本試卷共4頁，23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
第I卷選擇題（60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合滿足，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)補集的定義求出集合，再判斷即可.
【詳解】因為，且，
所以，
所以，，，.
故選：D
2. 已知復(fù)數(shù)，則（）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，所以.
故選：A.
3. 若函數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式由內(nèi)到外可計算得出的值.
【詳解】由題意可得，則.
故選：C.
4. 函數(shù)在上的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值，即可排除選項.
【詳解】首先，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除D，，故排除B，
當(dāng)時，，故排除A，只有C滿足條件.
故選：C
5. 已知函數(shù)，，則的值為（）
A. 1B. 0C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)為奇函數(shù)，即得解.
【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)為奇函數(shù).
又，∴，∴.
故選：B
6. 若，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將兩邊同時平方得到，進(jìn)而可以縮小角的范圍，得到，從而得到，然后結(jié)合二倍角以及同角的平方關(guān)系即可求出結(jié)果.
【詳解】將兩邊同時平方，，所以，
因此，異號，故，且，則，
因此，而，，
所以，
故選：D.
7. 現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點處的曲率.函數(shù)的圖象在處的曲率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出、，代值計算可得出函數(shù)的圖象在處的曲率.
【詳解】因為，所以，，
所以，，
所以.
故選：D.
8. 若，則（）
AB. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】將用替換后，解方程解出即可.
【詳解】因為，
可得，
可得，
解得，因為，所以，
所以，
所以.
故選：C.
9. 已知函數(shù)，則（）
A.
B. 函數(shù)有一個零點
C. 函數(shù)是偶函數(shù)
D. 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性性質(zhì)判斷A，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合零點定義判斷B，舉反例判斷C，證明，由此可得函數(shù)的對稱性，判斷D，綜合可得答案．
【詳解】函數(shù)的定義域為，
對于A，函數(shù)，
函數(shù)在R上為增函數(shù)，易得在R上為增函數(shù)，
則有，A錯誤；
對于B，，有，則有，
所以沒有零點，B錯誤；
對于C，，，
所以，不是偶函數(shù)，C錯誤；
對于D，因為，
所以
所以，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，D正確；
故選：D．
10. 如圖，邊長為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點，，則三棱錐外接球的表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到平面ABEF，進(jìn)一步得出，，則MC為外接球直徑，代入球的表面積公式即可求解．
【詳解】由可知，，，可求，，，
因為平面平面ABEF，平面平面，
又，平面，
所以平面ABEF，平面ABEF，所以，
由，，得，
又，同理可得得，又，
所以，所以.
所以MC為外接球直徑，
在Rt△MBC中，即，
故外接球表面積為．
故選：A．
11. 將的圖象橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再向右平移個單位長度，得到的圖象，若在上單調(diào)遞增，則正數(shù)的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律求得的解析式，進(jìn)而得的解析式，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求得的范圍．
【詳解】將的圖象橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的圖象，
再向右平移個單位長度，得到的圖象．
，
由，，
得，
∴的增區(qū)間為，
若在上單調(diào)遞增，則，
∴且，∴且，
又，∴當(dāng)時，，
故答案為：B．
12. 已知，，，則大小關(guān)系為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別構(gòu)造和，求導(dǎo)判斷出在上的單調(diào)性，比較出函數(shù)值與端點值的大小關(guān)系，進(jìn)而得出的大小關(guān)系．
【詳解】令，
則恒成立，即在上單調(diào)遞增，且，
故，取，則，即，
可得，即；
令，
則恒成立，即在上單調(diào)遞減，且，
故，取，則，即，
可得，即；
綜上可得：的大小關(guān)系為
故選：B
第II卷非選擇題
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 展開式中的常數(shù)項為________.
【答案】##
【解析】
【分析】寫出展開式的通項公式，令x的指數(shù)為0，求得參數(shù)r，即可求得答案.
【詳解】由題意的通項公式為，
令，
故展開式中的常數(shù)項為，
故答案為：
14. 已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點在角的終邊上，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義和二倍角公式可得答案.
【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，
由二倍角公式得.
故答案為：.
15. 在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的最大值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，求出含有數(shù)0的單調(diào)遞減區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系求解作答.
【詳解】依題意，，
由得，因此，函數(shù)含有數(shù)0的單調(diào)遞減區(qū)間是，
因在上單調(diào)遞減，于是得，即，解得，
所以實數(shù)m的最大值是.
故答案為：
16. 若存在，使得，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先注意到，故考慮切線放縮，從而，所以，考慮取等條件是否成立即可.
【詳解】不妨設(shè)，求導(dǎo)得，
而在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，
所以，
所以等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，
注意到，
所以考慮切線放縮有，
從而，
又，所以，
由以上分析可知不等式取等，當(dāng)且僅當(dāng)，，
接下來考慮是否成立：
不妨設(shè)，則，即單調(diào)遞增，
注意到，
所以由零點存在定理可知，使得.
綜上所述：若存在，使得，則只需，從而的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決問題的關(guān)鍵是考慮切線放縮，從而，另一個關(guān)鍵的地方是證明是否成立，從而即可順利求解.
三、解答題：共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 17～21 題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共 60 分.
17. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象．
（1）若為奇函數(shù)，求的值；
（2）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．
【答案】（1）或或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)式再平移得，結(jié)合奇偶性計算即可；
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性計算即可.
【小問1詳解】
易知，
向左平移個單位長度得，
因為為奇函數(shù)，所以，
故，
因為，所以或或；
【小問2詳解】
由（1）知，
，
則由題意可知，
結(jié)合，取時分別得，，
即.
18. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（1）求；
（2）已知，，求△ABC面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果；
（2）由正弦邊角關(guān)系得，，結(jié)合求值，應(yīng)用正弦定理求，進(jìn)而求出三角形的面積.
【小問1詳解】
由已知，
所以，
結(jié)合余弦定理，，
化簡得：，所以．
【小問2詳解】
由正弦定理知，即，又，所以，
顯然，即，故，
由，
又，則，
所以面積.
19. 設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，．
（1）求的極值；
（2）對于，，都有，試求實數(shù)取值范圍．
【答案】（1）極小值為，無極大值.
（2）
【解析】
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出極值；
（2）由導(dǎo)數(shù)得出，的值域，由的值域是的值域的子集得出實數(shù)的取值范圍．
【小問1詳解】
，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
函數(shù)的極小值為，無極大值.
【小問2詳解】
由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.
，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
因為，所以，.
即.
因為，，都有，
所以的值域是的值域的子集.
即，解得.
即實數(shù)的取值范圍為.
20. 如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，是邊的中點.
（1）求證：；
（2），，平面與平面所成二面角為，求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）連接，根據(jù)題意證得，結(jié)合線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得；
（2）過作的垂線，由平面，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求得平面的一個法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【小問1詳解】
證明：如圖所示，連接，因為是等邊三角形，所以
在和中，因為，，
所以，所以，
又因為是邊的中點，所以，.
因為，平面，平面，所以平面，
又因為平面，所以.
【小問2詳解】
解：在中，過作的垂線，交與點，
由（1）可得平面，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
又由，且平面與平面所成二面角為，
因為，，所以為平面與平面所成二面角的平面角，
即，所以，
可得，，，，，
設(shè)平面的法向量為，且，
則，令，則，，所以
又因為，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
可得，即直線與平面所成角的余弦值為.
21. 已知，且0為的一個極值點．
（1）求實數(shù)的值；
（2）證明：①函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點；
②，其中且．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求得，由0為的一個極值點，可得，進(jìn)而求解；
（2）①當(dāng)時，由，可得單調(diào)遞減，由，可得，此時函數(shù)無零點；當(dāng)時，設(shè)，結(jié)合其導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，結(jié)合，和零點存在性定理，可知存在，使得，進(jìn)而得到單調(diào)性，結(jié)合得到在上單調(diào)遞增；結(jié)合，，存在，得到函數(shù)的單調(diào)性，可得而在上無零點；當(dāng)時，由，可得在單減，再結(jié)合零點存在定理，可得函數(shù)在上存在唯一零點；當(dāng)時，由，此時函數(shù)無零點，最后綜合即可得證.
②由（1）中在單增，所以，有，可得.令，利用放縮法可得，再結(jié)合，分別利用累加發(fā)可得，，即可求證.
【小問1詳解】
由，
則，
因為0為的一個極值點，
所以，所以．
當(dāng)時，，
當(dāng)時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，
由零點存在定理，存在，使得，
且當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，
又因為，
所以，，在上單調(diào)遞增；.
綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以0為的一個極值點，故.
【小問2詳解】
①當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，
所以對，有，此時函數(shù)無零點；
當(dāng)時，設(shè)，
則，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，
由零點存在定理，存在，使得，
且當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即單調(diào)遞減．
又因為，
所以，，在上單調(diào)遞增；
因為，，
所以存在，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增，；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，，
此時在上無零點；
當(dāng)時，，
所以在單減，
又，，
由零點存在定理，函數(shù)在上存在唯一零點；
當(dāng)時，，此時函數(shù)無零點；
綜上所述，在區(qū)間上存在唯一零點．
②因為，由（1）中在上的單調(diào)性分析，
知，所以在單增，
所以對，有，
即，所以．
令，則，
所以，
設(shè)，，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，
即，，
所以，
所以，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第（2）②，關(guān)鍵在于先證明，令，利用放縮法可得，再結(jié)合累加法即可得證.
（二）選考題：共 10 分.請考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線的普通方程；
（2）若曲線上恰有三個點到曲線的距離為，求實數(shù)a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)即可求出曲線的普通方程；
（2）首先曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，可以得到曲線是圓，要使曲線上恰有三個點到曲線的距離為，圓心到直線的距離，求解方程即可.
【小問1詳解】
由已知得代入，消去參數(shù)t得
曲線的普通方程為．
【小問2詳解】
由曲線的極坐標(biāo)方程得，
又，，，
所以，即，
所以曲線是圓心為，半徑等于的圓．
因為曲線上恰有三個點到曲線的距離為，
所以圓心到直線的距離，
即，解得．
[選修 4-5：不等式選講]
23. 設(shè)函數(shù).
（1）解不等式；
（2）當(dāng)x∈R，0

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