1.6個(gè)班分別從7個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的安排方法有( )
A. C76B. A76C. 67D. 76
2.(1?x)2n(n∈N*,n≥4)的展開(kāi)式中，第_____項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.( )
A. 第2n?7項(xiàng)B. 第2n?6項(xiàng)C. 第2n?5項(xiàng)D. 第2n?4項(xiàng)
3.已知等差數(shù)列{an}，則“k=9”是“a7+a11=2ak”成立的_____條件.( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
4.兩個(gè)單位向量e1與e2滿足e1?e2= 32，則向量e1? 3e2與e2的夾角為( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.在(33x?x)n(n∈N*)的展開(kāi)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為( )
A. 32B. ?32C. 0D. 1
6.學(xué)校決定于3月14日～3月21日舉行為期8天的“數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，現(xiàn)安排A，B，C，D，E五位同學(xué)擔(dān)任本次活動(dòng)的志愿者.已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者，要求3月14日、3月15日做志愿者的同學(xué)每人安排一天，3月16日到3月21日做志愿者的同學(xué)每人安排兩天，則不同的安排方法一共有( )
A. 792種B. 1440種C. 1800種D. 10800種
7.下列不等式中，所有正確的序號(hào)是( )
①4tan14>1
②tan(π?2)>sin2
③10sin110>6πsinπ6
④cs450)，若不等式xae?2x≥3f(x)+1對(duì)x>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PD與底面所成的角為45°，E為PD的中點(diǎn)．
(1)求證：AE⊥平面PCD；
(2)若AB=2，G為△BCD的內(nèi)心，求直線PG與平面PCD所成角的正弦值．
16.(本小題15分)
ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見(jiàn)的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)生成回答，但它的回答可能會(huì)受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對(duì)某一類問(wèn)題進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.18.假設(shè)每次輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為0.1，且每次輸入問(wèn)題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的10個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取9個(gè)作答，已知在這10個(gè)問(wèn)題中，小張能正確作答其中的9個(gè)．
(1)在小張和ChatGPT的這次挑戰(zhàn)中，求小張答對(duì)的題數(shù)X的分布列；
(2)給ChatGPT輸入一個(gè)問(wèn)題，求該問(wèn)題能被ChatGPT回答正確的概率；
17.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=xln(x?1)．
(Ⅰ)求曲線y=f(x)在x=2處的切線方程；
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f′(x)，求函數(shù)g(x)的最小值；
(Ⅲ)若f(x)x?a>2，求實(shí)數(shù)a的值．
18.(本小題17分)
如圖，已知橢圓C1：x24+y2=1和拋物線C2：x2=2py(p>0)，C2的焦點(diǎn)F是C1的上頂點(diǎn)，過(guò)F的直線交C2于M、N兩點(diǎn)，連接NO、MO并延長(zhǎng)之，分別交C1于A、B兩點(diǎn)，連接AB，設(shè)△OMN、△OAB的面積分別為S△OMN、S△OAB．
(1)求p的值；
(2)求OM?ON的值；
(3)求S△OMNS△OAB的取值范圍．
19.(本小題17分)
已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)=ax+ln(1+x)?1．
(1)記an=f(n)?ln(n+1)+n，n∈N*，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.當(dāng)a=89時(shí)，試比較S64與2024的大小，并說(shuō)明理由；
(2)當(dāng)a=1e時(shí)，證明：xf(x)≥0；
(3)當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，試討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因?yàn)榈?個(gè)班有7種選法，第2個(gè)班有7種選法，第3個(gè)班有7種選法，第4個(gè)班有7種選法，第5個(gè)班有7種選法，第6個(gè)班有7種選法，
所以由分步計(jì)數(shù)原理可得不同的選法有：7×7×7×7×7×7=76種，
故選：D．
由分步相乘原理直接得結(jié)論．
本題考查分步相乘計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】A
【解析】解：(1?x)2n(n∈N*,n≥4)的展開(kāi)式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，
故C2nr=C2n7，整理得r=2n?7．
故選：A．
直接利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式求出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開(kāi)式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】A
【解析】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，若k=9，則a7+a11=2ak一定成立，
若a7+a11=2ak，則不一定有k=9，例如等差數(shù)列為常數(shù)列，
所以“k=9”是“a7+a11=2ak”成立的充分不必要條件．
故選：A．
利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解．
本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】D
【解析】解：兩個(gè)單位向量e1與e2滿足e1?e2= 32，
則(e1? 3e2)?e2=e1?e2? 3e22= 32? 3=? 32，
|e1? 3e2|= e12?2 3e1?e2+3e22= 1?2 3× 32+3=1，
cs=? 321×1=? 32，
可得向量e1? 3e2與e2的夾角為5π6．
故選：D．
由向量數(shù)量積的性質(zhì)和夾角公式，計(jì)算可得所求值．
本題考查向量的夾角公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】A
【解析】解：由于所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則2n=32，解得n=5；
令x=1，解得所有項(xiàng)的系數(shù)和為25=32．
故選：A．
直接利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，進(jìn)一步利用賦值法求出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】C
【解析】解：已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者，要求3月14日、3月15日做志愿者的同學(xué)每人安排一天，3月16日到3月21日做志愿者的同學(xué)每人安排兩天，
則不同的安排方法一共有C51C41C62C42C22=1800種．
故選：C．
由排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．
本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．
7.【答案】D
【解析】解：對(duì)于①，令f(x)=tanx?x，x∈(0,π2)，f′(x)=(sinxcs)′?1=1cs2x?1>0，
∴f(x)>f(0)=0，則tanx>x在x∈(0,π2)上恒成立，
則tan14>14，即4tan14>1，故①正確；
對(duì)于②，tan(π?2)=?tan2，而tan21，
而sin2sin2成立，故②正確；
對(duì)于③，設(shè)h(x)=sinxx，x∈(0,1)，則h′(x)=xcsx?sinxx2，
再令g(x)=xcsx?sinx，則g′(x)=?xsinx，x∈(0,1)，
則g(x)=?xsinx0恒成立，只有alna2?a≤0才能滿足要求，
即a(lna2?1)≤0，
又因?yàn)閍>0，解得01)，
曲線y=f(x)在x=2處的切線的斜率k=f′(2)=2．
又因?yàn)閒(2)=0，所以切點(diǎn)為(2,0)．
曲線y=f(x)在x=2處的切線方程為y=2x?4．
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f′(x)=ln(x?1)+1x?1+1(x>1)，
g′(x)=1x?1?1(x?1)2=x?2(x?1)2，
當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)和g(x)的變化如下表：
所以當(dāng)x=2時(shí)，g(x)min=2．
(Ⅲ)若a≠2，則f(2)2?a=0，不合題意；
若a=2，設(shè)φ(x)=f(x)?2(x?2)，
由(Ⅱ)知，φ′(x)=f′(x)?2≥0，
所以φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增．
又φ(2)=0，所以當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，φ(x)2；
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，φ(x)>0，x?2>0，φ(x)x?2>0，f(x)x?2>2，
所以a=2符合題意．
綜上所述a=2．
【解析】(Ⅰ)對(duì)f(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得切線方程；
(Ⅱ)對(duì)g(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得最小值；
(Ⅲ)若a≠2，則f(2)2?a=0，不合題意；若a=2，構(gòu)造函數(shù)φ(x)=f(x)?2(x?2)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，從而判斷f(x)x?2>2，即可得解．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
18.【答案】解：(1)拋物線C2的焦點(diǎn)為F(0,1)，故p=2．
(2)若直線MN與y軸重合，則該直線與拋物線C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，
所以，直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+1，點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2)，
聯(lián)立x2=4yy=kx+1，可得x2?4kx?4=0，
Δ=16k2+16>0恒成立，則x1x2=?4，
OM?ON=x1x2+y1y2=x1x2+x124x224=?4+1=?3．
(3)設(shè)直線NO、MO的斜率分別為k1、k2，其中k1>0，k2

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