2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第66講 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)（學(xué)生版）+教師版

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第66講 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)（學(xué)生版）+教師版，共2頁(yè)。學(xué)案主要包含了拋物線的定義等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
二 、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
三 、 與焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ為AB的傾斜角)．
(3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)為定值eq \f(2,p).
(4)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．
1、（2022?乙卷（文））設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)，若，則
A．2B．C．3D．
2、【2022年全國(guó)乙卷】設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3,0)，若AF=BF，則AB=（ ）
A．2B．22C．3D．32
3、（2021?新高考Ⅱ）若拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則
A．1B．2C．D．4
4、【2020年新課標(biāo)1卷理科】已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
5、（2023?乙卷（文））已知點(diǎn)在拋物線上，則到的準(zhǔn)線的距離為 ．
6、（2021?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且．若，則的準(zhǔn)線方程為 ．
1、拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為( )
A．y＝－eq \f(1,8) B．y＝－eq \f(1,4)
C．y＝－eq \f(1,2) D．y＝－1
2、拋物線y2＝x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
3. (多選)(2022·常德一模)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，則下列結(jié)論中正確的是( )
A. 焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)
B. 過(guò)點(diǎn)A(－1，0)恰有2條直線與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
C. 直線x＋y－1＝0與拋物線C相交所得弦長(zhǎng)為8
D. 拋物線C與圓x2＋y2＝5交于M，N兩點(diǎn)，則MN＝4
4. (2022·青島二中高三期末)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，直線l：x＝2交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，則拋物線C的方程為________．
考向一 拋物線的定義及其應(yīng)用
例1 (1)已知拋物線定點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線x－y＋2＝0上，則拋物線方程為____．
(2)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1，0)，且與直線x＝－1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為____．
變式1、過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的任意一條直線m，交拋物線于P1，P2兩點(diǎn)，求證：以P1P2為直徑的圓和該拋物線的準(zhǔn)線相切．
方法總結(jié)：與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化．
(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問(wèn)題得解．
(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．
考向二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
例2、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)P(－4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________________．
變式1、 已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：
(1) y1y2＝－p2，x1x2＝ eq \f(p2,4)；
(2) eq \f(1,AF)＋ eq \f(1,BF)為定值；
(3) 以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
變式2、（1）設(shè)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)在直線2x＋3y－8＝0上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A.x＝－4 B.x＝－3
C.x＝－2 D.x＝－1
（2）(2022·廣州模擬)已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P(4，y0)在拋物線上，K為l與y軸的交點(diǎn)，且|PK|＝eq \r(2)|PF|，則y0＝________，p＝________.
方法總結(jié)：1．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法：若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax(a≠0)，a的正負(fù)由題設(shè)來(lái)定；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論．
2．拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧
(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算
1、(2022·江蘇第一次百校聯(lián)考)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)A(－1，0)，拋物線上點(diǎn)P滿足PA＝eq \r(,2)PO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則PF的長(zhǎng)等于
A．1 B．eq \r(,2) C．2 D．eq \f(\r(,2),2)
2、(2022·武漢部分學(xué)校9月起點(diǎn)質(zhì)量檢測(cè))拋物線y2＝2x上兩點(diǎn)A，B與坐標(biāo)原點(diǎn)O構(gòu)成等邊三角形，則該三角形的邊長(zhǎng)為______．
3、(2022·湖南省雅禮中學(xué)開學(xué)考試)已知F是拋物線eq C：y\s\up6(2)＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝ ．
4、（2022·河北唐山·高三期末）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，，是C上兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．2
5、（2022·河北張家口·高三期末）已知是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，，則（ ）
A．2B．3C．6D．9
6、（2022·廣東東莞·高三期末）已知直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn).若線段的長(zhǎng)為16，的中點(diǎn)到軸距離為6，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是（ ）
A．B．C．D．
7、（2022·江蘇海門·高三期末）已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A，B在拋物線C上，且滿足AF⊥BF．設(shè)線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
圖形
頂點(diǎn)
對(duì)稱軸
焦點(diǎn)
離心率
準(zhǔn)線


范圍
開口方向
焦半徑(其中P(x0，y0))