時(shí)限：120分鐘 滿(mǎn)分：150分
一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）
1. 直線過(guò)點(diǎn)，的直線的傾斜角的范圍是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，且或；直線的斜率不存在時(shí)，，綜合即得解
【詳解】由直線的傾斜角的范圍是，得直線的斜率存在時(shí)，或.
當(dāng)時(shí)，，
或，解得或.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，符合題意
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B
2. 直線：，：，則“”是“”的（ ）條件
A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】先求出兩直線垂直時(shí)a的值，進(jìn)而可判斷充分必要條件．
【詳解】直線：，：，
當(dāng)時(shí),有，解得或.
所以“”時(shí)“”成立，“”時(shí)“”不一定成立，
則“”是“”的充分不必要條件.
故選：B
3. 已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知求出，進(jìn)而即可根據(jù)投影向量求出答案.
【詳解】由已知可得，，，
所以，向量在向量上的投影向量是.
故選：B.
4. 如圖，在平行六面體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】推導(dǎo)出，利用空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.
【詳解】在平行四邊形中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，且，
所以，，則，
因此，.
故選：B.
5. 將一張畫(huà)了直角坐標(biāo)系（兩坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度相同）的紙折疊一次，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則（ ）
A. 1B. 2023C. 4043D. 4046
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，，進(jìn)而根據(jù)題意得過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線與直線平行，再根據(jù)斜率公式計(jì)算求解即可.
【詳解】解：設(shè)，，則所在直線的斜率為，
由題知過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線與直線平行，
所以，整理得
故選：C
6. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．直線到平面的距離為（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，建立直角坐標(biāo)系，表示出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和法向量，利用距離公式即可求出.
【詳解】平面,平面, 平面,
因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.

則
設(shè)平面的法向量為，則
，令，則
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則
故直線到平面距離為.
故選：D.
7. 過(guò)點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的截距都是非負(fù)整數(shù)的直線有多少條（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】截距為零時(shí)單獨(dú)考察，在截距不為零時(shí)，設(shè)截距分別為利用截距式寫(xiě)出直線方程，根據(jù)過(guò)定點(diǎn),得到的關(guān)系，判定的范圍，然后求得后分離常數(shù)得到，進(jìn)而得出應(yīng)當(dāng)為12正因數(shù)，從而解決問(wèn)題.
【詳解】當(dāng)截距為0時(shí)，是直線,只有一條，
當(dāng)截距大于0時(shí)，設(shè)截距分別為則直線方程為，∵直線過(guò)點(diǎn),
∴①，∵,∴,結(jié)合①可得，,∴,
又∵為整數(shù)，，
由①解得,為12的因數(shù)，
∴,對(duì)應(yīng),相應(yīng)
對(duì)應(yīng)的直線又有6條，
綜上所述，滿(mǎn)足題意的直線共有7條，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查直線的截距和直線方程的截距式，涉及整除問(wèn)題，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是要注意截距為零的情況，而是在截距不為零時(shí)，得到后分離常數(shù)得到，進(jìn)而得出應(yīng)當(dāng)為12正因數(shù)，本題屬中檔題.
8. 在四棱錐中，棱長(zhǎng)為2的側(cè)棱垂直底面邊長(zhǎng)為2的正方形，為棱的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面分別與側(cè)棱、相交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，截面的面積為（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共面確定點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積及三角形面積公式即可求出.
【詳解】由題意，平面，四邊形為正方形，
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則，，，，，，，
設(shè)，，則，
又，，所以，則，
由題意，四點(diǎn)共面，所以，
所以，解得，
所以，，所以，
所以，即，
所以，
所以，
又，
所以，即，
所以，
所以，
所以截面的面積為.
故選：A
二、多項(xiàng)選擇題（每題有兩個(gè)或者兩個(gè)以上正確答案，每題5分，少選得2分，共20分）
9. 下列說(shuō)法中不正確的是（ ）
A. 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程來(lái)表示
B. 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程來(lái)表示
C. 不與坐標(biāo)軸重合或平行的直線其方程一定可以寫(xiě)成截距式
D. 不與坐標(biāo)軸重合或平行的直線其方程一定可以寫(xiě)成兩點(diǎn)式
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)直線方程五種形式的限制條件解決即可.
【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)斜式方程適用斜率存在的直線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，斜截式方程適用斜率存在的直線，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，截距式方程適用不與坐標(biāo)軸重合或平行且不過(guò)原點(diǎn)的直線，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，兩點(diǎn)式方程適用不與坐標(biāo)軸重合或平行的直線，故D正確；
故選：ABC
10. 下列命題中正確的是（ ）
A. 若是空間任意四點(diǎn)，則有
B. 若直線的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線與平面所成的角等于
C. 已知向量組是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底
D. 對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，若（其中），則四點(diǎn)共面
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量加法的運(yùn)算法則，線面角的定義，結(jié)合空間向量基底的性質(zhì)、四點(diǎn)共面的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】A：因?yàn)椋员具x項(xiàng)命題正確；
B：因?yàn)橹本€的方向向量與平面的法向量的夾角等于，
所以直線與平面所成的角等于，
因此本選項(xiàng)命題不正確；
C：假設(shè)不是空間一個(gè)基底，
所以有成立，
因?yàn)榻M是空間的一個(gè)基底，
所以可得，顯然該方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因此假設(shè)不成立，
所以也是空間的一個(gè)基底，因此本選項(xiàng)命題正確；
D：因?yàn)橹挥挟?dāng)時(shí)，四點(diǎn)才共面，
所以本選項(xiàng)命題不正確，
故選：AC
11. 已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（ ）
A. 存在點(diǎn)，使得B. 存在點(diǎn)，使得
C. 的最小值為D. 最大值為3
【答案】BCD
【解析】
【分析】設(shè)，利用斜率公式判斷A，利用距離公式判斷B，化折線為直線，利用兩點(diǎn)之間線段最短判斷C，根據(jù)幾何意義判斷D.
【詳解】對(duì)于A：設(shè)，若時(shí)，此時(shí)斜率不存在，
，與不垂直，同理時(shí)與不垂直，
當(dāng)且時(shí)，，
若，則，
去分母整理得，，方程無(wú)解，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：設(shè)，若，則，
即，由，所以方程有解，則存在點(diǎn)，使得，故B正確；
對(duì)于C：如圖設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，
解得，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)（在線段之間），故C正確；

對(duì)于D：如下圖，，當(dāng)且僅當(dāng)在的延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：BCD
12. 如圖，四邊形ABCD中，，，，，將沿AC折到位置，使得平面平面ADC，則以下結(jié)論中正確的是（ ）
A. 三棱錐的體積為8
B. 三棱錐的外接球的表面積為
C. 二面角的正切值為
D. 異面直線AC與所成角的余弦值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)于A，先四邊形ABCD中，利用已知條件結(jié)正弦定理求出的長(zhǎng)，過(guò)作于，則可求出，從而可求出三棱錐的體積，對(duì)于B，在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，設(shè)為的外心，三棱錐外接球的半徑為，球心為，設(shè)，則，從而可求出，進(jìn)而可得三棱錐的外接球的表面積，對(duì)于C，過(guò)作于，連接，則可得為二面角的平面角，從而可求得結(jié)果，對(duì)于D，如圖建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量求解即可
【詳解】過(guò)作于，
在中，因?yàn)?，所以，?br>由正弦定理得,即，解得，
所以，，
因?yàn)?
所以
，
由正弦定理得，即，解得，
所以
，
因?yàn)槠矫嫫矫鍭DC，平面平面，，
所以平面ADC，
所以三棱錐的體積為，所以A正確，
設(shè)為的外心，外接圓半徑為，由余弦定理得
所以，
由正弦定理得，所以，
取的中點(diǎn)，連接，則，
，
設(shè)三棱錐外接球的半徑為，球心為，設(shè)，則
，即，解得，，
所以三棱錐外接球的表面積為，所以B正確，
過(guò)作于，連接，因?yàn)槠矫鍭DC，平面ADC，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?，所以，所以C正確，
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)作于，則
，，
則
所以
設(shè)異面直線AC與所成角為，則
，所以D錯(cuò)誤，
故選：ABC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.
13. 直線與直線平行，則_________.
【答案】－2
【解析】
【分析】利用兩直線平行：斜率相等，縱截距不等即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得到，
因?yàn)?，所以，由，得?br>所以，即，解得，
故答案為：.
14. 如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)______________.

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，可得，再求出相關(guān)向量的模長(zhǎng)，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】依題意，，得，
由底面為矩形，，，得，顯然，
又
，
因此，所以.
故答案為：
15. 已知正方形的中心為直線，的交點(diǎn)，正方形一邊所在的直線方程為，則它鄰邊所在的直線方程為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出中心坐標(biāo)為，再根據(jù)鄰邊所在直線與垂直設(shè)方程為，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)到這兩條直線距離相等且為即可求解.
【詳解】解：，解得，
∴中心坐標(biāo)為，
點(diǎn)M到直線的距離
設(shè)與垂直兩線分別為，則點(diǎn)到這兩條直線距離相等且為，
設(shè)方程為
∴，解得或 ，
∴它鄰邊所在的直線方程為．
故答案為：
16. 已知a，，曲線，若兩條曲線在區(qū)間上至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意兩條曲線在區(qū)間上至少有一個(gè)公共點(diǎn)，得到有解，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的直線方程，得到表示原點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，轉(zhuǎn)化為，巧換元，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，求出最值．
【詳解】曲線，
，
，
，
于是可以看作關(guān)于a，b的直線方程，
則是該直線上的點(diǎn)，
表示原點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，
設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為d，
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，
，
令，則，則，
，
設(shè)，
可知函數(shù)在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，最小值為．
故答案為:．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
求解本題的關(guān)鍵在于，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合題意，得到，利用換元法，進(jìn)行求解即可.
四、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
17. （1）求證：動(dòng)直線（其中）恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)兩直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線的方程.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）
【解析】
【分析】（1）解法一：利用特值法，可得定點(diǎn)，再驗(yàn)證滿(mǎn)足題意；解法二：動(dòng)直線轉(zhuǎn)化為，利用，則關(guān)于的方程系數(shù)為，列出方程解得即可.
（2）解法一：聯(lián)立兩直線求出交點(diǎn)，又與直線垂直的直線斜率，寫(xiě)出直線即可；解法二：利用垂直直線系，得直線方程為，再代入交點(diǎn)解得的值，即可得到答案；解法三：利用交點(diǎn)系得直線，又，得方程，解得的值，即可得到答案.
【詳解】(1)證明：解法一：令，則直線方程為 ①
再令時(shí)，直線方程為 ②
①和②聯(lián)立方程組，得，
將點(diǎn)代入動(dòng)直線中，即故動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn).
解法二：將動(dòng)直線方程按降冪排列整理，得①
不論為何實(shí)數(shù)，①式恒為零，
∴ 有，解得，
故動(dòng)直線恒過(guò)點(diǎn)．
(2)解法一：聯(lián)立方程，解得，
直線的斜率為，由，則直線的斜率為，
故直線的方程為.
解法二：設(shè)所求直線方程為，
將解法一中求得的交點(diǎn)代入上式可得，
故所求直線方程為.
解法三：設(shè)直線的方程為，
即，又，
∴ ，
解得，
故直線的方程為.
18. 在中，.
（1）求邊的高線所在的直線的方程；
（2）已知直線過(guò)點(diǎn)，且到的距離之比為，求直線的方程.
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)互相垂直兩直線斜率的關(guān)系，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)邊高線所在的直線為，
所以由，
所以直線的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，直線的方程為，
顯然到的距離之比為，不符合題意；
當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)為，方程為，
因?yàn)榈降木嚯x之比為，
所以，或，
方程為，或，
綜上所述：直線的方程，或.
19. 如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明，再利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.
（2）由（1）中信息，以點(diǎn)A作原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量求解作答.
【小問(wèn)1詳解】
在四邊形中，，取中點(diǎn)，連接，
由，得，則四邊形是平行四邊形，又，
因此是矩形，即有，有，，
從而，即，而平面，平面，則，
又平面，于是平面，而平面，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，
因此，顯然二面角的平面角為鈍角，
所以二面角的平面角的余弦值為.
20. 如圖1，邊長(zhǎng)為的菱形中，，，，分別是，，的中點(diǎn).現(xiàn)沿對(duì)角線折起，使得平面平面，連接，如圖2.
（1）求；
（2）若過(guò)，，三點(diǎn)的平面交于點(diǎn)，求四棱錐的體積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，再計(jì)算夾角得到答案.
（2）計(jì)算平面的法向量為，再計(jì)算到平面的距離為，最后計(jì)算體積得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
連接，，平面平面，平面平面，
，平面，故平面，
分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
連接，，，
設(shè)平面的法向量為，則，，
即，令，則，，所以，
設(shè)到平面的距離為，而，，
依題意得四邊形是一個(gè)菱形，，，
所以，
所以.
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合如圖所示將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段DC上．

（1）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程
（2）當(dāng)時(shí)，求折痕長(zhǎng)的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在直線方程當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段DC上的點(diǎn)記為，可知：A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱(chēng)，有，解得故G點(diǎn)坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)即線段OG的中點(diǎn)為，即可得出．
當(dāng)時(shí)，折痕長(zhǎng)為當(dāng)時(shí)，折痕所在直線交BC于，交y軸于利用兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕所在直線的方程為．
②當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后點(diǎn)A落在線段DC上的點(diǎn)記為，，
所以點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱(chēng)，有，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，
從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)線段OG的中點(diǎn)為，
故折痕所在直線的方程為，即．
綜上所述，折痕所在直線的方程為．
當(dāng)時(shí)，折痕的長(zhǎng)為
當(dāng)時(shí)，折痕所在的直線交直線BC于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．
,,則在上，
，，
的取值范圍為，
故點(diǎn)M在線段上．
，
折痕長(zhǎng)度的最大值為
而，故折痕長(zhǎng)度的最大值為
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于折疊問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系.
22. 如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線上，且，．

（1）求證：直線平面，并求三棱錐的體積：
（2）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，由正弦定理和三角形相似關(guān)系可證得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可證得平面，由此可得，由線面平行的判定可得結(jié)論；由平行關(guān)系可得，根據(jù)棱錐體積公式可求得結(jié)果；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)線面角的向量求法，可確定當(dāng)時(shí)，取得最大值，由此可確定，利用點(diǎn)到面的距離的向量求法可求得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，連接，

為底面圓的內(nèi)接正三角形，，為中點(diǎn)，
又，，；
，，，，
，∽，，；
平面，平面，平面平面，
平面平面，平面，平面，
又平面，，
平面，平面，平面；
為中點(diǎn)，，即，
又平面，平面，，，
，平面，平面，
，，，
又，平面，
.
【小問(wèn)2詳解】
，為中點(diǎn)，又，為中點(diǎn)，，
，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，
，，，，，
設(shè)，；
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，，
設(shè)直線與平面所成角為，
，
令，則，，
，
，當(dāng)，即時(shí)，，
，此時(shí)，
，
點(diǎn)到平面的距離.

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