一、單選題
1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】B
【分析】先求出斜率，進(jìn)而可求出傾斜角.
【詳解】直線的斜率為，
所以其傾斜角為.
故選：B.
2．圓心為且過(guò)點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得圓的半徑，從而確定正確答案.
【詳解】圓的半徑為，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：A
3．如圖所示，三棱柱中，N是的中點(diǎn)，若，，，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】運(yùn)用空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算即可求得結(jié)果.
【詳解】.
故選：B.
4．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，P為橢圓的左頂點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意列式解得，進(jìn)而可得.
【詳解】由題意可得：，解得，
所以C的離心率為.
故選：A.
5．已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是，其漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)求出雙曲線方程，再根據(jù)漸近線的方程求出的值，綜合選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】解：由題意得：
雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是，
焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，
漸近線方程為，
，，
該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
故選：C
6．已知空間向量，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用空間向量的數(shù)量積和夾角的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>且，所以，
故選:D.
7．設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，若直線與圓相切，則（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意利用勾股定理即可求解．
【詳解】由圓的方程可得，故，
為原點(diǎn)，在圓上，與圓相切，
則.

故選:A．
8．設(shè)分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在直線上存在點(diǎn)P，使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用中垂線的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程即可.
【詳解】由題知，如圖所示：

設(shè)P，F(xiàn)1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），
由線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜，
即＝2c，
得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，
又0＜e＜1，所以≤e＜1.
故選：D.
二、多選題
9．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】討論截距是否為0，應(yīng)用點(diǎn)斜式、截距式并結(jié)合經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求直線方程.
【詳解】若截距都為0，則直線為；
若截距不為0，令直線為，則，
所以直線為；
綜上，所求直線方程為或.
故選：AC
10．已知圓：，直線：，則（ ）
A．直線過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為
B．直線與圓的位置關(guān)系無(wú)法確定
C．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)是
D．直線被圓截得的弦長(zhǎng)最大時(shí)
【答案】AD
【分析】A選項(xiàng)，變形后得到方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；B選項(xiàng)，確定直線所過(guò)定點(diǎn)在圓內(nèi)，從而得到直線與圓的位置關(guān)系；C選項(xiàng)，當(dāng)與直線垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，由兩點(diǎn)間距離公式和垂徑定理得到最短弦長(zhǎng)；D選項(xiàng)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，被圓截得的弦長(zhǎng)最大，將圓心坐標(biāo)代入直線，得到的值.
【詳解】A選項(xiàng)，變形為，
令，解得，
故直線過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，故在圓內(nèi)，則直線與圓相交，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，當(dāng)與直線垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，

此時(shí)，
由垂徑定理得，最短弦長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，被圓截得的弦長(zhǎng)最大，
將代入中，，
解得，D正確.
故選：AD
11．已知m，n是兩條不同直線，方向向量分別是，；，，是三個(gè)不同平面，法向量分別是，，，下列命題不正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意，由方向向量以及法向量的定義，逐一分析判斷空間線面的位置關(guān)系，即可得到結(jié)果.
【詳解】若，，可知平面同時(shí)垂直于平面，
但是無(wú)法確定平面與平面的位置關(guān)系，故A錯(cuò)誤；
若，，可知，，則或，故B錯(cuò)誤；
若，，可知或，或，
但是無(wú)法確定的位置關(guān)系，故C錯(cuò)誤；
若，，可知，垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，故D正確；
故選：ABC
12．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，，為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為和，且，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成曲線，點(diǎn)，是曲線上位于軸上方的點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為B．面積的最大值為
C．的最大值為D．的最小值為
【答案】CD
【分析】設(shè)，根據(jù)題意和兩點(diǎn)求直線斜率公式計(jì)算化簡(jiǎn)求出點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷；結(jié)合三角形的面積計(jì)算即可判斷；根據(jù)橢圓的定義和三角形三邊的大小關(guān)系即可判斷；結(jié)合橢圓的焦半徑公式可得，當(dāng)時(shí)取得最小值，即可判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)橐阎谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，，，
為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為和，且，
設(shè)點(diǎn)，則，，
由，得，
整理，得，
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，
此時(shí)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)：
由橢圓的定義，得，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)位于第四象限時(shí)等號(hào)成立，
所以，故正確；
對(duì)于選項(xiàng)：
如圖、為橢圓的準(zhǔn)線，由圓錐曲線統(tǒng)一定義得，
得，，
(其中)，有，
當(dāng)即時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，，得，，
所以，故正確.
故選：.
三、填空題
13．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線平行，則的方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求解作答.
【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，
又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程是，即.
故答案為：.
14．在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量的數(shù)量積計(jì)算即可.
【詳解】
不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則，
則，.
故答案為：.
15．已知圓與圓只有一條公切線，則 .
【答案】16
【分析】首先求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，依題意可知兩圓相內(nèi)切，即可得到，從而得解.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
因?yàn)閳A與圓只有一條公切線，
所以兩圓相內(nèi)切，所以，即，
所以.
故答案為：
16．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為，為其左右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【分析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率．
【詳解】由題可知共線，共線，
設(shè)，，則，
由得，，
又，
所以，，
所以，
所以，
由得，
因?yàn)?，故解得?br>則，
在中，，即，
所以．
故答案為：．
四、解答題
17．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是.
(1)求邊所在的直線方程；
(2)求邊上的高所在直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求解斜率，進(jìn)而由斜截式即可求解方程，
（2）根據(jù)斜率公式以及垂直關(guān)系得高所在直線斜率，即可求解.
【詳解】（1）由題意可得,
由斜截式可得直線方程為；
（2）,所以邊上的高所在直線的斜率為，
由點(diǎn)，所以邊上的高所在直線方程為.
18．設(shè)函數(shù)，．
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想即可得解.
【詳解】（1）
，
令，得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；
（2）由，得，
所以，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
19．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理化簡(jiǎn)即可；
（2）由的面積為可得，再根據(jù)余弦定理即可得，進(jìn)而求得周長(zhǎng).
【詳解】（1）由正弦定理，即，由余弦定理，且，故.
（2）由題意，解得.
由余弦定理，可得.
故的周長(zhǎng)為
20．已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解，
（2）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知其圓心為，
由題意可得，解得，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，∵
∴，∴，∴，
若直線的斜率不存在，則直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，不符合要求，
故直線的斜率存在，設(shè)直線為，即，
所以，化簡(jiǎn)得，解得或
所以直線的方程為或．

21．如圖.在四棱錐中，底面是矩形，平面為中點(diǎn)，且.

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由線面平行的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.
【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
（2）
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得.
設(shè)直線與平面所成角為，且，
∴，∴，
即直線與平面所成角的余弦值為.
22．已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，
聯(lián)立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因?yàn)椋瑒t直線，
令，解得，即,
同理可得，
則
，
所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟
（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；
（3）得出結(jié)論．

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