(1) 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0)．
(2) 曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) .
2. 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
3. 導數(shù)的運算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則：
(1) [f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
(2) [f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
(3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2) (g(x)≠0)．
4. 復合函數(shù)的求導：復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)y′＝ f′(g(x))·g′(x) .
5. 設s＝s(t)是位移函數(shù)，則s′(t0)表示物體在t＝t0時刻的 瞬時速度 ; 設v＝v(t)是速度函數(shù)，則v′(t0)表示物體在t＝t0時刻的 瞬時加速度 .
1、【2022年新高考1卷】若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．
【答案】(-∞,-4)∪(0,+∞)
【解析】∵y=(x+a)ex，∴y'=(x+1+a)ex，
設切點為(x0,y0),則y0=x0+aex0,切線斜率k=x0+1+aex0,
切線方程為：y-x0+aex0=x0+1+aex0(x-x0),
∵切線過原點，∴-x0+aex0=x0+1+aex0(-x0),
整理得：x02+ax0-a=0,
∵切線有兩條，∴?=a2+4a>0,解得a0,
∴a的取值范圍是(-∞,-4)∪(0,+∞),
故答案為：(-∞,-4)∪(0,+∞)
2、【2022年新高考2卷】曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為____________，____________．
【答案】 y=1ex y=-1ex
【解析】
解： 因為y=lnx，
當x>0時y=lnx，設切點為x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切線方程為y-lnx0=1x0x-x0，
又切線過坐標原點，所以-lnx0=1x0-x0，解得x0=e，所以切線方程為y-1=1ex-e，即y=1ex；
當x0，其中f′(x)是f(x)的導數(shù)，寫出滿足上述條件的一個函數(shù) .
【答案】f(x)＝eq \f(1,3)x3＋2x－eq \f(4,3)(答案不唯一)
【解析】 可令f′(x)＝x2＋2，滿足f′(x)＋2x>0，則f(x)＝eq \f(1,3)x3＋2x＋C，f(1)＝eq \f(1,3)＋2＋C＝1，
故C＝－eq \f(4,3)，f(x)＝eq \f(1,3)x3＋2x－eq \f(4,3).
變式2 求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1) f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x；
(2) f(x)＝lneq \f(x－1,x＋1).
【解析】（1） f′(x)＝(x2＋2x－1)′e1－x＋(x2＋2x－1)(e1－x)′
＝(2x＋2)e1－x＋(x2＋2x－1)(－e1－x)
＝(－x2＋3)e1－x.
【解析】（2） 因為f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1)，
所以f′(x)＝[ln(x－1)－ln(x＋1)]′＝eq \f(1,x－1)－eq \f(1,x＋1)＝eq \f(2,x2－1).
變式3、求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1) f(x)＝x3＋x sin x；
(2) f(x)＝x ln x＋2x;
(3) f(x)＝excs x；
(4) f(x)＝ eq \f(1－sin x,cs x).
【答案】 (1) f′(x)＝3x2＋sin x＋x cs x.
(2) f′(x)＝ln x＋3.
(3) f′(x)＝ex cs x－ex sin x.
(4) f′(x)＝ eq \f(sin x－1,cs 2x).
方法總結(jié)：求函數(shù)導數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導．注意以下幾點：
連乘形式則先展開化為多項式形式，再求導；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；復合函數(shù)，先確定復合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元
考向二 求導數(shù)的切線方程
例2、（1）（2022·河北衡水中學一模）已知為偶函數(shù)，且當時，，則在處的切線方程為______．
（2）（2022·福建·三模）已知是定義在上的函數(shù)，且函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，則曲線在處的切線方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）；（2）【答案】D
【詳解】（1）設，，因為函數(shù)是偶函數(shù)，
所以，
當時，，，，
所以在處的切線方程為，
即.故答案為：
（2）令，因為為奇函數(shù)，故，
故即.
即，
當時，，
故，
故時，，
此時，故，而
故切線方程為：，
故選：D.
變式1、 (1) 若函數(shù)f(x)＝2 eq \r(x)的圖象在點(a，f(a))處的切線與直線2x＋y－4＝0垂直，求該切線的方程；
(2) 求過點P(2，5)與曲線f(x)＝x3－x＋3相切的直線方程；
(3) 若存在過點(1，0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋ eq \f(15,4)x－9都相切，求實數(shù)a的值．
【解析】 (1) 因為f(x)＝2 eq \r(x)，x≥0，所以f′(x)＝ eq \f(1,\r(x)).
因為f(x)＝2 eq \r(x)的圖象在點(a，f(a))處的切線與 2x＋y－4＝0垂直，
所以f′(a)＝ eq \f(1,\r(a))＝ eq \f(1,2)，解得a＝4，所以f(a)＝2× eq \r(4)＝4，
所以切線的方程為y＝ eq \f(1,2)(x－4)＋4，
即x－2y＋4＝0.
(2) 因為f(x)＝x3－x＋3，
所以f′(x)＝3x2－1.因為f(2)＝9，所以點P不在曲線f(x)上，
設切點為(x0，f(x0))，
則切線方程為y＝(3x eq \\al(2,0)－1)(x－x0)＋x eq \\al(3,0)－x0＋3.
因為切線過點P(2，5)，
所以5＝(3x eq \\al(2,0)－1)(2－x0)＋x eq \\al(3,0)－x0＋3，
即2x eq \\al(3,0)－6x eq \\al(2,0)＋4＝0，
解得x0＝1± eq \r(3)或x0＝1，
所以切線方程為y＝2x＋1或y＝(11－6 eq \r(3))x＋12 eq \r(3)－17或y＝(11＋6 eq \r(3))x－17－12 eq \r(3).
(3) 因為y＝x3，所以y′＝3x2.
因為y＝ax2＋ eq \f(15,4)x－9，所以y′＝2ax＋ eq \f(15,4).
因為過點(1，0)的直線與曲線y＝x3相切，
設切點為(x0，x eq \\al(3,0))，所以切線方程為y＝3x eq \\al(2,0)(x－x0)＋x eq \\al(3,0).
代入(1，0)，得3x eq \\al(2,0)(1－x0)＋x eq \\al(3,0)＝0，
解得x0＝0或x0＝ eq \f(3,2)，所以切線方程為y＝0或y＝ eq \f(27,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＋ eq \f(27,8).
設直線與曲線y＝ax2＋ eq \f(15,4)x－9相切于點(x1，ax eq \\al(2,1)＋ eq \f(15,4)x1－9)，
則切線方程為y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ax1＋\f(15,4)))(x－x1)＋ax eq \\al(2,1)＋ eq \f(15,4)x1－9＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ax1＋\f(15,4)))x－ax eq \\al(2,1)－9.
①若切線方程為y＝0，
則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ax1＝－\f(15,4)，,－ax eq \\al(2,1)－9＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(24,5)，,a＝－\f(25,64)．))
②若切線方程為y＝ eq \f(27,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＋ eq \f(27,8)，
即y＝ eq \f(27,4)x－ eq \f(27,4)，
則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ax1＋\f(15,4)＝\f(27,4)，,－ax eq \\al(2,1)－9＝－\f(27,4)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－\f(3,2)，,a＝－1.))
綜上所述，實數(shù)a的值為－ eq \f(25,64)或－1.
變式2、（2022·廣東深圳·二模）已知，若過點可以作曲線的三條切線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：設切點為，切線方程為，由，所以，所以，
則，所以，
令，則，
因為，所以當或時，當時，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當時取得極大值，當時取得極小值，即，，
依題意有三個零點，所以且，即；
故選：B
方法總結(jié)： 利用導數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：
(1)函數(shù)在切點處的導數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標．
(2)切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點．
(3)曲線y＝f(x)“在”點P(x0，y0)處的切線與“過”點P(x0，y0)的切線的區(qū)別：曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為k＝f′(x0)，是唯一的一條切線；曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過點P，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．
考向三 導數(shù)幾何意義的應用
例3、（1）已知函數(shù)是的導函數(shù)，則過曲線上一點的切線方程為__________________．
（2）：若直線是曲線的切線，則實數(shù)的值為________．
【答案】：(1)3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0 (2)－e
【解析】：(1)由f(x)＝3x＋cs 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cs 2x，
則a＝f′(eq \f(π,4))＝3－2sin eq \f(π,2)＋2cs eq \f(π,2)＝1.由y＝x3得y′＝3x2，
當P點為切點時，切線的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，則b＝1，所以切點P的坐標為(1,1)．
故過曲線y＝x3上的點P的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
當P點不是切點時，設切點為(x0，xeq \\al(3,0))，∴切線方程為y－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(x－x0)，
∵P(a，b)在曲線y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.∴1－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(1－x0)，
∴2xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋1＝0，∴2xeq \\al(3,0)－2xeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切點為，
∴此時的切線方程為，
綜上，滿足題意的切線方程為3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
(2)設切點為(x0，x0ln x0)，
由y′＝(xln x)′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝ln x＋1，得切線的斜率k＝ln x0＋1，
故切線方程為y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，整理得y＝(ln x0＋1)x－x0，與y＝2x＋m比較得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x0＋1＝2，,－x0＝m，))解得x0＝e，故m＝－e.
變式1、（2022·福建省福州格致中學模擬預測）已知函數(shù)，則函數(shù)___________.
【答案】
【解析】由題意得，且，
令，得，故
故答案為：
變式2、（2022·湖北武漢·模擬預測）已知函數(shù)，則__________.
【答案】-2
【解析】由函數(shù)求導得：，當時，，解得，
因此，，所以.
故答案為：-2
方法總結(jié)：1．利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法
利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進而求出參數(shù)的值或取值范圍．
2．求解與導數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應注意的兩點
(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．
1、（2022·湖南·模擬預測）已知P是曲線上的一動點，曲線C在P點處的切線的傾斜角為，若，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，所以，
因為曲線在M處的切線的傾斜角，
所以對于任意的恒成立，
即對任意恒成立，
即，又，當且僅當，
即時，等號成立，故，
所以a的取值范圍是．
故選：D．
2、（2022·湖南·雅禮中學二模）已知的一條切線與f（x）有且僅有一個交點，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設切點為，，，
所以切線方程為，
由，
得
，
整理得，
切線與f（x）的圖象有且僅有一個交點，所以，，
所以切線方程為，所以，
故選：A．
3、（2022·湖北·武漢二中模擬預測）已知函數(shù)，直線是曲線的一條切線，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設切點為，，
曲線在切點處的切線方程為，
整理得，所以．
令，則．
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增．故，
則的取值范圍是．
故選：C.
4、（2022·廣東汕頭·二模）已知函數(shù)，若過點存在3條直線與曲線相切，則t的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：設切點，
因為，
則，，
所以切線方程為，
因為切線過點，
所以，
即，
令，
則，
令，得或，
當或時，，當時，，
所以當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值，
因為存在3條直線與曲線相切，
所以方程有三個不同根，則，
故選：D
5、（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）已知f (x)=cs x，g (x) = x，則關(guān)于x的不等式的解集為__________.
【答案】
【解析】由題可得，即，
又，
所以，
所以，
∴原不等式的解集為.
故答案為：
6、（2022·山東·模擬預測）已知直線與曲線相切，則___________.
【答案】3
【解析】對求導，得，
設切點為，則，解得，
故答案為：3.
基本初等函數(shù)
導函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α是實數(shù))
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sinx
f′(x)＝ csx
f(x)＝csx
f′(x)＝ －sinx
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝ axlna
f(x)＝lnx
f′(x)＝ eq \f(1,x)
f(x)＝lgax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝ eq \f(1,xlna)

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