河南省鄭州市中牟縣第一高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

這是一份河南省鄭州市中牟縣第一高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題，共14頁。試卷主要包含了下列說法正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
命題人： 審題人：
單項(xiàng)選擇題（8小題，每題5分，共40分）
直線：的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
題目ID：923151775928684544
2.已知向量 a?=1,1,0，則與 a?同向共線的單位向量 e?=（ ）
A． -22,-22,0 B． 0,1,0
C． 22,22,0 D． -1,-1,0
題目ID：923151779690979328
3.使得“直線 ax+2y-1=0與直線 (a+1)x-2ay+1=0垂直”的充分不必要條件是（ ）
A． a=1 B． a=2 C． a=3 D． a=3或 a=0
題目ID：923151784271159296
4.若圓 x2+y2-4x+8y+2m=0的半徑為2，則實(shí)數(shù) m的值為（ ）
A．-9 B．-8 C．9 D．8
題目ID：923151791556665344
5.橢圓 x216+y225=1的焦點(diǎn)為 F1,F2,P為橢圓上一點(diǎn)，若 PF1=3，則 PF2=（ ）
A． 4 B． 3 C． 5 D． 7
題目ID：923151798288519168
6.曲線 y=1+4-x2與直線y＝k(x－2)＋4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． 0，512 B． 512，+∞ C． 13，34 D． 512，34
題目ID：923151801266479104
7.若圓 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0上存在到直線 4x-3y-2=0的距離等于1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（ ）
A． [-294,214] B． [-94,14]
C． (-∞,-94]∪[14,+∞) D． (-∞,-294]∪[214,+∞)
題目ID：923151807788621824
8.在正方體中，直線與平面所成的角為（ ）
A． B． C． D．
題目ID：909112522743746560
題目ID：909112565819252736
多項(xiàng)選擇題（3小題，每題6分，共18分）
9.
設(shè) a?， b?， c?是空間的一個(gè)基底，則下列說法不正確的是（ ）
A．則 a?， b?， c?兩兩共面，但 a?， b?， c?不可能共面
B．若 a?⊥b?， b?⊥c?，則 a?⊥c?
C．對(duì)空間任一向量 p?，總存在有序?qū)崝?shù)組 x,y,z，使 p?=xa?+yb?+zc?
D． a?+b?， b?+c?， c?+a?不一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底
題目ID：923151869071597568
10.下列說法正確的是（ ）
A．直線 xsinα-y+1=0的傾斜角的取值范圍為 0,π4∪3π4,π
B．“ c=5”是“點(diǎn) 2,1到直線 3x+4y+c=0距離為 3”的充要條件
C．直線 l： λx+y-3λ=0λ∈R恒過定點(diǎn) 3,0
D．直線 y=-2x+5與直線 2x+y+1=0平行，且與圓 x2+y2=5相切
題目ID：923151872699666432
11.
布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則（ ）
A． CG?=2AB?+2AA1?
B．直線 CQ與平面 A1B1C1D1所成角的正弦值為 23
C．點(diǎn) C1到直線 CQ的距離是 53
D．異面直線 CQ與 BD所成角的余弦值為 36
題目ID：909112628276629504
填空題（3小題，每題5分，共15分）
12.
點(diǎn) M在橢圓 x225+y29=1上， F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)， N為 MF的中點(diǎn)， ON=3，則 MF= .
題目ID：923151886196936704
13.
如圖，隧道的截面是半徑為 4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，假設(shè)貨車的最大寬度為 am，那么要正常駛?cè)朐撍淼溃涇嚨南薷邽槎嗌? .

題目ID：923151894333890560
14.
已知直線 l1:y=x-1上有兩個(gè)點(diǎn) A(x1,y1)和 B(x2,y2), 且 x1,x2為一元二次方程 x2-6x+1=0的兩個(gè)根, 則過點(diǎn) A,B且和直線 l2:x=-1相切的圓的方程為 .
題目ID：909112641077645312
解答題（5小題，77分）
15.（13分）已知點(diǎn) P1,4與直線l： x+y-1=0，圓C： x2+y2-4x+3=0
（1）一條光線從點(diǎn) P 射出，經(jīng)直線 l 反射后，通過點(diǎn) Q3,2 ，求反射光線所在的直線方程；
（2）過 P 點(diǎn)作圓的切線，求切線方程．
16.（15分）已知橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 -4,0,4,0，并且經(jīng)過點(diǎn) 52,332．
（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在E上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，垂足為D，點(diǎn)M滿足 DM?=53DP?，當(dāng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀（當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過橢圓與x軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)M與點(diǎn)P重合）．
題目ID：923151912977571840
17.（15分）已知圓 C1經(jīng)過點(diǎn) -2,0，且與圓 C2:x2+y2-4x+8y=0相切于原點(diǎn) O.
（1）求圓 C1 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線 l:ax+by+2a-b=0(a,b 不同時(shí)為 0 ) 與圓 C1 交于 A,B 兩點(diǎn)，當(dāng) AB 取得最小值時(shí)， l 與圓 C2 交于 C,D 兩點(diǎn)，求 CD 的值 .
18.（17分）如圖，在平行六面體 ABCD-A1B1C1D1中， DD1⊥平面ABCD， DC=2DA=4， DD1=23， DC1⊥D1B
（1）求證： DA⊥DB；
（2）求三棱錐 C-A1C1D的體積；
（3）線段 C1D1上是否存在點(diǎn)E，使得平面EBD與平面 ABB1A1的夾角為 π4?若存在，求 D1E的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.
19.（17分）過點(diǎn) Ax0,y0作斜率分別為 k1， k2的直線 l1， l2，若 k1k2=μμ≠0，則稱直線 l1， l2是 KAμ定積直線或 Kx0,y0μ定積直線．
（1）已知直線 a ： y=kxk≠0 ，直線 b ： y=-13kx ，試問是否存在點(diǎn) A ，使得直線 a ， b 是 KAμ 定積直線？請(qǐng)說明理由．
（2）在 △OPM 中， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 與點(diǎn) M 均在第一象限，且點(diǎn) Mx0,y0 在二次函數(shù) y=x2-3 的圖象上．若直線 OP 與直線 OM 是 K0,01 定積直線，直線 OP 與直線 PM 是 KP-2 定積直線，直線 OM 與直線 PM 是 Kx0,y0-2x02 定積直線，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
（3）已知直線 m 與 n 是 K-2,4-4 定積直線，設(shè)點(diǎn) O0,0 到直線 m ， n 的距離分別為 d1 ， d2 ，求 d1d2 的取值范圍．
. 2024——2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考
數(shù)學(xué)參考答案
題目ID：909112522743746560
【答案】
1.D
題目ID：923151775928684544
【答案】
2.C
【解析】
2.因?yàn)橄蛄?a→=(1,1,0)，
所以 a→=12+12+02=2，
所以與 a?同向共線的單位向量為： e?=a?a?=(22,22,0)，
故選：C.
題目ID：923151779690979328
【答案】
3.C
【解析】
3.直線 ax+2y-1=0與直線 (a+1)x-2ay+1=0垂直時(shí)， aa+1+2-2a=0，
a2-3a=0，解得 a=0或 a=3.
所以使得“直線 ax+2y-1=0與直線 (a+1)x-2ay+1=0垂直”的充分不必要條件是C選項(xiàng).
故選：C
題目ID：923151784271159296
【答案】
4.D
【解析】
4.由 x2+y2-4x+8y+2m=0，得 (x-2)2+(y+4)2=20-2m，
所以 r=20-2m=2，解得 m=8.
故選：D.
題目ID：923151791556665344
【答案】
5.D
【解析】
5.橢圓 x216+y225=1的長半軸長 a=5，依題意， |PF1|+|PF2|=2a=10，而 PF1=3，
所以 PF2=7.
故選：D
題目ID：923151798288519168
【答案】
6.D
【解析】
6.解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
由題意可得：直線 l過 A(2,4)， B(-2,1)，
又曲線 y=1+4-x2圖象為以 (0,1)為圓心，2為半徑的半圓，
當(dāng)直線 l與半圓相切， C為切點(diǎn)時(shí)，圓心到直線 l的距離 d=r，即 |3-2k|k2+1=2，
解得： k=512；
當(dāng)直線 l過 B點(diǎn)時(shí)，直線 l的斜率為 4-12-(-2)=34，
則直線 l與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù) k的范圍為 (512,34]．
故選： D．
題目ID：923151801266479104
【答案】
7.A
【解析】
7.解:將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得圓 (x-a)2+(y+2)2=16,
所以圓心坐標(biāo)為 (a,-2),半徑為 r=4
因?yàn)閳A x2+y2-2ax+4y+a2-12=0上存在到直線 4x-3y-2=0的距離等于1的點(diǎn)，
所以圓心到直線的距離 d滿足 d≤r+1=5,即 d=|4a+4|5≤5,解得: a∈[-294,214]
故選:A
題目ID：923151807788621824
【答案】
8.B
題目ID：923151814298177536
9.【答案】
BD
9.【解析】
對(duì)于A，顯然 a?， b?， c?兩兩共面，但 a?， b?， c?不可能共面，否則不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A正確；
對(duì)于B，由空間向量基底的定義可知，當(dāng) a?⊥b?， b?⊥c?時(shí)，所 a?,c?成角不一定為 π2，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，根據(jù)空間向量基本定理得到總存在有序?qū)崝?shù)組 (x,y,z)，使 p?=xa?+yb?+zc?，故C正確；
對(duì)于D，假設(shè)向量 a?+b?， b?+c?， c?+a?共面，
則 a?+b?=x(b?+c?)+y(c?+a?)，化簡得 -(x+y)c?+(1-x)b?+(1-y)a?=0?，
因?yàn)?a?， b?， c?不共面，所以 1-x=01-y=0x+y=0，無解，
所以 a?+b?， b?+c?， c?+a?不共面，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤．
故選：BD.
題目ID：923151869071597568
【答案】
10.ACD
【解析】
10.對(duì)于A：設(shè)直線 xsinα-y+1=0的傾斜角為 θ，
則 tanθ=sinα∈-1,1，所以 θ的取值范圍是 0,π4∪3π4,π，故A正確；
對(duì)于B：由點(diǎn) 2,1到直線 3x+4y+c=0距離為 3，可得 3×2+4×1+c32+42=3，
解得 c=5或 c=-25，
所以“ c=5”是“點(diǎn) 2,1到直線 3x+4y+c=0的距離為3”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C： λx+y-3λ=0λ∈R，即 λx-3+y=0，恒過定點(diǎn) 3,0，故C正確；
對(duì)于D：直線 y=-2x+5即 2x+y-5=0與直線 2x+y+1=0平行，
圓 x2+y2=5的圓心為 0,0，半徑為 5，
又圓心 0,0到直線 2x+y-5=0的距離為 -522+12=5，
所以 2x+y-5=0與圓 x2+y2=5相切，故D正確；
故選：ACD
題目ID：923151872699666432
11.【答案】
BC
11.【解析】
A選項(xiàng)，以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA?,AB?,AA1?所在直線分別為 x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則 A0,0,0,B0,1,0,A10,0,1,G-1,-1,2,Q0,-1,2,C-1,1,0，
B10,1,1,C1-1,1,1,D-1,0,0，
CG?=0,-2,2,AB?=0,1,0,AA1?=0,0,1，
則 2AB?+2AA1?=0,2,0+0,0,2=0,2,2≠CG?，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，平面 A1B1C1D1的法向量為 m?=0,0,1，
CQ?=0,-1,2--1,1,0=1,-2,2，設(shè)直線 CQ與平面 A1B1C1D1所成角的大小為 θ，
則 sinθ=csCQ?,m?=CQ??m?CQ??m?=1,-2,2?0,0,11+4+4=23，B正確；
C選項(xiàng)， CC1?=0,0,1，
點(diǎn) C1到直線 CQ的距離為 d=CC1?2-CC1??CQ?CQ?2=1-0,0,1?1,-2,21+4+42=1-232=53，C正確；
D選項(xiàng)， BD?=-1,0,0-0,1,0=-1,-1,0，
設(shè)異面直線 CQ與 BD所成角大小為 α，
則 csα=csCQ?,BD?=CQ??BD?CQ??BD?=1,-2,2?-1,-1,01+4+4×1+1+0=-1+2+032=26，D錯(cuò)誤.

故選：BC
題目ID：923151883336425472
12.【答案】
4
12.【解析】
如圖，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè) F為左焦點(diǎn)， F'為右焦點(diǎn)，
由橢圓 x225+y29=1，得 a=5， 2a=10，
∵N是 MF的中點(diǎn)， O是 FF'的中點(diǎn)，
∴ON為 △FMF'的中位線，
∴|MF'|=2|ON|=6，
∴由橢圓的定義得 |MF|=2a-|MF'|=10-6=4．
故答案為：4．
題目ID：923151886196936704
13.【答案】
16-a2m
13.【解析】
如圖，矩形 OMNP是貨車截面圖， OM=a，則 MN=ON2-OM2=16-a2，
故答案為： 16-a2m．

題目ID：923151894333890560
14.【答案】
（x-3）2+(y-2)2=16或 （x-11）2+(y+6)2=144
14.【解析】
l1:y=x-1 上有兩個(gè)點(diǎn) A(x1,y1) 和 B(x2,y2) , x1,x2 為一元二次方程 x2-6x+1=0 的兩個(gè)根，故 x1+x2=6 ，那么 y1+y2=4 ，所以 AB 中點(diǎn)坐標(biāo)為 （3，2） ，因?yàn)閳A心在直線 AB 的中垂線上，故過圓心的直線為 y=-x+5 ，設(shè)圓心的坐標(biāo)為 （a，5-a） ，由圓與直線 l2:x=-1 相切故 r=a+1 ，由弦長公式可得 AB=1+k2x1-x2=8 ，圓心到直線 AB 的距離為 |2a-6|2 ，因?yàn)閳A的半徑、半弦長、圓心到直線 AB 的距離構(gòu)成直角三角形，由勾股定理可知 r2=d2+12|AB|2?(a+1)2=2(a-3)2+16 解得：當(dāng) a=3 時(shí)， r=4 ；當(dāng) a=11 時(shí)， r=11 ，所以圓的方程為 (x-3）2+(y-2)2=16 或 （x-11）2+(y+6)2=144 ．
題目ID：923151902156263424
15.【答案】
（1） x-3y+3=0
（2） x=1或 y=-158x+478
15.【解析】
（1）設(shè)點(diǎn) P關(guān)于直線 l： x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn) P1坐標(biāo)為 (a,b)，
則有 b-4a-1?-1=-1a+12+b+42-1=0，解得 a=-3b=0，即 P1-3,0，
直線 P1Q的方程為： y-0=2-03-(-3)(x+3)，即 x-3y+3=0，
因反射光線過點(diǎn) Q3,2，而反射光線所在直線過點(diǎn) P1-3,0，
所以反射光線所在直線方程為 x-3y+3=0.
（2）圓C： x2+y2-4x+3=0即圓C： x-22+y2=1的圓心為 C2,0，半徑為 r=1，
過 P1,4點(diǎn)且斜率不存在的直線為 x=1，顯然 C2,0到直線 x=1的距離 d=1=r，故 x=1滿足題意；
設(shè)過點(diǎn) P1,4且斜率存在的直線 y=kx-1+4的直線與圓C： x-22+y2=1相切，
則 d=k+4k2+1=1，解得 k=-158，此時(shí)所求直線為 y=-158x-1+4，即 y=-158x+478；
綜上所述，滿足題意的切線方程為 x=1或 y=-158x+478.
題目ID：923151905369104384
16.【答案】
（1） x225+y29=1
（2）軌跡方程為 x2+y2=25，軌跡是：以 0,0為圓心，5為半徑的圓．
16.【解析】
（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2a2+y2b2=1a>b>0，
因?yàn)闄E圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 -4,0,4,0，并且經(jīng)過點(diǎn) 52,332
所以 2a=52+42+274+52-42+274=10，
所以 a=5， b2=a2-c2=25-16=9，
所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x225+y29=1.
（2）
設(shè) Mx,y， Px0,y0，則 Dx0,0， DM?=x-x0,y， DP?=0,y0
因?yàn)?DM?=53DP?，所以 x-x0=0y=53y0，則 x0=xy0=35y，
又因?yàn)?x0225+y029=1，
把 x0=xy0=35y代入上式得： x2+y2=25，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為 x2+y2=25，軌跡是：以 0,0為圓心，5為半徑的圓．
題目ID：923151912977571840
17.【答案】
（1） (x+1)2+(y-2)2=5；
（2） CD=78.
17.【解析】
（1）解：因?yàn)閳A C1與圖 C2相切，且點(diǎn) -2,0在圓 C2的外部，
所以圓 C1與圓 C2外切，
則 C1,O,C2三點(diǎn)共線，
圖 C2:x2+y2-4x+8y=0，
化為標(biāo)準(zhǔn)形式為： (x-2)2+(y+4)2=20，
所以圓心 C22,-4，
故圓心 C1在直線 y=-2x上，
設(shè)圓 C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x-t)2+(y+2t)2=r2，
又圓 C1過原點(diǎn) O0,0，則 r2=5t2，
圓 C1經(jīng)過點(diǎn) -2,0，則 (-2-t)2+(0+2t)2=r2=5t2，解得 t=-1，
故圓 C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x+1)2+(y-2)2=5；
（2）解：由（1）可知，圓 C1的圓心坐標(biāo)為 -1,2，
由直線 l:ax+by+2a-b=0，化為 ax+2+by-1=0，
所以直線 l恒過點(diǎn) P-2,1，
易知點(diǎn) P在圓 C1的內(nèi)部，
設(shè)點(diǎn) C1到直線 l的距離為 d，則 AB=2r2-d2=25-d2，
要使 AB取得最小值，則 d取得最大值，所以 PC1⊥l，
此時(shí) kPC1=2-1-1+2=1，所以 kl=-1，
則直線 l的方程為 y-1=-x+2，即 x+y+1=0.
又圓心 C2到直線 x+y+1=0的距離 d'=2-4+12=22，
所以 CD=220-222=78.
題目ID：923151915821305856
18.【答案】
（1）證明見解析
（2）4
（3）不存在，理由見解析
18.【解析】
（1）解法一：因?yàn)?DD1⊥平面ABCD， DC,DA?平面ABCD，
所以 DD1⊥DA， DD1⊥DC，所以 DD1??DA?=0， DD1??DC?=0，
因?yàn)?DC1⊥D1B，所以 DC1??D1B?=0，
又因?yàn)?DC1?=DC?+DD1?， D1B?=DB?-DD1?=DA?+DC?-DD1?.
所以 (DC?+DD1?)?(DA?+DC?-DD1?)=0，化簡得 DA??DC?=-4.
所以 DA??DB?=DA??(DA?+DC?)=DA?2+DA??DC?=4-4=0，
所以 DA⊥DB.
解法二：在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為H，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 D-xyz，
D0,0,0， D1(0,0,23)， C0,4,0， C10,4,23，
設(shè) Ba,b,0a>0，則 Aa,b-4,0，
所以 D1B?=(a,b,-23)， DC1?=(0,4,23)，
由 DC1⊥D1B得 D1B??DC1?=4b-12=0，所以 b=3，
又因?yàn)?DA=2，所以 a2+(b-4)2=2，解得 a=3，
所以 A3,-1,0， B(3,3,0)， DA?=(3,-1,0)， DB?=(3,3,0)，
所以 DA??DB?=(3)2-3=0，
所以 DA⊥DB.
解法三：在平面ABCD中，過B作DC的垂線，垂足為G，連結(jié) D1G交 DC1于F.
因?yàn)?DD1⊥平面ABCD， BG?平面ABCD，所以 DD1⊥BG，
因?yàn)?DC∩DD1=D， DC,DD1?平面 DCC1D1，所以 BG⊥平面 DCC1D1，
又因?yàn)?DC1?平面 DCC1D1，所以 BG⊥DC1，
因?yàn)?D1B⊥DC1， D1B∩BG=B， D1B,BG?平面 D1BG，所以 DC1⊥平面 D1BG，
因?yàn)?D1G?平面 D1BG，所以 DC1⊥D1G，
則 Rt△D1DG~Rt△C1D1D，所以 DGDD1=DD1D1C1=234，所以 DG=3， CG=1，
在 △GBC中， ∠BGC=90°， CG=1， BC=2，所以 BG=3，
在 △GBD中， ∠BGD=90°， DG=3,BG=3，所以 DB=23，
在 △ABD中， DB=3， DA=2， AB=4，所以 AB2=DB2+DA2，所以 ∠ADB=90°，
所以 DA⊥DB.
（2）因?yàn)?DC=2DA=4，由（1）知 ∠ADB=90°，所以 ∠ADC=120°，
過作 AH⊥CD于H，則 AH=AD?sin60°=3.
因?yàn)橹崩庵衅矫?CC1D1D⊥平面ABCD，平面 CC1D1D∩平面 ABCD=DC，
AH?平面ABCD，所以 AH⊥平面 CC1D1D，
所以 VC-A1C1D=VA1-CC,D=13S△CC1D?AH=13?12×DC×CC1?AH =13×12×4×23×3=4.
（3）解法一：假設(shè)存在點(diǎn)E滿足條件，
因?yàn)?DD1⊥平面ABCD， DA⊥DB，
所以以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz，如圖所示，
D0,0,0， A2,0,0， B0,23,0， C(-2,23,0)， D1(0,0,23)， C1(-2,23,23)，
DB?=(0,23,0),AA1?=(0,0,23),D1C1?=AB?=(-2,23,0)，
設(shè) D1E?=λD1C1?0≤λ≤1，則 DE?=DD1?+D1E?=(-2λ,23λ,23)，
設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為 n1?=（x1,y1,z1），
由 n1??DB?=0n1??DE?=0，得 23y1=0-2λx1+23λy1+23z1=0，
令 x1=3，得 y1=0,z1=λ，所以 n1?=(3,0,λ).
設(shè)平面 ABB1A1的一個(gè)法向量 n2?=x2,y2,z2，
由 n2??AA1?=0n2??AB?=0，得 23z2=0-2x2+23y2=0，
令 x2=3，得 y2=1,z2=0，所以 n2?=(3,1,0).
所以 csn1?,n2?=n1??n2?n1??n2?=323+λ2，
因?yàn)槠矫鍱BD與平面D1BD的夾角為 π4，
即 323+λ2=22，解得 λ=±62，
又因?yàn)?0≤λ≤1，所以 λ=±62舍去，
所以線段 C1D1上不存在點(diǎn)E使得平面EBD與平面 ABB1A1的夾角為 π4.
解法二：由（1）解法二得平面 ABB1A1的一個(gè)法向量為 n1?=(1,0,0)，
假設(shè)存在E點(diǎn)滿足條件，設(shè) D1E=λD1C10≤λ≤1，則 DE=DD1+D1E=(0,4λ,23)
設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為 n2?=x2,y2,z2，
由 n2??DE?=0n2??DB?=0，得 4λy2+23z2=03x2+3y2=0，
令 y2=3，則 x2=-3,z2=-2λ，所以 n2?=(-3,3,-2λ).
所以 csn1?,n2?=n1??n2?|n1?|?|n2?|=-312+4λ2，
因?yàn)槠矫鍱BD與平面D1BD的夾角為 π4，
即 -312+4λ2=22，解得 λ=±62.
又因?yàn)?0≤λ≤1，所以 λ=±62舍去，
所以線段 C1D1上不存在點(diǎn)E使得平面EBD與平面 ABB1A1的夾角為 π4.
題目ID：923151923333308416
19.【答案】
（1）存在，理由見解析
（2） 1,2
（3） 0,8
19.【解析】
（1）存在點(diǎn) A0,0，使得 a， b是 KAμ定積直線，理由如下：
由題意可得 k?-13k=-13，
由 y=kxk≠0y=-13kx，解得 x=0y=0，
故存在點(diǎn) A0,0，使得 a， b是 KAμ定積直線，且 μ=-13．
（2）設(shè)直線 OM的斜率為 λλ≠0，則直線 OP的斜率為 1λ，直線 PM的斜率為 -2λ．
依題意得 λ?-2λ=-2x02，得 λ2x02=1，即 λx0=1或 -1．
直線 OM的方程為 y=λx，因?yàn)辄c(diǎn) Mx0,x02-3在直線 OM上，所以 x02-3=λx0．
因?yàn)辄c(diǎn) M在第一象限，所以 x02-3=λx0=1，解得 x0=2或 -2（舍去）， λ=12， M2,1，
所以直線 OP的方程為 y=1λx=2x，直線 PM的方程為 y=-2λx-2+1=-x+3，
由 y=2xy=-x+3，得 x=1y=2，即點(diǎn) P的坐標(biāo)為 1,2．
（3）設(shè)直線 m:y-4=tx+2，直線 n:y-4=-4tx+2，其中 t≠0，
則 d1d2=2t+41+t2?8-4tt2+16=8t2-4t2+16t2+1=8t4-8t2+16t4+17t2+16
=81-25t2t4+17t2+16=81-25t2+17+16t2，
t2+17+16t2≥2t2?16t2+17=25，當(dāng)且僅當(dāng) t2=16t2，即 t2=4時(shí)，等號(hào)成立，
所以 0≤81-25t2+17+16t2