間加兩道隔墻的矩形場地，要使矩形場地的面積最大，則隔墻的長為________ m．

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高中數學人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

3.2 函數的基本性質

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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