2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第64講橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)（學(xué)生版）+教師版-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1、橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2 叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的．
集合P＝{M|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))＝2a}，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．
(1)若a＞c，則集合P為；
(2)若a＝c，則集合P為；
(3)若a＜c，則集合P為．
2、焦半徑：橢圓上的點P(x0，y0)與左(下)焦點F1與右(上)焦點F2之間的線段的長度叫做橢圓的焦半徑，分別記作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝，r2＝；
(2)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝，r2＝；
(3)焦半徑中以長軸為端點的焦半徑最大和最小(近日點與遠日點)．
3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1、（2022?甲卷（文））已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點，為的上頂點．若，則的方程為
A．B．
C．D．
2、（2023?甲卷（理））已知橢圓，，為兩個焦點，為原點，為橢圓上一點，，則
A．B．C．D．
3、（2022?新高考Ⅱ）已知直線與橢圓在第一象限交于，兩點，與軸、軸分別相交于，兩點，且，，則的方程為．
4、【2022年全國甲卷】橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線AP,AQ的斜率之積為14，則C的離心率為（）
A．32B．22C．12D．13
5、【2021年乙卷文科】設(shè)B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（）
A．B．C．D．2
6、【2021年乙卷理科】設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
7、【2021年新高考1卷】已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（）
A．13B．12C．9D．6
8、【2021年甲卷文科】已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．
1、設(shè)P是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
2、若方程 eq \f(x2,5－m)＋ eq \f(y2,m＋3)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A. (－3，5) B. (－5，3)
C. (－3，1) D. (－5，1)
3、橢圓C： eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線交橢圓C于A，B兩點，則△F1AB的周長為( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
4、已知橢圓 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4＋k)＝1的離心率為 eq \f(4,5)，則實數(shù)k的值為________．
5、過點(－3，2)且與eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦點的橢圓方程是（）
考向一橢圓的定義及其應(yīng)用
例1、（1）一動圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓O2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，試求動圓圓心的軌跡方程．
（2）求過點A(2，0)且與圓x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程．
變式1、(1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A是圓上任意一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
（2）△ABC的兩個頂點為A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周長為16，則頂點C的軌跡方程為( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0) B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)
方法總結(jié)：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))，通過整體代入可求其面積等
考向二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1) 經(jīng)過P(－2 eq \r(3)，0)，Q(0，2)兩點；
(2) 與橢圓 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1有相同的焦點且經(jīng)過點(2，－ eq \r(3)).
變式1、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)兩個頂點為(3，0)，(－3，0)，離心率為eq \f(2\r(2),3)；
(2)過點(eq \r(3)，－eq \r(5))，且與橢圓eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
變式2、求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3，0)；
(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側(cè)頂點的距離為eq \r(3)；
(3)經(jīng)過點P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)兩點；
(4)與橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同離心率，且經(jīng)過點(2，－eq \r(3)).
方法總結(jié)：用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟：
①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上、在y軸上，還是兩個坐標(biāo)軸上都有可能；
②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)；
③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、c的方程組；
④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求．
考向三橢圓的性質(zhì)
例3、（1）（2022·廣東清遠·高三期末）若橢圓的焦距為6，則實數(shù)（）
A．13B．40C．5D．
（2）（2022·江蘇海安·高三期末）若橢圓的焦距為，則該橢圓的離心率為_________．
（3）(2022·江蘇如皋期初考試)橢圓與關(guān)系為（）
A．有相等的長軸長B．有相等的離心率
C．有相同的焦點D．有相等的焦距
變式1、（1）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P在橢圓C上．若線段PF1的中點在y軸上，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為________．
（2）(2022·江蘇如皋期初考試)焦點在x軸上的橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為eq \f(b,3)，則橢圓的離心率為 .
變式3、 (1)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
（2）已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點A，B是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點P，使得∠APB＝120°，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
方法總結(jié)：求離心率的值關(guān)鍵是找到不等關(guān)系，解出a與c的關(guān)系，進而求出離心率的范圍。常見的等式關(guān)系主要有：1、若橢圓上的點，則根據(jù)范圍分布找到橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的范圍；2、若是橢圓上的點，則研究此點到焦點的范圍；要特別注意離心率的范圍。
考向四與橢圓有關(guān)的范圍(最值)
例4、已知F1，F(xiàn)2是橢圓 eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點，P是橢圓上的一個動點，求| eq \(PF1,\s\up6(→))＋ eq \(PF2,\s\up6(→))|的最小值．
變式1、橢圓 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1內(nèi)有一點P(1，－1)，F(xiàn)為右焦點，在橢圓上有一點M，當(dāng)MP＋2MF的值最小時，求點M的坐標(biāo)．
方法總結(jié)：與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法
(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)；
(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）曲線的方程是，則曲線的形狀是（）
A．圓B．橢圓C．線段D．直線
2、（2022·湖北江岸·高三期末）已知橢圓的左右焦點分別為，，離心率為e，下列說法正確的是（）
A．當(dāng)時，橢圓C上恰好有6個不同的點，使得為直角三角形
B．當(dāng)時，橢圓C上恰好有2個不同的點，使得為等腰三角形
C．當(dāng)時，橢圓C上恰好有6個不同的點，使得為直角三角形
D．當(dāng)時，橢圓C上恰好有2個不同的點，使得為等腰三角形
3、（2022·山東淄博·高三期末）已知橢圓的右焦點為F，上頂點為B，直線BF與C相交于另一點A，點A在x軸上的射影為，O為坐標(biāo)原點，若，則C的離心率為（）
A．B．C．D．
4、（2022·江蘇海門·高三期末）已知橢圓的焦點為、，點在橢圓的內(nèi)部，點在橢圓上，則（）
A．B．橢圓的離心率的取值范圍為
C．存在點使得D．
5、（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）若橢圓上的點到焦點距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為_________．
6、（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）橢圓是特別重要的一類圓錐曲線，是平面解析幾何的核心，它集中地體現(xiàn)了解析幾何的基本思想.而黃金橢圓是一條優(yōu)美曲線，生活中許多橢圓形的物品，都是黃金橢圓，它完美絕倫，深受人們的喜愛.黃金橢圓具有以下性質(zhì)：①以長軸與短軸的四個頂點構(gòu)成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個焦點，②長軸長，短軸長，焦距依次組成等比數(shù)列.根據(jù)以上信息，黃金橢圓的離心率為___________.
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)
圖形
性質(zhì)
范圍
對稱性
頂點
軸
焦距
離心率
a，b，c
的關(guān)系

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