北師大版 （2019）第六章  立體幾何初步 單元測(cè)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、選擇題1、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐側(cè)面積的一半，那么其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為(   )A. B. C. D.2、已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，則球O的表面積為(   )A. B. C. D.3、如圖，是水平放置的的直觀圖，則在的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是(   )A.AB B.AD C.AC D.BC4、在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，則該棱錐的體積為(   )A.1 B. C.2 D.35、已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，平面ABC，，，，若球O的體積為，則AP的長(zhǎng)度為(   )A. B. C.1 D.6、已知球O是正三棱錐(底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心)的外接球，，，點(diǎn)E在線段BD上，且.過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是(   )A. B. C. D.7、已知體積為的球與正三棱柱的所有面都相切，則三棱柱外接球的表面積為(   )A. B. C. D.8、P，A，B，C在同一個(gè)球面上，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形；三棱錐的體積最大值為，則三棱錐的外接球的體積為(   )A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題9、已知l、m、n為空間中三條不同的直線，、、為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的有(   )A.若，，，則B.若，，，若，則C.若，l、m分別與、所成的角相等，則D.若，，，則10、如圖，四邊形ABCD為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則(   )A. B. C. D.三、填空題11、已知，，分別是平面，，的一個(gè)法向量，則，，三個(gè)平面中互相垂直的有___________對(duì).12、在正四棱臺(tái)中，，，，則該棱臺(tái)的體積為________.13、在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，BC上的點(diǎn)，若，則對(duì)角線AC與平面DEF的位置關(guān)系是__________.14、已知P、A、B、C是球面上的四點(diǎn)，且，，若三棱錐的體積的最大值為，則球的體積為________________.四、解答題15、如圖所示，已知ABCD為梯形，，，M為線段PC上一點(diǎn).（1）設(shè)平面平面，證明：.（2）在棱PC上是否存在點(diǎn)M，使得平面MBD？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.16、如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F在圓O上，，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面互相垂直，已知，，（1）求證：平面平面BCF.（2）設(shè)幾何體，的體積分別為，，求的值.
參考答案1、答案：D解析：設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面三角形底邊上的高為，則由題意可知，，因此有，即，解得，因?yàn)?/span>，所以.所以側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為.故選：D.2、答案：A解析：在三棱錐中，如圖，，則，同理，而，，平面，因此平面，在等腰中，，，則，，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點(diǎn)D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球O的表面積.故選：A.3、答案：C解析：是水平放置的的直觀圖，則在中，，AC為斜邊，AD為三角形內(nèi)部的一條線段，AC的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，即最長(zhǎng)的線段是AC；故選：C4、答案：A解析：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，所以，，所以，又，所以，所以，又，，平面ABC，所以平面ABC，所以，故選A.5、答案：C解析：第一步：求AC在中，由余弦定理，得，故.第二步：求的外接圓半徑設(shè)外接圓的半徑為r，由正弦定理知，解得.第三步：利用球的體積公式求球O的半徑由題可知球O的體積為，設(shè)球O的半徑為R，則，解得.第四步：利用勾股定理求AP因?yàn)?/span>平面ABC，所以，即，得，故選C.6、答案：A解析：如圖，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圓半徑，由勾股定理得棱錐的高，設(shè)球O的半徑為R，則，解得，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以在中，，當(dāng)截面垂直于OE時(shí)，截面面積最小，此時(shí)半徑為，截面面積為.故選：A.7、答案：B解析：因?yàn)榍?/span>的體積為，所以球的半徑為1，又球與正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱底面內(nèi)切圓的半徑為1，高為2，則三棱柱外接球的半徑為，即外接球的表面積為.8、答案：B解析：如圖所示，設(shè)球心為O，H是底面的外心，連接，則平面，延長(zhǎng)，當(dāng)P點(diǎn)為延長(zhǎng)線與球的交點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大.因?yàn)?/span>，所以，所以，設(shè)三棱錐的外接球半徑為R，連接，，在直角三角形中，，所以，解得，所以三棱錐的外接球的體積為.故本題正確答案為B.9、答案：BD解析： 圖一 圖二對(duì)于A，如圖1，若，，，則n可以與平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，，，且，，則，因?yàn)?/span>，，則，故，B對(duì)；對(duì)于C，如圖2，若，l、m分別與、所成的角為時(shí)，l與m可以相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則，又，則，D對(duì).10、答案：CD解析：設(shè)，則，，，于是，.如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，OF，則，且有，.于是，即.因?yàn)?/span>平面，平面ABCD，所以，又，且，，平面BDEF，所以平面BDEF.因?yàn)?/span>平面BDEF，所以.又，，平面ACE，所以平面ACE，所以，所以，，，，所以選項(xiàng)A，B不正確，選項(xiàng)C，D正確，故選CD.11、答案：0解析：因?yàn)?/span>，，，所以a，b，c中任意兩個(gè)都不垂直，即，，中任意兩個(gè)都不垂直.12、答案：解析：解法一：如圖所示，設(shè)點(diǎn)，O分別為正四棱臺(tái)上、下底面的中心，連接，，則點(diǎn)，O分別為，的中點(diǎn)，連接，則即正四棱臺(tái)的高，過點(diǎn)作，垂足為E，則.因?yàn)?/span>，，所以，，所以，又，所以，，所以，所以.解法二：如圖，將正四棱臺(tái)補(bǔ)形成正四棱錐，因?yàn)?/span>，，，所以，，，分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，又，所以，即.連接BD，取BD的中點(diǎn)為O，連接PO，則平面ABCD，易知，所以，所以正四棱臺(tái)的高為，所以.(或者，，所以)13、答案：平面DEF解析：因?yàn)?/span>，所以.又因?yàn)?/span>平面，平面DEF，所以平面DEF.14、答案：解析：設(shè)外接球的球心為O，要使三棱錐的體積取得最大值，則過點(diǎn)O作面ABC的垂線必過點(diǎn)P，因?yàn)?/span>，所以C點(diǎn)在以AB為直徑的半圓上，  如圖，過C作，交AB于點(diǎn)D，則所以設(shè)P在面ABC的射影為，，則，所以，所以，設(shè)，在中，，所以，解得所以故答案為：  
15、（1）答案：見解析解析：因?yàn)?/span>，平面PDC，平面PDC，所以平面PDC.又因?yàn)?/span>平面平面，且平面PAB，所以.（2）答案：存在點(diǎn)M，使得平面MBD，此時(shí)，理由見解析解析：存在點(diǎn)M，使得PA∥平面MBD，此時(shí).證明如下：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.因?yàn)?/span>，且，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.16、（1）答案：見解析解析：如圖，矩形ABCD中，，平面平面平面平面ABEF，所以平面ABEF又平面ABEF，又AB為圓O的直徑，則，BC，平面BCF，所以平面BCF，且平面ADF所以平面平面BCF.（2）答案：6解析：幾何體是四棱錐，是三棱錐，過F點(diǎn)作，交AB于H平面平面ABEF，平面ABCD則，，所以. 

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本章綜合與測(cè)試

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