1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運(yùn)算
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
考點(diǎn)1 平面向量的概念
[名師點(diǎn)睛]
平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
(4)非零向量a與eq \f(a,|a|)的關(guān)系：eq \f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.
[典例]
1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．向量就是所在的直線平行于所在的直線
B．長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量
C．若，則
D．共線向量是在一條直線上的向量
2．（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）下面的命題正確的有（ ）
A．方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線
B．單位向量都相等
C．若，滿足且與同向，則
D．“若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”
[舉一反三]
1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題正確的是（ ）
A．若，都是單位向量，則
B．若向量，，則
C．與非零向量共線的單位向量是唯一的
D．已知為非零實(shí)數(shù)，若，則與共線
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題正確的是（ ）
A．向量與是相等向量
B．共線的單位向量是相等向量
C．零向量與任一向量共線
D．兩平行向量所在直線平行
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，都是非零向量，成立的充分條件是（ ）
A．B．
C．D．且
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）有下列命題：
①單位向量一定相等；
②起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；
④方向相反的兩個(gè)單位向量互為相反向量；
⑤起點(diǎn)相同且模相等的向量的終點(diǎn)的軌跡是圓．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)為______．
考點(diǎn)2 向量的線性運(yùn)算
[名師點(diǎn)睛]
1.(1)解決平面向量線性運(yùn)算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.
(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.
2.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.
[典例]
1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）給出下列命題：
①若同向，則有；
②與表示的意義相同；
③若不共線，則有；
④恒成立；
⑤對(duì)任意兩個(gè)向量，總有；
⑥若三向量滿足，則此三向量圍成一個(gè)三角形．
其中正確的命題是__________填序號(hào)
2．(2023·廣東·高三開學(xué)考試）在平行四邊形中，點(diǎn)、分別滿足，，若，，則（ ）
A．B．C．D．
3.如圖，在直角梯形ABCD中，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，且eq \(AE,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AD,\s\up6(→))，則2r＋3s＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[舉一反三]
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，且，則等于（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，G為EF的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖平面四邊形ABCD中，，則可表示為（ ）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)3 共線向量定理的應(yīng)用
[名師點(diǎn)睛]
利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.
(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.
[典例]
1．（2023·北京通州·一模）設(shè)向量是兩個(gè)不共線的向量，已知，，，且B，C，D三點(diǎn)共線，則______（用表示）；實(shí)數(shù)______．
2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，
（1）若，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
（2）試確定實(shí)數(shù)k，使和共線．
[舉一反三]
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（ ）
A．A，B，D三點(diǎn)共線B．A，B，C三點(diǎn)共線
C．B，C，D三點(diǎn)共線D．A，C，D三點(diǎn)共線
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，不共線，向量，，若O，A，B三點(diǎn)共線，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知不共線向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) __________.
5．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，，，分別為邊，，的中點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線.若，則實(shí)數(shù)的值為______.
6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且
（1）若m+n=1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；
（2）若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m+n=1.
向量運(yùn)算
定 義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a.
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求兩個(gè)向量差的運(yùn)算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
第30講 平面向量的概念及線性運(yùn)算
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運(yùn)算
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
考點(diǎn)1 平面向量的概念
[名師點(diǎn)睛]
平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
(4)非零向量a與eq \f(a,|a|)的關(guān)系：eq \f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.
[典例]
1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．向量就是所在的直線平行于所在的直線
B．長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量
C．若，則
D．共線向量是在一條直線上的向量
答案：C
分析：根據(jù)共線向量的定義可判斷A，D；由相等向量的定義可判斷B，C；進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A：根據(jù)共線向量的定義可知向量就是所在的直線與所在的直線平行或重合，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于B：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：若，則，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量，零向量與任意向量共線，故選項(xiàng)D不正確；
故選：C.
2．（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）下面的命題正確的有（ ）
A．方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線
B．單位向量都相等
C．若，滿足且與同向，則
D．“若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”
答案：AD
分析：根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.
【詳解】對(duì)于A，由相反向量的概念可知A正確；
對(duì)于B，任意兩個(gè)單位向量的模相等，其方向未必相同，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且，
可得，且，故四邊形ABCD是平行四邊形；
若四邊形ABCD是平行四邊形，可知，且，
此時(shí)A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且，故D正確.
故選：AD.
[舉一反三]
1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題正確的是（ ）
A．若，都是單位向量，則
B．若向量，，則
C．與非零向量共線的單位向量是唯一的
D．已知為非零實(shí)數(shù)，若，則與共線
答案：D
分析：根據(jù)向量的基本概念和共線定理，逐項(xiàng)判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】單位向量的方向不一定相同，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，顯然與不一定平行，故B錯(cuò)誤；
非零向量共線的單位向量有，故C錯(cuò)誤；
由共線定理可知，若存在非零實(shí)數(shù)，使得，則與共線，故D正確.
故選：D.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題正確的是（ ）
A．向量與是相等向量
B．共線的單位向量是相等向量
C．零向量與任一向量共線
D．兩平行向量所在直線平行
答案：C
分析：根據(jù)向量相等和 平行的定義逐項(xiàng)分析可以求解.
【詳解】對(duì)于A， ，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，兩個(gè)單位向量雖然共線，但方向可能相反，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)榱阆蛄繘]有方向，所以與任何向量都是共線的，故C正確；
對(duì)于D，兩個(gè)平行向量所在的直線可能重合，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，都是非零向量，成立的充分條件是（ ）
A．B．
C．D．且
答案：B
分析：由題意，利用、上的單位向量相等的條件，得出結(jié)論．
【詳解】解：因?yàn)楸硎九c同向的單位向量，表示與同向的單位向量，
所以要使成立，即、方向上的單位向量相等，則必需保證、的方向相同，
故成立的充分條件可以是；
故選：B．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）有下列命題：
①單位向量一定相等；
②起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；
④方向相反的兩個(gè)單位向量互為相反向量；
⑤起點(diǎn)相同且模相等的向量的終點(diǎn)的軌跡是圓．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)為______．
答案：
分析：由相等向量、相反向量的知識(shí)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.
【詳解】對(duì)于①，兩個(gè)單位向量方向不同時(shí)不相等，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，方向相同且模長(zhǎng)相等的向量為相等向量，與起點(diǎn)無關(guān)，②正確；
對(duì)于③，相等的非零向量方向相同且模長(zhǎng)相等，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)不同，③正確；
對(duì)于④，單位向量模長(zhǎng)相等，又方向相反，則這兩個(gè)向量為相反向量，④正確；
對(duì)于⑤，若兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，且模長(zhǎng)相等且不為零，則終點(diǎn)的軌跡為球面，⑤錯(cuò)誤；
則正確的命題個(gè)數(shù)為個(gè).
故答案為：.
考點(diǎn)2 向量的線性運(yùn)算
[名師點(diǎn)睛]
1.(1)解決平面向量線性運(yùn)算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.
(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.
2.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.
[典例]
1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）給出下列命題：
①若同向，則有；
②與表示的意義相同；
③若不共線，則有；
④恒成立；
⑤對(duì)任意兩個(gè)向量，總有；
⑥若三向量滿足，則此三向量圍成一個(gè)三角形．
其中正確的命題是__________填序號(hào)
答案：①⑤
【詳解】對(duì)于①，若同向，則與同向，所以，故正確；
對(duì)于②，與前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意義不相同，故②不正確；
對(duì)于③，若不共線，則有，故③不正確；
對(duì)于④，若，則，故④不正確；
對(duì)于⑤，對(duì)任意兩個(gè)向量，總有，故⑤正確；
對(duì)于⑥，若三向量滿足，若中有零向量，則此三向量不能圍成一個(gè)三角形，故⑥不正確．
故答案為：①⑤．
2．(2023·廣東·高三開學(xué)考試）在平行四邊形中，點(diǎn)、分別滿足，，若，，則（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：結(jié)合向量加法法則與減法法則運(yùn)算求解即可.
【詳解】解：因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃校c(diǎn)、分別滿足，，
所以，，
所以．
故選：A
3.如圖，在直角梯形ABCD中，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，且eq \(AE,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AD,\s\up6(→))，則2r＋3s＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 法一 由題圖可得
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→)).
因?yàn)閑q \(AE,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AD,\s\up6(→))，所以r＝eq \f(1,2)，s＝eq \f(2,3)，
則2r＋3s＝1＋2＝3.
法二 因?yàn)閑q \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝2(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→)))，
整理，得eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
以下同法一.
法三 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，
依題意可設(shè)點(diǎn)B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.
由eq \(AE,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AD,\s\up6(→))，
得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4m＝4mr＋3ms，,2h＝3hs，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r＝\f(1,2)，,s＝\f(2,3)，))
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
[舉一反三]
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，且，則等于（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；
【詳解】解：在中，為的中點(diǎn)，所以，
又，所以，
所以；
故選：C
2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，則（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：C.
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，G為EF的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：根據(jù)題意和平面向量的線性運(yùn)算即可得出結(jié)果.
【詳解】．
故選：B.
4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖平面四邊形ABCD中，，則可表示為（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：利用向量的線性運(yùn)算的幾何表示即得.
【詳解】∵，
∴，
∵，
又，
∴，即.
故選：D.
考點(diǎn)3 共線向量定理的應(yīng)用
[名師點(diǎn)睛]
利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.
(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.
[典例]
1．（2023·北京通州·一模）設(shè)向量是兩個(gè)不共線的向量，已知，，，且B，C，D三點(diǎn)共線，則______（用表示）；實(shí)數(shù)______．
答案：
分析：由向量減法法則得即可得答案，再根據(jù)B，C，D三點(diǎn)共線，得即可得答案.
【詳解】由向量減法法則得：，
由于B，C，D三點(diǎn)共線，所以，即：，
所以，解得：.
故答案為：；
2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，
（1）若，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
（2）試確定實(shí)數(shù)k，使和共線．
【解】（1）證明：，，，


，共線，
又∵它們有公共點(diǎn)B，
∴A，B，D三點(diǎn)共線．
（2）和共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使，
即，.
，是兩個(gè)不共線的非零向量，

，.
[舉一反三]
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（ ）
A．A，B，D三點(diǎn)共線B．A，B，C三點(diǎn)共線
C．B，C，D三點(diǎn)共線D．A，C，D三點(diǎn)共線
答案：A
【詳解】由題意得，又有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.
故選：A
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
答案：A
分析：根據(jù)向量共線定理得到，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以向量、共線，
所以存在，使得，即，
即，
因?yàn)?、不共線，所以，消去，得，
因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.
故選：A
3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，不共線，向量，，若O，A，B三點(diǎn)共線，則（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根據(jù)O，A，B三點(diǎn)共線，則，，，代入整理．
【詳解】因?yàn)镺，A，B三點(diǎn)共線，則
所以，，即
整理得：
又∵向量，不共線，則，則
故選：A．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知不共線向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) __________.
答案：
分析：根據(jù)三點(diǎn)共線的向量表達(dá)可得，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與基本定理求解即可
【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得，
所以，
即，
因?yàn)椴还簿€，所以，解得
故答案為：
5．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，，，分別為邊，，的中點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線.若，則實(shí)數(shù)的值為______.
答案：
分析：將化為以為基底可得，由，，三點(diǎn)共線可知，計(jì)算即可.
【詳解】，，，分別為邊，，的中點(diǎn)，
,
，，三點(diǎn)共線，
，解得：.
故答案為：.
6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且
（1）若m+n=1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；
（2）若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m+n=1.
【解】（1）證明：
若m+n=1，則，，
故，即，
，即共線，又有公共點(diǎn)，則A，P，B三點(diǎn)共線；
（2）證明：
若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得，變形得，即，，又，，故
向量運(yùn)算
定 義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a.
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求兩個(gè)向量差的運(yùn)算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb

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