1.會用正弦定理、余弦定理解決與三角形有關(guān)的幾何計(jì)算問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)2.會用正弦定理、余弦定理解決與距離、高度、角度有關(guān)的實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
滑行的距離滑冰是一項(xiàng)集力量、耐力和速度于一身的運(yùn)動項(xiàng)目.在第21屆溫哥華冬奧會上,有兩個(gè)滑冰者甲和乙位于冰面上A、B兩點(diǎn),A與B相距100 m.如果甲從A出發(fā),以8 m/s速度沿著一條與AB成60°角的直線滑行,同時(shí)乙從B出發(fā),以7 m/s 的速度沿著與甲相遇的最短直線滑行.那么相遇時(shí),甲滑行了多遠(yuǎn)呢?
一、解三角形與三角形有關(guān)的幾何計(jì)算在三角形的三條邊和三個(gè)角這6個(gè)元素中,如果已知3個(gè)(至少含一邊長),那么由余弦定理和正弦定理,就可以求得其他3個(gè)元素.具體情形如下:情形1　已知兩個(gè)角的大小與一條邊的邊長.先由三角形內(nèi)角和等于180°求出第三個(gè)角的大小,然后依據(jù)正弦定理求得另外兩條邊的邊長.情形2　已知兩條邊的邊長及其夾角的大小.先由余弦定理求出第三條邊的邊長,然后再由余弦定理求得第二、第三個(gè)角的大小.
情形3　已知三條邊的邊長.由余弦定理求出兩個(gè)角,再利用三角形內(nèi)角和等于180°求出第三個(gè)角.情形4　已知兩條邊的邊長和其中一邊對角的大小.首先,由正弦定理求出第二條邊所對角的正弦,這時(shí),要判斷是兩解、一解還是無解.然后,根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°得到第三個(gè)角的大小.最后,由余弦定理或正弦定理求得第三條邊的邊長.
名師點(diǎn)析1.應(yīng)用正弦定理可以解決怎樣的解三角形問題?(1)已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊,求其他兩邊和另一角.(2)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角,求另一邊的對角,進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角.2.應(yīng)用余弦定理可以解決哪些解三角形問題?(1)已知三角形的兩邊及其夾角,求其他的邊和角.(2)已知三角形的三邊,求三個(gè)角.
答案(1)C　(2)等腰直角三角形
二、解三角形的實(shí)際應(yīng)用1.實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語
2.解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形應(yīng)用題時(shí),通常都要根據(jù)題意,從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形,然后通過解三角形,得到實(shí)際問題的解.求解的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題.
(1)解題思路(2)基本步驟①分析:理解題意,弄清已知與未知,畫出示意圖(一個(gè)或幾個(gè)三角形);②建模:根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中,建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型;③求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解;④檢驗(yàn):檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際問題,從而得出實(shí)際問題的解.
微思考張曉同學(xué)從家中出發(fā),先向東走了1 000 m,然后拐彎向北走了200 m,你能用什么方法確定其方位?答案方向角
微練習(xí)1從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系是(　　)A.α>β　　　　　B.α=β C.α+β=90°D.α+β=180°解析如圖,在A處望B處的仰角α與從B處望A處的俯角β是內(nèi)錯(cuò)角,根據(jù)水平線平行,得α=β.答案B
微練習(xí)2已知目標(biāo)A的方位角為135°,請畫出其圖示.解如圖所示:
微練習(xí)3請分別畫出北偏東30°,南偏東45°的方向角.解如圖所示:
解三角形與三角形有關(guān)的幾何計(jì)算角度1　三角形中線段長度的計(jì)算例1在四邊形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的長.
解在△ABD中,設(shè)BD=x,由余弦定理,得BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cs∠BDA即142=x2+102-2·10x·cs 60°,整理得x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.由AD⊥CD,∠BDA=60°,知∠CDB=30°,
反思感悟 解決此類問題要處理好兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)找出已知某邊長的三角形,從中篩選出可解三角形.(2)找要求線段所在的三角形,確定所需條件.解題時(shí)二者應(yīng)結(jié)合,明確解題思路.
反思感悟 解決此類問題時(shí),要靈活運(yùn)用三角形中特有的恒等變形公式、三角形邊和角的相互轉(zhuǎn)換公式,主要是正弦定理、余弦定理,因此這類題型都可用不同的途徑求解.
解三角形的實(shí)際應(yīng)用角度1　測量距離問題§1　求可到達(dá)點(diǎn)與不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離問題例3如圖 ,一名學(xué)生在河岸緊靠岸邊筆直行走,開始在A處,經(jīng)觀察,在河的對岸有一參照物C,與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角,學(xué)生前進(jìn)200 m 后到達(dá)點(diǎn)B,測得該參照物與前進(jìn)方向成75°角.(1)求點(diǎn)A與參照物C的距離;(2)求河的寬度.
反思感悟 1.測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題,一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)角和一條邊解三角形的問題,從而運(yùn)用正弦定理解決.2.如圖,點(diǎn)B為不可到達(dá)點(diǎn),求A,B的距離的具體解題步驟:(1)取基線AC(盡量長),且使AB,AC不共線;(2)測量AC,∠BAC,∠BCA;
變式訓(xùn)練3 如圖所示,為了測量河的寬度,在一岸邊選定兩點(diǎn)A,B,望對岸標(biāo)記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,則河的寬度為　　　m.?
解析由題意,得∠ACB=180°-30°-75°=75°,所以△ABC為等腰三角形.因?yàn)楹訉捈催匒B上的高,這與邊AC上的高相等,過點(diǎn)B作BD⊥AC于D,所以河寬=BD=120sin 30°=60(m).答案60
反思感悟 測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題,一般是先把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長的問題,再把求未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測量問題,最后運(yùn)用正弦定理解決問題.
(1)A處與D處的距離;(2)燈塔C與D處的距離.
角度2　測量高度問題例5如圖,為了測量河對岸的塔高AB,選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C和D,測得CD=200 m,在點(diǎn)C和點(diǎn)D測得塔頂A的仰角分別是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
反思感悟 1.在測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度時(shí),可以借助正弦定理或余弦定理,構(gòu)造兩角(兩個(gè)仰角或兩個(gè)俯角)和一邊或三角(兩個(gè)方向角和仰角)和一邊,如圖所示.
2.解決測量高度問題的一般步驟:
變式訓(xùn)練5如圖,在山頂鐵塔上B處測得一點(diǎn)A的俯角為α,在塔底C處測得A處的俯角為β.若鐵塔高為m米,則山高CD為　　　　　米.?
因?yàn)锳B=40 m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此測繪人員到達(dá)點(diǎn)B時(shí),目標(biāo)參照物P相對于該測繪人員的方位角為180°-120°=60°,且目標(biāo)參照物P與他的距離為40 m.
反思感悟 解決實(shí)際測量中的角度問題的基本步驟(1)找準(zhǔn)觀測點(diǎn)以及參照物,根據(jù)“上北下南,左西右東”確定正北方向;(2)根據(jù)題意作出示意圖;(3)分析圖中的已知量和未知量,標(biāo)出有關(guān)角和線段的大小;(4)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.
變式訓(xùn)練6如圖所示,從A到B,方位角是50°,距離是470 m;從B到C,方位角是80°,距離是860 m;從C到D,方位角是150°,距離是640 m,試計(jì)算從A到D的方位角和距離.
§2　航海與追擊中的角度問題例7某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出呼救信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁輪在方位角為45°,距離為10 n mile的C處,并測得漁輪正沿方位角為105°的方向,以9 n mile/h的速度向某小島靠攏,我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救,求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間.
反思感悟 1.本題欲求方位角,先求邊長,而要求邊長,需先求時(shí)間.由于艦艇與漁輪同時(shí)在移動,因此相遇點(diǎn)不確定,即艦艇的航向不確定,解題時(shí)畫圖的關(guān)鍵是設(shè)出相遇點(diǎn)B,畫出可以求解的三角形.2.解決這類問題,首先明確題中所給各個(gè)角的含義,然后分析題意,根據(jù)題意畫出正確的示意圖,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,運(yùn)用正弦定理或余弦定理求解.
1.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍,則它的頂角的余弦值為(　　)
2.若P在Q的北偏東44°50'方向上,則Q在P的(　　)A.東偏北45°10'方向上B.北偏東45°50'方向上C.南偏西44°50'方向上D.西偏南45°50'方向上解析如圖所示,點(diǎn)Q在點(diǎn)P的南偏西44°50'方向上.答案C

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6.1 余弦定理與正弦定理

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