2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第65講雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)（學(xué)生版）+教師版-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

一、雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的 (小于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2)))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的．
集合P＝{Meq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))))＝2a}，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a>0，c>0.
(1)當(dāng)a＜c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是；
(2)當(dāng)a＝c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是；
(3)當(dāng)a＞c時(shí)，點(diǎn)P ．
二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
常用結(jié)論
1、過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為eq \f(2b2,a)，也叫通徑．
2、與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
3、雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
4、若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
1、（2023?乙卷（文））設(shè)，為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是
A．B．C．D．
2、（2021?甲卷（文））點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為
A．B．C．D．
3、（2023?天津）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為
A．B．C．D．
4、（2023?北京）已知雙曲線的焦點(diǎn)為和，離心率為，則的方程為．
5、（2021?新高考Ⅱ）已知雙曲線的離心率，則該雙曲線的漸近線方程為．
6、（2021?乙卷（理））已知雙曲線的一條漸近線為，則的焦距為．
7、（2021?乙卷（文））雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離為．
8、【2020年新課標(biāo)1卷文科】設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（）
A．B．3C．D．2
9、【2020年新課標(biāo)3卷理科】設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（）
A．1B．2C．4D．8
1、雙曲線 eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,2)＝1的焦距為( )
A. 5 B. eq \r(5)
C. 2 eq \r(5) D. 1
2、已知雙曲線C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距為 2 eq \r(5)，點(diǎn)P(2，1)在雙曲線C的一條漸近線上，則雙曲線C的方程為( )
A. x2－ eq \f(y2,4)＝1 B. eq \f(x2,4)－y2＝1
C. eq \f(3x2,20)－ eq \f(3y2,5)＝1 D. eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,4)＝1
3、設(shè)P是雙曲線eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝9，則|PF2|等于( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不對
4、已知方程eq \f(x2,1＋k)－eq \f(y2,1－k)＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是（）
A． B． C． D．
5、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為eq \f(5,3)的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為（）
A． B． C． D．
6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1與雙曲線C2共焦點(diǎn)，雙曲線C2實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓C1的長軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則雙曲線C2的離心率為________．
考向一雙曲線的定義
例1 (1)已知定點(diǎn)F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是( )
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．圓
(2)(2022·濱州質(zhì)檢)eq \r(x2＋（y－3）2)－eq \r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲線方程為( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≤－2)
B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≤－2)
D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≥2)
變式、已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為________________.
方法總結(jié)：(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程．
(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立為|PF1|·|PF2|的關(guān)系．
(3)在運(yùn)用雙曲線的定義解題時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清楚是指整條雙曲線還是雙曲線的一支．
考向二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2、根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1) 虛軸長為12，離心率為 eq \f(5,4)；
(2) 焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M(0，12)；
(3) 經(jīng)過點(diǎn)P(－3，2 eq \r(7))和點(diǎn)Q(－6 eq \r(2)，－7)；
(4) 焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10，與雙曲線 eq \f(y2,4)－x2＝1有相同的漸近線．
變式、(1)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為eq \r(2).若經(jīng)過F和P(0，4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為____．
(2)與雙曲線eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)(－3，2eq \r(3))的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___．
方法總結(jié):求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法
(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值．
考向三雙曲線的性質(zhì)
例3、已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一條漸近線方程是y＝ eq \f(2,3)x，兩準(zhǔn)線間的距離為18，求雙曲線的方程．
變式1、（1）(2022·江蘇第一次百校聯(lián)考)雙曲線(a＞0，b＞0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)B在雙曲線C上．當(dāng)BF⊥AF時(shí)，|AF|＝|BF|，則雙曲線C的漸近線方程為 ▲ ．
（2）(2022·江蘇海安中學(xué)期初)從某個(gè)角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個(gè)對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為
A．eq \r(,2) B．eq \f(\r(,6),2) C．eq \f(3\r(,5),5) D．eq \f(4\r(,7),7)
A
D
C
O
B
圖1 圖2
變式2、（1）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)P在雙曲線上，則雙曲線的離心率是________．
（2）(2022·蘇州期初考試)已知點(diǎn)P為雙曲線C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左，右焦點(diǎn)，直線PF1與C的一條漸近線垂直，垂足為H，若PF1＝4HF1，則該雙曲線的離心率為
A．EQ \F(\R(,15),3) B．EQ \F(\R(,21),3) C．eq \f(5,3) D．eq \f(7,3)
（3）若雙曲線eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的斜率大于eq \f(2\r(3),3)，則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(21),3)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(21),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(7),2)))
（4）已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且PF1＝4PF2，則雙曲線的離心率e的最大值為________．
方法總結(jié)：求雙曲線離心率或其取值范圍的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.
1、(2022·江蘇如皋期初考試)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，雙曲線上一點(diǎn)P到的距離為11，則點(diǎn)P到的距離為（）
A．1B．21C．1或21D．2或21
2、(2022·江蘇如皋期初考試)已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條漸近線方程為，點(diǎn)在上，則的方程為( )
A．B．
C．D．
3、(2022·武漢部分學(xué)校9月起點(diǎn)質(zhì)量檢測)設(shè)雙曲線eq E：x\s\up6(2)－\f(y\s\up6(2),3)＝1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M是雙曲線E在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線MF1交雙曲線E的左支于點(diǎn)N，若NA∥MF2，則|MF2|＝
A．eq \f(7,4) B．eq \f(5,2) C．eq \f(8,3) D．eq \f(11,4)
4、(2022·湖南省雅禮中學(xué)開學(xué)考試)已知eq F\s\d(1)，F(xiàn)\s\d(2)是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且eq ∠F\s\d(1)PF\s\d(2)＝60°，eq |PF\s\d(1)|＝3|PF\s\d(2)|，則C的離心率為
A．eq \f(\r(,7),2) B．eq \f(\r(,13),2) C．eq \r(,7) D．eq \r(,13)
5、(2022·南京9月學(xué)情【零?！?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：eq \f(x\s\up6(2),a\s\up6(2))－\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2))＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2且垂直于x軸的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)1Q與y軸的交點(diǎn)為R，F(xiàn)1Q⊥PR，則C的離心率為
A．eq \r(,2) B．eq \r(,3) C．2 D．eq \r(,5)
6、(2022·江蘇如皋期初考試)已知雙曲線右支上存在點(diǎn)P使得到左焦點(diǎn)的距離等于到右準(zhǔn)線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是 . 標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
圖形
性質(zhì)
范圍
對稱性
頂點(diǎn)
漸近線
離心率
a，b，c的關(guān)系
實(shí)虛軸

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