本試卷共4頁(yè)，23小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
第I卷 選擇題（60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)（其中i為虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算作答.
【詳解】依題意，.
故選：D
2. 與向量平行的單位向量為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】與向量平行的單位向量為，計(jì)算得到答案.
【詳解】與向量平行的單位向量為，
即或.
故選：C.
3. 若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦三角函數(shù)的定義可得答案.
【詳解】到原點(diǎn)的距離為，
則.
故選：D.
4. 在中，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理計(jì)算作答.
【詳解】在中，角所對(duì)的邊分別為，，
由正弦定理得，令，
由余弦定理得：.
故選：C.
5. 已知，，則（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由平方關(guān)系求出，再由二倍角公式計(jì)算．
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>所以．
故選：D．
6. 魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根完全一樣的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來(lái).若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的體積（容器壁的厚度忽略不計(jì)）的最小值為（ ）
A. B. C. D. 以上結(jié)果都不對(duì)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可轉(zhuǎn)化為求該幾何體外接球的體積，即長(zhǎng)、寬、高分別為4,2,8的長(zhǎng)方體的外接球的體積.
【詳解】由題意，該球形容器的體積最小時(shí)，該球形容器為長(zhǎng)、寬、高分別為4,2,8的長(zhǎng)方體的外接球，其直徑為，
半徑為，體積為.
即該球形容器的體積的最小值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的外接球的體積，結(jié)合傳統(tǒng)文化，考查學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理解能力，屬于中檔題.
7. 已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖像，利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，
，求導(dǎo)，令，得
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；
作出函數(shù)圖像，如圖所示，
由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
8. 已知函數(shù)的最大值為，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列判斷正確的（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 要得到函數(shù)的圖象只將的圖象向右平移個(gè)單位
D. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，再判斷四個(gè)選項(xiàng)中的命題是否正確即可．
【詳解】解：函數(shù)中，，，，，
又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，
解得，，；
；
對(duì)于，時(shí)，，，的最小值為，
錯(cuò)誤．
對(duì)于，時(shí)，，的圖象不關(guān)于對(duì)稱，錯(cuò)誤；
對(duì)于， 向右平移個(gè)單位，得的圖象，
且，正確；
對(duì)于，時(shí)，，是單調(diào)遞減函數(shù)，故錯(cuò)誤；
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了由部分圖象確定其解析式，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題．
9. 若實(shí)數(shù)滿足 ,則的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出約束條件表示的可行域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即得.
【詳解】畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影，
目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)最大，由，得，
所以當(dāng)時(shí)，最大，最大值為.
故選：C
10. 如圖1，在菱形中，，是其對(duì)角線，是上一點(diǎn)，且，將沿直線翻折，形成四棱錐（如圖2），則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論中正確是（ ）

A. 存在某個(gè)位置使得B. 存在某個(gè)位置使得
C. 存在某個(gè)位置使得D. 存在某個(gè)位置使得
【答案】B
【解析】
【分析】選項(xiàng)A，在翻折過(guò)程中，與夾角始終不變，，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，轉(zhuǎn)化為判斷和是否會(huì)垂直，由圖觀察翻折過(guò)程中和夾角的變化范圍可得解；選項(xiàng)C，由圖觀察翻折過(guò)程中和夾角的變化范圍可得解；選項(xiàng)D，由于平行于翻折前的，故只需觀察翻折過(guò)程中與翻折前的的夾角變化范圍可得解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，沿翻折，在翻折過(guò)程中，與夾角始終不變，，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B，，轉(zhuǎn)化為判斷和是否會(huì)垂直，由圖觀察翻折過(guò)程中和夾角變化范圍是，故存在某個(gè)位置使得，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，由圖觀察翻折過(guò)程中和夾角的變化范圍是，故不存在某個(gè)位置使得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，由于平行于翻折前的，故只需觀察翻折過(guò)程中與翻折前的的夾角變化范圍，由圖觀察翻折過(guò)程中與的夾角變化范圍是，所以不存在某個(gè)位置使得，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
11. 已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，若球的體積為，則該三棱錐的體積的最大值是（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將三棱錐放入長(zhǎng)方體內(nèi)，得到為球直徑，由基本不等式求出，從而求出三棱錐的體積的最大值.
【詳解】因?yàn)?，易知三角形為等腰直角三角形?br>又平面，所以為三棱錐的高，
則可將三棱錐放入長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖，

長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球直徑，即為球直徑，
，
解得，
又，
解得，
，所以
所以三棱錐的體積，
故選：A
【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑
12. 已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先由題意推出，然后由基本不等式即可求解.
【詳解】一方面由題意有，
另一方面若有成立，
結(jié)合以上兩方面有，
且注意到，
所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，
若，則只能，
因此當(dāng)且僅當(dāng)；
又已知，
所以，即，
由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)，從而得出，從而由基本不等式即可順利求解.
第II卷 非選擇題
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 設(shè)，若，則的值組成的集合為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出集合中的取值,再代入集合中求的值,注意當(dāng)為空集時(shí)也滿足.
【詳解】由題, 中解得或.
當(dāng)時(shí),代入得,；
當(dāng)時(shí)代入得,；
當(dāng)為空集時(shí), .
故答案為 .
【點(diǎn)睛】集合則集合中任意元素都能在集合中找到.特別的,當(dāng)時(shí)也成立.
14. 已知函數(shù)，若，則________
【答案】2
【解析】
【分析】分段函數(shù)已知函數(shù)值求自變量，分段代入函數(shù)值，討論即可.
【詳解】若，則，可得無(wú)解；
若，則，求得或（舍去）.故答案為2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的求值問(wèn)題，已知函數(shù)值求解自變量時(shí)，要根據(jù)分段情況進(jìn)行討論求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
15. 將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再將所得的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，則的一個(gè)可能取值為_________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)、的解析式，并求出平移后的函數(shù)解析式，可得出關(guān)于的等式，由此可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象，
再將所得的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，可得到函數(shù)的圖象，
因?yàn)椋?br>所以，，可得，
故的一個(gè)可能取值為.
故答案為：（答案不唯一）.
16. 在平面四邊形中，，則四邊形的面積的最大值為_________．
【答案】6
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理可得，進(jìn)而可求得的面積，在中，由余弦定理可得，進(jìn)而可得的面積，即可得結(jié)果.
【詳解】在中，由正弦定理，可得，
所以的面積；
在中，由余弦定理，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，且，則，
所以的面積；
顯然當(dāng)B、D位于直線AC的兩側(cè)時(shí)，四邊形ABCD的面積較大，
此時(shí)四邊形的面積.
所以四邊形的面積的最大值為.
故答案為：6.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與解三角形有關(guān)的交匯問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)
（1）根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正弦、余弦定理完成邊角互化；
（2）結(jié)合三角恒等變換、三角函數(shù)以及基本不等式分析運(yùn)算．
三、解答題：共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第 17～21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共 60 分.
17. 已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的最小正周期，最大值及取到最大值的的取值集合；
（2）已知銳角滿足，求的值.
【答案】17. 最小正周期為；當(dāng)時(shí)，最大值為3.
18.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由三角恒等變換化簡(jiǎn)，即可得到，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由條件可得，結(jié)合二倍角公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
，
則函數(shù)的最小正周期為，令，，解得，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為3.
【小問(wèn)2詳解】
由于，即，解得，則，解得，又為銳角，即，則，所以，即，所以.
18. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值.
（1）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若時(shí)，方程有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由，則，
因?yàn)闀r(shí)，取到極值，所以，解得.
又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，符合題意.
要使在上為增函數(shù)，則或，所以或.
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問(wèn)2詳解】
令，由（1）得，且，
故，，則，
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
故，而，，故.
要使有兩個(gè)根，則.
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
19. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
（1）求角的大小；
（2）若是的中點(diǎn)，，且的面積為，求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用正弦邊角關(guān)系得，再由余弦定理求角；
（2）由，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，應(yīng)用三角形面積公式、正余弦定理求邊長(zhǎng)，進(jìn)而求的值.
【小問(wèn)1詳解】
由正弦邊角關(guān)系知：，則，
又，故.
【小問(wèn)2詳解】
如下圖，，且，

所以，
又①，且，即為銳角，
所以，則，且，即，
所以②，
由①②可得：或4，即或2，
當(dāng)，則，，不合題意；
所以，則，，故.
20. 圖1是由正方形組成的一個(gè)等腰梯形，其中，將、分別沿折起使得E與F重合，如圖2．
（1）設(shè)平面平面，證明：；
（2）若二面角的余弦值為，求長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）由已知得平面，再由面面平行的性質(zhì)可得答案；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，與平行的直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面和平面的法向量由數(shù)量積公式可得，可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋矫?，平面?br>所以平面，
又平面，平面平面，所以.
（2）因?yàn)?，，所以?br>又，，平面，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>過(guò)E作于點(diǎn)O，則O是的中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面?br>所以平面，
以O(shè)為原點(diǎn)，與平行的直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則，
所以平面的一個(gè)法向量，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則，
同理可求得平面的一個(gè)法向量為，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，，
可判斷二面角的平面角為銳角且向量夾角與二面角相等，故舍去，
所以，此時(shí)，,
所以.
【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)，二面角、模長(zhǎng)的向量求法，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是建立空間直角坐標(biāo)系，考查了學(xué)生的空間想象力和計(jì)算能力.
21. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若方程的兩根分別為，，且．
①求實(shí)數(shù)m的值；
②若，，證明：．
【答案】（1）答案見詳解
（2）①；②證明過(guò)程見詳解
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)及即可討論的單調(diào)性；
（2）①將原方程轉(zhuǎn)化為，再將，分別代入其中，整理得到，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，進(jìn)而即可求解；
②結(jié)合①得到，求，再設(shè)在處的切線斜率為，從而求得在處的切線方程為，再構(gòu)造函數(shù)，，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)證明（證明過(guò)程可再次構(gòu)造函數(shù)），再分別令，且滿足，，進(jìn)而通過(guò)放縮及令即可得到結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
由，則，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
【小問(wèn)2詳解】
①由，
則方程兩根分別為，，
等價(jià)于方程的兩根分別為，，
則，即，(*)
又，即，
則即，(**)
所以(*)－(**)得，
構(gòu)造，
則，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，則，解得，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，則，所以，解得，符合題意．
②結(jié)合①可得，則，
設(shè)在處的切線斜率為，則，
又，則在處的切線方程為，
設(shè)，，則，且，
設(shè)，則，
又，則，僅在時(shí)取得等號(hào)，
所以在上單調(diào)遞增，且，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則，即，，
分別令，且滿足，，
則，
令，則，
故．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過(guò)結(jié)合和在處的切線方程來(lái)證明，，再通過(guò)放縮及令是解答小問(wèn)②的關(guān)鍵．
（二）選考題：共 10 分.請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線M的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），曲線N的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.
（1）求曲線M，N的極坐標(biāo)方程；
（2）若射線與曲線M交于點(diǎn)A（異于極點(diǎn)），與曲線N交于點(diǎn)B，且，求.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）先化成直角坐標(biāo)方程，然后由即可化為極坐標(biāo)方程.
（2）把分別代入（1）中所求得的表達(dá)式得，結(jié)合已知即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意曲線M的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），
可得，即，
又由，可得，
所以曲線M的極坐標(biāo)方程為，
由，可得，即，
即曲線N的極坐標(biāo)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
將代入，可得，
將代入，可得
則，
因?yàn)?，所以?
又因?yàn)?，所以?br>[選修 4-5：不等式選講]（10 分）
23. 設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；
（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法解不等式可得出函數(shù)的定義域；
（2）由可得可得出，然后解不等式可得出，根據(jù)題意得出，進(jìn)而可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)有意義，需滿足.
當(dāng)時(shí)，則有，即，解得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，則有，即，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，則有，即，解得，此時(shí).
綜上所述，不等式的解集為.
因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（2）當(dāng)時(shí)，由可得，則，可得
由可得，解得
，，解得.
因此，實(shí)數(shù)取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解，同時(shí)也考查了含絕對(duì)值不等式中參數(shù)的求解，第（2）問(wèn)中將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩區(qū)間的包含關(guān)系是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.

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